Appunti per la prova scritta di Analisi II

Brevi appunti su Analisi II

Francesco Di Leo

21/06/2022

Indice

• 1 Massimi e minimi in Rⁿ 3
• 1.1 Derivate parziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
• 1.1.1 Derivate parziali di funzioni a 2 variabili . . . . . . . . 5
• 1.1.2 Derivate parziali di funzioni a 3 variabili . . . . . . . . 5
• 1.1.3 Derivate parziali seconde . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
• 1.1.4 Gradiente di una funzione . . . . . . . . . . . . . . . . 7
• 1.2 Massimi e minimi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
• 1.2.1 Matrice Hessiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
• 1.2.2 Ricerca di massimi e minimi . . . . . . . . . . . . . . . 9
• 1.2.3 Massimi e minimi vincolati . . . . . . . . . . . . . . . . 11
• 1.2.4 Parametrizzare la frontiera . . . . . . . . . . . . . . . . 11
• 1.2.5 Moltiplicatori di Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . 12
• 2 Equazioni differenziali 13
• 2.1 Equazioni differenziali del primo ordine . . . 14
• 2.1.1 Equazioni differenziali a variabili separabili . . . . . . . 14
• 2.1.2 Equazioni differenziali lineari . . . . . . . . . . . . . . 15
• 2.1.3 Equazioni differenziali di Bernoulli . . . . . . . . . . . 15
• 2.1.4 Equazioni differenziali omogenee . . . . . . . . . . . . . 16
• 2.2 Equazioni differenziali del secondo ordine . 17
• 2.2.1 Equazioni differenziali lineari . . . . . . . . . . . . . . 17
• 2.2.2 Equazioni differenziali lineari non omogenee . . . . . . 19
• 2.2.3 Metodo di Lagrange o della variazione delle costanti . . 19
• 2.2.4 Metodo di somiglianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
• 2.2.5 Equazioni differenziali non lineari . . . . . . . . . . . . 20
• 3 Integrali multipli 22
• 3.1 Integrali doppi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
• 3.1.1 Integrali doppi su domini normali . . . . . . . . . . . . 23
• 3.1.2 Matrice Jacobiana e Jacobiano . . . . . . . . . . . . . . 24
• 3.1.3 Integrali doppi per sostituzione . . . . . . . . . . . . . 25

1

• 3.1.4 Sostituzione in coordinate polari . . . . . . . . . . . . . 26
• 3.1.5 Sostituzione in coordinate polari ellittiche . . . . . . . 27
• 3.1.6 Area di insiemi con gli integrali doppi . . . . . . . . . . 27
• 3.2 Integrali tripli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
• 3.2.1 Integrali doppi su domini normali . . . . . . . . . . . . 28
• 3.2.2 Sostituzione in coordinate cilindriche . . . . . . . . . . 29
• 3.2.3 Sostituzioni in coordinate sferiche . . . . . . . . . . . . 30
• 3.2.4 Sostituzioni in coordinate sferiche ellittiche . . . . . . . 31
• 3.2.5 Integrazione per fili . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
• 3.2.6 Integrazione per strati . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
• 3.2.7 Volume di insiemi con gli integrali tripli . . . . . . . . 32
• 3.3 Integrali curvilinei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
• 3.3.1 Curve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
• 3.3.2 Parametrizzazione di curve fondamentali . . . . . . . . 34
• 3.3.3 Lunghezza di una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
• 3.3.4 Integrali curvilinei di prima specie . . . . . . . . . . . 35
• 3.3.5 Integrali curvilinei di seconda specie . . . . . . . . . . 36
• 3.4 Campi vettoriali conservativi e irrotazionali 38
• 3.4.1 Campi vettoriali conservativi . . . . . . . . . . . . . . . 38
• 3.4.2 Campi vettoriali irrotazionali . . . . . . . . . . . . . . 39
• 3.5 Integrali di superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
• 3.5.1 Area di una superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
• 3.5.2 Integrali di superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
• 3.5.3 Flusso attraverso una superficie . . . . . . . . . . . . . 44
• 3.6 Formule utili per il calcolo integrale . . . . . 45

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Capitolo 1

Massimi e minimi in Rⁿ

1.1 Derivate parziali

Nei corsi di analisi 1 abbiamo studiato le funzioni di una variabile → f : I R e abbiamo definito i principali operatori quali derivate e integrali.

Definiamo ora il concetto di funzioni a più variabili, esse sono del tipo: → f : Ω R ove Ω è un sottoinsieme di Rⁿ.

Dunque la funzione definita sopra è a n variabili: f (x₁, x₂, . . . , x_n).

Ci concentreremo a studiare principalmente le funzioni a 2 e 3 variabili che sono rispettivamente: f : Ω ⊂ R² → R tale che f = f (x, y) e f : Ω ⊂ R³ → R tale che f = f (x, y, z).

Da ciò si deduce che il grafico di una funzione a 2 variabili è rappresentato in R³ mentre il grafico di una funzione a 3 variabili è rappresentato in R⁴.

Osserviamo che in tutti i casi Ω non è altro che il dominio della funzione a più variabili, proprio come accadeva in una variabile.

Definiamo ora il concetto di derivata parziale.

Ricordiamo che una funzione di una variabile → f : I R è derivabile in un punto x₀ ∈ I se

lim_h→0 [f (x₀ + h) − f (x₀)] / h ∃ ∈ R

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oppure equivalentemente se

lim_x→x0 [f (x) − f (x₀)] / [x − x₀] ∃ ∈ R

In modo analogo possiamo definire il concetto di derivata per funzioni a più variabili, però sorge un problema: rispetto a quale variabile deriviamo se la funzione presenta più di una variabile?

Per questo, per le funzioni in più variabili, si definisce il concetto di derivata parziale, ossia la derivata rispetto ad una sola variabile e trattando le altre come costanti.

Formalizziamo il tutto dando alcune definizioni.

Definizione. Sia f : Ω → R con f = f (x₁, x₂, . . . , x_n) con Ω sottoinsieme di Rⁿ una funzione in più variabili e sia y ∈ Ω.

Diremo che f è derivabile parzialmente in y rispetto alla variabile x_i con i = 1, . . . , n se:

lim_h→0 [f (y + h) − f (y)] / h ∃ ∈ R (1.1)

Ove h è il vettore nullo tranne nell'i-esima componente h = (0, . . . , h_i, . . . , 0), quella in base al quale si deriva, e y = (y₁, y₂, . . . , y_n) ∈ Ω.

Dunque mettendo insieme queste informazioni nella 1.1 si ottiene che f è derivabile parzialmente in un punto y rispetto alla variabile x_i se:

lim_hi→0 [f (y₁, . . . , y_i + h_i, . . . , y_n) − f (y₁, . . . , y_i, . . . , y_n)] / h_i ∃ ∈ R (1.2)

Se il limite nella 1.2 esiste ed è un numero reale si pone:

∂f / ∂x_i (y) := lim_hi→0 [f (y₁, . . . , y_i + h_i, . . . , y_n) − f (y₁, . . . , y_i, . . . , y_n)] / h_i

e dicesi derivata parziale di f in y rispetto ad x_i.

Diremo che f è derivabile in un punto y ∈ Ω se f è derivabile parzialmente in y rispetto a tutte le variabili x_i.

Diremo che f è derivabile parzialmente in Ω rispetto alla variabile x_i se f è derivabile parzialmente ∀y ∈ Ω rispetto alla variabile x_i.

Diremo che f è derivabile in Ω se f è derivabile parzialmente ∀y ∈ Ω rispetto a tutte le variabili x_i.

In particolare studiamo le derivabilità delle funzioni in 2 (x, y) e 3 (x, y, z) variabili.

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1.1.1 Derivate parziali di funzioni a 2 variabili

Una funzione di due variabili è del tipo f : Ω ⊂ R² → R tale che f = f (x, y).

In questo caso possiamo derivare rispetto alla variabile x e rispetto alla variabile y.

Per quanto detto nella 1.2, f è derivabile in un punto (x₀, y₀) ∈ Ω rispetto alla variabile x se:

lim_h→0 [f (x₀ + h, y₀) − f (x₀, y₀)] / h ∃ ∈ R

mentre è derivabile in (x₀, y₀) rispetto a y se:

lim_h→0 [f (x₀, y₀ + h) − f (x₀, y₀)] / h ∃ ∈ R

E in tal caso porremo ∂f / ∂x (x₀, y₀), ∂f / ∂y (x₀, y₀) le derivate parziali rispetto a x e y nel punto (x₀, y₀).

1.1.2 Derivate parziali di funzioni a 3 variabili

Una funzione di due variabili è del tipo f : Ω ⊂ R³ → R tale che f = f (x, y, z).

In questo caso possiamo derivare rispetto alla variabile x, rispetto alla variabile y e rispetto a z.

Per quanto detto nella 1.2, f è derivabile in un punto (x₀, y₀, z₀) ∈ Ω rispetto alla variabile x se:

lim_h→0 [f (x₀ + h, y₀, z₀) − f (x₀, y₀, z₀)] / h ∃ ∈ R

è derivabile in (x₀, y₀, z₀) rispetto a y se:

lim_h→0 [f (x₀, y₀ + h, z₀) − f (x₀, y₀, z₀)] / h ∃ ∈ R

mentre è derivabile in (x₀, y₀, z₀) rispetto alla variabile z se:

lim_h→0 [f (x₀, y₀, z₀ + h) − f (x₀, y₀, z₀)] / h ∃ ∈ R

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E in tal caso porremo ∂f / ∂x (x₀, y₀, z₀), ∂f / ∂y (x₀, y₀, z₀), ∂f / ∂z (x₀, y₀, z₀) le derivate parziali rispetto a x, y e z nel punto (x₀, y₀, z₀).

1.1.3 Derivate parziali seconde

Una volta capito il concetto di derivata parziale di una funzione, è facile definire ricorsivamente le derivate parziali seconde rispetto a più variabili.

Incominciamo con il caso in cui vogliamo derivare parzialmente due volte una funzione rispetto alla stessa variabile x_i.

Allora si definisce derivata parziale seconda di f in un punto y ∈ Ω rispetto alla variabile x_i come la derivata parziale rispetto ad x_i della derivata parziale di f rispetto ad x_i e quindi:

∂²f / ∂x_i² (y) := ∂ / ∂x_i (∂f / ∂x_i) (y)

Si parla, invece, di derivate parziali miste se si deriva due volte f rispetto a due variabili distinte x_i, x_j. In tal caso si ha:

∂²f / ∂x_i∂x_j (y) := ∂ / ∂x_i (∂f / ∂x_j) (y)

∂²f / ∂x_j∂x_i (y) := ∂ / ∂x_j (∂f / ∂x_i) (y)

Si ha che se le derivate parziali miste sono funzioni continue, allora non importa l'ordine di derivazione poiché esse coincidono in ogni punto (Teorema di Schwartz):

∂²f / ∂x_i∂x_j = ∂²f / ∂x_j∂x_i

Tuttavia l'uguaglianza non è garantita se le derivate parziali miste non sono continue.

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1.1.4 Gradiente di una funzione

Sia f : Ω → R una funzione ad n variabili. Supponiamo che f sia derivabile in Ω, ossia ricordiamo che f deve essere derivabile parzialmente rispetto a tutte le variabili e in ogni punto di Ω.

Si definisce gradiente di f, e si indica con ∇f, come il vettore avente per componenti le derivate parziali di f rispetto ad ogni variabile, ossia:

∇f = (∂f / ∂x₁, ∂f / ∂x₂, . . . , ∂f / ∂x_n)

Osserviamo, quindi, che il gradiente è un vettore aventi n componenti.

Nel caso in cui f : Ω ⊂ R² → R è una funzione di due variabili (x, y), il suo gradiente sarà:

∇f (x, y) = (∂f / ∂x (x, y), ∂f / ∂y (x, y))

Mentre per una funzione f : Ω ⊂ R² → R di tre variabili (x, y, z), il suo gradiente sarà:

∇f (x, y, z) = (∂f / ∂x (x, y, z), ∂f / ∂y (x, y, z), ∂f / ∂z (x, y, z))

Il gradiente di una funzione è un operatore essenziale per determinare i punti di massimo o minimo di una funzione in più variabili.

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1.2 Massimi e minimi

Sia f : Ω → R con Ω sottoinsieme di Rⁿ una funzione ad n variabili.

Supponiamo che f sia derivabile in Ω.

Siamo interessati a determinare gli eventuali punti di massimo o minimo di f. Abbiamo che se (x₁, x₂, . . . , x_n) ∈ Ω è un punto di max o min per f, allora ∇f (x₁, x₂, . . . , x_n) = 0.

Pertanto i punti di max o min vanno ricercati tra i punti nel quale il gradiente della funzione è nullo.

Tuttavia non vale il viceversa, ossia se ∇f (x₁, x₂, . . . , x_n) = 0 non è detto che il punto (x₁, x₂, . . . , x_n) è un punto di max o min in Ω.

1.2.1 Matrice Hessiana

Sia f : Ω → R con Ω sottoinsieme di Rⁿ una funzione ad n variabili. Supponiamo che f sia derivabile in Ω fino al secondo ordine, ossia che esistano le derivate parziali seconde e miste di f.

Si definisce matrice Hessiana di f la seguente:

H_f(x) = matrice con elementi ∂²f / ∂x_i∂x_j (x), per i,j = 1, . . . , n (1.3)

Ove x = (x₁, x₂, . . . , x_n) è un punto generico di Ω.

Osserviamo che la matrice 1.3 può essere scritta in forma compatta come:

H_f(x) = (∂²f / ∂x_i∂x_j (x))_i,j=1,...,n

La matrice Hessiana è simmetrica poiché

∂²f / ∂x_i∂x_j = ∂²f / ∂x_j∂x_i

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1.2.2 Ricerca di massimi e minimi

Sia f : Ω → R ove Ω è un sottoinsieme di R² o R³.

Ci concentreremo a trovare i punti di massimo o minimo in funzioni di 2 o 3 variabili.

Funzioni di 2 variabili

• 1. Calcolare il gradiente della funzione; ∇f (x, y) = (∂f / ∂x (x, y), ∂f / ∂y (x, y)).
• 2. Imporre il gradiente uguale a 0 e quindi risolvere il sistema: ∂f / ∂x (x, y) = 0; ∂f / ∂y (x, y) = 0.
• 3. Dal sistema precedente otterremo dei punti P₁(x₁, y₁), . . . , P_n(x_n, y_n) che saranno i candidati punti di massimo o minimo. Calcoliamo la matrice Hessiana di f nei punti P₁, . . . , P_n;
• 4. Sia A_i = H_f(P_i) la matrice Hessiana di f calcolata nel punto P_i, allora si ha che:

• A_i è definita positiva, allora P_i è un punto di minimo;
• A_i è definita negativa, allora P_i è un punto di massimo;
• A_i è indefinita, allora P_i è un punto di sella;
• A_i è semidefinita positiva o semidefinita negativa, non si può concludere nulla sulla natura di P_i.

Osserviamo che la matrice Hessiana di f nel caso di due variabili è:

H_f(x, y) = [[∂²f / ∂x² (x, y), ∂²f / ∂x∂y (x, y)], [∂²f / ∂y∂x (x, y), ∂²f / ∂y² (x, y)]]

Nel caso di 2 variabili, possiamo capire immediatamente quando la matrice Hessiana è definita positiva o negativa, indefinita o semidefinita positiva o negativa e precisamente:

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• Se det(H_f(P_i)) > 0 e il primo elemento di H_f(P_i) > 0, allora H_f(P_i) è definita positiva e quindi P_i è un punto di minimo;
• Se det(H_f(P_i)) > 0 e il primo elemento di H_f(P_i) < 0, allora H_f(P_i) è definita negativa e quindi P_i è un punto di massimo;
• Se det(H_f(P_i)) < 0 allora H_f(P_i) è indefinita e quindi P_i è un punto di sella;
• Se det(H_f(P_i)) = 0 allora H_f(P_i) è semidefinita positiva o negativa e quindi non si può concludere nulla sulla natura di P_i.

Funzioni di 3 variabili

• 1. Calcolare il gradiente della funzione ∇f (x, y, z) = (∂f / ∂x (x, y, z), ∂f / ∂y (x, y, z), ∂f / ∂z (x, y, z));
• 2. Imporre il gradiente uguale a 0 e quindi risolvere il sistema: ∂f / ∂x (x, y, z) = 0; ∂f / ∂y (x, y, z) = 0; ∂f / ∂z (x, y, z) = 0.
• 3. Dal sistema precedente otterremo dei punti P₁(x₁, y₁, z₁), . . . , P_n(x_n, y_n, z_n) che saranno i candidati punti di massimo o minimo. Calcoliamo la matrice Hessiana di f nei punti P₁, . . . , P_n;
• 4. Sia A_i = H_f(P_i) la matrice Hessiana di f calcolata nel punto P_i, allora si ha che:

• A_i è definita positiva, allora P_i è un punto di minimo;
• A_i è definita negativa, allora P_i è un punto di massimo;
• A_i è indefinita, allora P_i è un punto di sella;
• A_i è semidefinita positiva o semidefinita negativa, non si può concludere nulla sulla natura di P_i.

Osserviamo che la matrice Hessiana di f nel caso di tre variabili è:

H_f(x, y, z) = [[∂²f / ∂x² (x, y, z), ∂²f / ∂x∂y (x, y, z), ∂²f / ∂x∂z (x, y, z)], [∂²f / ∂y∂x (x, y, z), ∂²f / ∂y² (x, y, z), ∂²f / ∂y∂z (x, y, z)], [∂²f / ∂z∂x (x, y, z), ∂²f / ∂z∂y (x, y, z), ∂²f / ∂z² (x, y, z)]]

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1.2.3 Massimi e minimi vincolati

A volte sorge la necessità di trovare i massimi e minimi di una funzione,