Appunti Geometria

Geometria matrici

Definizioni di matrice

Tabella rettangolare con m righe e n colonne → A=(a_ij).

Matrice nulla → una matrice A si dice nulla se a_ij=0 ∀ i,j (tutti O).

Matrice quadrata → una matrice si dice quadrata di ordine m se m=n.

Matrice diagonale → una matrice quadrata si dice diagonale se a_ij=0 quando i≠j tutti O tranne il diagonale a₁₁,a₂₂,a₃₃,...Om si chiama traccia di A tr(A).

Matrice unita → una matrice diagonale si dice matrice unita se a_ij=0; i=j=1.

Somma e moltiplicazione

Somma di matrici → date 2 matrici A=(a_ij),B=(b_ij), la loro somma è la matrice m×n con l'elemento di posto (i,j),s_ij=a_ij+b_ij ⇒ proprietà =

• A+B=B+A;
• (A+B)+C=A+(B+C)
• A+0=A (mat. nulla)= A

Moltiplicazione keir per una matrice → data la matrice A=(a_ij) e un keir kA è una matrice m×n con l'elemento di posto j=k·a_ij ⇒ matrice (–1)A=–A ⇒ proprietà =

• K(A+B)=kA+kB;
• (k+h)A=kA+hA;
• (kh)A=k(hA)

Trasposta e matrici simmetriche

Traspota → la trasposta di una matrice A_m×n è la matrice m×n con l'elemento di posto j⇒a_ji=a_ij ⇒ proprietà ⇒

• (A+B)=aA^T+B^T;
• (cA)^T=cA^T;
• (A^T)^T=A
• Matrice simmetrica → data una matrice quadrata A si dice simmetrica se A^T=A

Tutte le matrici diagonali sono simmetriche ⟹ antisimmetrica se A^T =–A.

Prodotto fra matrici

Prodotto fra matrici → date 2 matrici A=(a_ki)_m×p e B=(b_ij)_p×m, allora A·B=E matrice m×n.m con l'elemento di posto (i,j) E=a=a_kib_{j i} ⇒ c_{i j} = b_{i k} a _{i k}+ b_2k c_{1 j}+b_3k a;_{1 i j}.

Proprietà = A≠0 I A=I; A⋅B≠A(A B)(C)=A(BC) (cA)B=c(AB)=(cA) (kA)b=(kAB)=(kB)(kA)B.

Matrici permutabili 2 matrice quadrate dello stesso ordine si dicono permutabili se AB=BA.

Matrici particolari

Matrice idempotente → una matrice quadrata A e idempotente se A²=A (es. I,O).

Matrice nilpotente → una matrice A è nilpotente se A^m=0 = O (es.0, (-1 1 , 0–1)).

Matrice involutoria → una matrice A e involutoria se A² = I;(1;0) (-1 0 ) (0–1).

E sia idempotente che involutorpa A=I. A _j A si A idempoente che nilpotenza 0=A=O.

Matrici invertibili

Matrici invertibili → data una matrice A si dice invertibile se ∃ una matriceB_n×n CCA AA=BB = I, A² = I, }tale matrice se esiste e unica, la matrice B si dice matrice inversa di se indica con A^-1 e le insatri I sono invertibiliA (nxn) quadrate nulla non sono invertibili.

Siano A e B, 2 matrici, allora AB±1(A B)=AB–1 ⇒ proprietà ^-1 A una invertibilitàK e kEIR ≤ O3, anche AAIS invertitoE l'inverteible anche IR^-1 e A¹¹ invertibileBÌIÙI è l'invertible (AB)^{=1 A} C^-1 B^-1 T.T 3) prodotti di matrice UUVBB^-1.

Sia A invertibile (AB^c−1 ) e la matrice invertibile T.IÙÒ 11O0 UV.VBB^-1.(A^T) (A^-1) e se A invertibile è simmetrica ^-1 ; e una particie antisimmetrica A= antisimmetrica A^-1 e! non vero (⟹ A 0).

VV||VVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVV VVE non invertibile idempotente 1) A=A e nilpotente non invertibile; geometria matrici tabella rettangolare con m righe e n colonne -> A = (a_ij) -> a_ija₁₁ a₁₂a₂₁ a₂₂.

Ripresa delle definizioni

Matrice nulla -> una matrice A si dice nulla se a_ij = 0 ∀ i,j tutti O.

Matrice quadrata -> una matrice si dice quadrata di ordine m se m=n.

Matrice diagonale -> una matrice quadrata si dice diagonale se a_ij=0 quando i≠j tutti O tranne la diagonale -> a₁₁ a₂₂ a₃₃...0m,n si chiama traccia di A -> tr(A).

Matrice unita -> una matrice diagonale si dice matrice unita S