Appunti per passare l'esame di Analisi Matematica 1

Teoria analisi

Disuguaglianza di Bernoulli

Disuguaglianza di Bernoulli: ∀h, h > -1 ⇒ (1+h)ⁿ ≥ 1+n∙h ∀n, n ≥ 0.

DIM per induzione:

1. N = 0 → (1+h)⁰ ≥ 1+0 → 1 ≥ 1 ok!
2. Suppongo vera ∀n. Dimostro per (n+1) → (1+h)ⁿ⁺¹ ≥ 1+h∙(n+1).

(1+h)ⁿ⁺¹ = (1+h)ⁿ∙(1+h) > (1+h∙n)∙(1+h) = 1+h∙k + h∙n + h²∙n = 1+(n+1)h + nh² ⇒ (1+h)ⁿ⁺¹ ≥ 1+(n+1)h.

Fattoriale e coefficiente binomiale

Fattoriale: (n+1)! = (n+1)∙n! (def.)

Coefficiente binomiale: ⁿC_k = ^n!⁄_k!(n-k)! (def.)

Binomio di Newton

Binomio di Newton: (a+b)ⁿ = ∑_k=0^{n n}C_k a^n-k b^k (coefficiente binomiale).

DIM per induzione:

1. N = 0 → (a+b)⁰ = ∑_k=0^{0 0}C_k a⁰ b⁰ → 1 = 1 ok!
2. Suppongo vera ∀n. Dimostro per (n+1): (a+b)ⁿ⁺¹ = (a+b)∙(a+b)ⁿ.

(a∙b)ⁿ⁺¹ (a+b)∑_k=0ⁿⁿC_k a^n-k b^k = (a+b) ∑_k=0ⁿⁿC_k a^n-k b^k = ∑_k=0^{n n}C_k a a^n-k b^k + ∑_k=0^{n n}C_k a^n-k b b^k = ∑_k=0ⁿⁿC_k a^n-(k-1) b^k.

Termine k=0 = ∑_k=1^{n n}C_k a^n+1-k b^k + ∑_k=1^{n+1 n}C_k-1 a^n+1-k b^k. Termine k=(n+1)= ⁰C_k aⁿ⁺¹ b⁰ + ⁿC₁ aⁿ b¹ + ∑_k=1^{n n}C_k a^n+1-k b^k + ∑_k=1^{n+1 n}C_k-1 a^n+1-k b^k = ⁿ⁺¹C_n+1 a⁰ bⁿ⁺¹ (ⁿC_k + ⁿC_k-1) = ∑_k=0^{n+1 (n+1)}C_k a^n+1-k b^k.

Teoria analisi

Disuguaglianza di Bernoulli

Disuguaglianza di Bernoulli: ∀h, h ≥ -1 ∀n, n ≥ 0.

DIM per induzione:

1. N = 0 → (1+h)⁰ ≥ 1 + 0 → 1 ≥ 1 ok!
2. Suppongo vera ∀n. Dimostro per (n+1) → (1+h)ⁿ⁺¹ ≥ 1 + h(n+1).

(1 + h)ⁿ⁺¹ = (1 + h)ⁿ(1 + h) > (1 + h)n(1 + h) = 1 + h + hn + h²n = 1 + (n+1)h + nh² > 1 + (n+1)h => (1 + h)ⁿ⁺¹ ≥ 1 + (n+1)h.

Fattoriale e coefficiente binomiale

Fattoriale: (n+1)! = (n+1)n! (def.)

Coefficiente binomiale: (n^k) = n! / k!(n-k)! (def.)

Binomio di Newton

Binomio di Newton: (a+b)ⁿ = ∑_k=0ⁿ(n^k)a^n-kb^k coefficiente binomiale.

DIM per induzione:

1. N = 0 → (a+b)⁰ = ∑_k=0⁰(0^k)a⁰b⁰ → 1 = 1 ok!
2. Suppongo vera ∀n. Dimostro per (n+1): (a+b)ⁿ⁺¹.

(a+b)(a+b)ⁿ = (a+b)ⁿ⁺¹ = ∑_k=0ⁿ(n^k)a^n-kb^k(a+b) = ∑_k=0ⁿ(n^k)a^n-kb^ka + ∑_k=0ⁿ(n^k)a^n-kb^kb.

Termine k=0 = ∑_k=0ⁿ(n^k)a^n+1-kb^k+a ∑_k=0ⁿ(n^k)a^n-kb^k+1 = (0)aⁿ⁺¹b⁰ + ∑_k=1ⁿ(n^k)a^n+1-kb^k +(n+1^k)ab + (nⁿ⁺¹)a^n+1-kb^k => (a+b)ⁿ⁺¹ = ∑_k=0ⁿ⁺¹(n+1^k)a^n+1-kb^k.

Numeri reali

Numeri reali: DIM per assurdo: ₂ ∈ Q (th) x ∈ Q → x = ½, m primi fra loro → ₂ = m² ⁄ n² → m² = 2*n² - 2 è elevato a potenza dispari, quindi l'ipotesi _assurda è _assurda.