Appunti per passare l'esame di Analisi Matematica 1

Teoria analisi

Disuguaglianza di Bernoulli

Disuguaglianza di Bernoulli: ∀ h ≥ -1 ∀ n > 0 ⇒ (1 + h)ⁿ ≥ 1 + n h

DIM per induzione

• n = 0 → (1 + h)⁰ ≥ 1 + 0 → 1 ≥ 1 ok!
• Suppongo vera ∀ n
• Dimostro per (n + 1) → (1 + h)ⁿ⁺¹ ≥ 1 + h (n + 1)

(1 + h)ⁿ⁺¹ = (1 + h)ⁿ ⋅ (1 + h) ≥ (1 + h ⋅ n) ⋅ (1 + h) = 1 + h + h n + h² n = 1 + (n n⋅h) h + n h² ⇒ (1 + h)ⁿ⁺¹ ≥ 1 + (n + 1) h

Fattoriale e coefficiente binomiale

Fattoriale: (n + 1)! = (n + 1) n! (def.)

Coefficiente binomiale: ⁿC_k = ⁿC_k = ⁿC₀ = ⁿC_k = ⁿC_k

Binomio di Newton

Binomio di Newton: (a + b)ⁿ = ∑_k=0 ⁿC_k a^n-k ⋅ k

DIM per induzione:

• n = 0 → (a + b) = ∑_k=0 ⁰C₀ a^b → 1 ⋅ 1 = 1 ok!
• Suppongo vera ∀ n
• Dimostro per (n + 1) : (a + b)ⁿ⁺¹ = ∑_k=0 (n + 1)^{· n}C₀ ⋅ (b)

(a + b)ⁿ⁺¹ = (a + b) (a + b)ⁿ

(a + b) (a + b) ⋅ (a + b) = ∑_k=0 (n)^{· k}a^n-k = ∑_k=0 ⁿC_k a ⋅ b ⋅ n! ‹br>+ a ⋅ (b) <sup>k+1</sub> termine k = 0

(a) (a + b) = ∑_k=0 (n)^· (k)^⋅ ₀<br> = ∑_k=1 (k)⁻ ₁ a (b) + ∑_j=n+1 (a) b^j(n + 1)⁻ ∑_j=n+1(a) b^j(n + 1)! (a) b^j ⇒ (a + b)ⁿ⁺¹ ∑_k=0 ⁿC_k a^n+1−k b^k

Teoria analisi

Disuguaglianza di Bernoulli

Disuguaglianza di Bernoulli: ∀h ≥ -1 ∀n > 0

• n = 0 → (1 + h)ⁿ ≥ 1 + 0 → 1 ≥ 1 ok!
• Suppongo vera ∀ n
• Dimostro per n + 1 → (1 + h)ⁿ⁺¹ ≥ 1 + h(n + 1)

= (1 + h)ⁿ(1 + h) = 1 + hn + h²n ⇒ (1 + h)ⁿ⁺¹ > 1 + (n + 1)h

Fattoriale: (n + 1)! = (n + 1)n!

Coefficiente binomiale: ⁿ C_k = n! / (k!(n-k)!)

Binomio di Newton

Binomio di Newton: (a + b)ⁿ = ⁿ∑_k=0 (n ^n-k C_k) a^n-kb^k

Numeri reali

DIM per assurdo: √2 ∈ Q

x ∈ Q ⇒ x = m/n m e n primi fra loro ⇒ √2 = m/n ⇒ 2 = m²/n² ⇒ m² = 2n²

m² elevato a potenza dispari, quindi l'ipotesi è assurda

x ∉ Q

Valore assoluto: |a| ={a, a ≥ 0 -a, a < 0

Assioma di Dedekind: A,B ⊆ R : a ≤ b ∀a ∈ A , ∀b ∈ B ⇒ ∃c ∈ R : a ≤ c ≤ b

R non completo

Maggiorante e minorante

Maggiorante: dato A ⊆ R M ∈ R; M è maggiorante per A ∀a ∈ A a ≤ M

Minorante: dato A ⊆ R m ∈ R; m è minorante per A ∀a ∈ A ⇒ m ≤ a

Un insieme A è superiormente limitato se esiste almeno un maggiorante.

Si dice inferiormente limitato se esiste almeno un minorante.

Un insieme si dice limitato se è limitato sia superiormente che inferiormente.

Massimo (di A) è il maggiorante M che appartiene ad A; se x non appartiene viene chiamato estremo superiore.

Minimo (di A) è il minorante m che ∈ A; x non appartiene perde il nome di estremo inferiore.

Numeri complessi

Numeri complessi, insi. C: unita immaginaria i = √-1

i² = -1

Forma algebrica: z = (a,fissa) x + iy

Coniugato di z: z̅ = x - iy

Forma geometrica: z = p ( cosθ + i senθ )

polare ( p; θ ) ; x = p cos θ ; y = p sen θ

Formula di Eulero (forma esponenziale): z = p e^iθ

e^iθ = cos θ + i sen θ

x = θ = π → e^iπ = -1 + 0 (Beauty)

Formule di De Moivre

Formule di De Moivre: prodotto: z₁z₂ = ρ₁(cos θ₁ + i sen θ₁) . ρ₂ (cos θ₂ + i sen θ₂)

= ρ₁ρ₂ (cos θ₁ cos θ₂ + i sen θ₁ i sen θ₂ ) + i 2ρ₂ cos θ₁ + (i sen θ₁ sen θ₂)

= ρ₁ρ₂ (cos θ₁ cos θ₂ - sen θ₁ sen θ₂) + i (sen θ₁ cos θ₂ + 2ρ₂ cos θ₁ )

= ρ₁ρ₂ [ cos (θ₁ + θ₂) + i sen (θ₁ + θ₂ ) }

quoziente: z₂/₁ = ρ₁ / ρ₂ [ cos (θ₁ - θ₂ ) + i sen (θ₁ - θ₂ ]

potenza: zⁿ = ρⁿ