Appunti Geometria

Vettori nello spazio

Ad ogni punto di R corrisponde un numero reale X, detto coordinata del punto, rispetto il sistema di riferimento.

Riferimenti e coordinate nello spazio

Un sistema di riferimento è dato da:

• Un punto dello spazio O, detto origine.
• Tre rette dette: r1, r2, r3, che si incontrano in O e che due a due sono perpendicolari.
• r1, r2, r3 si dicono assi coordinati o cartesiani.

Un sistema di riferimento nello spazio ordinato 3D è dato da un punto nello spazio, O, detta origine delle coordinate; tre rette, r1, r2, r3, che si incontrano nell’origine (O) e che sono a due a due perpendicolari fra di loro; r1, r2, r3 si dicono assi coordinati o cartesiani. Su ogni retta è fissato un verso e un’unità di misura.

Operazioni in 3ℝ

Somma: V+W= (X1Y1+ X2Y2 + X3Y3)

Prodotto per scalare: C*V= (CX1, CX2, CX3)

Prodotto scalare: <V, W>= (X1+Y1, X2+Y2, X3+Y3)

Proprietà operazioni 3ℝ

1. <V, W>= <W, V> se scambio W e V non cambia il prodotto scalare.
2. <V+W, U>= <V, U> + <W, U>
3. <CV, W>= C<V, W>= <V, CW>
4. <V, V> ≥ 0 e <V, V>=0

Definizioni

√⟨, ⟩

Norma (lunghezza): radice del prodotto scalare del vettore per sé stesso.

Distanza: ||V-W|| norma della differenza tra due vettori.

Vettori ortogonali: <V, W>=0 due vettori sono ortogonali quando il loro prodotto scalare risulta 0. (Quando formano un angolo di 90°). ∈ ℝ,

Proiezione ortogonale di V lungo W: Pr (V)= siano v e w la proiezione W⟨,⟩ ortogonale di v lungo w è il vettore: ‖‖

3 2 2 2 V e W vettori di R , ||V|| + ||W|| = ||V + W|| se e solo se V e W sono ortogonali.

Disuguaglianza Cauchy-Schwarz

|<V, W>| ≤ ||V|| ||W||

Angolo tra vettori

⟨,⟩

• Dalla disuguaglianza C-S risulta che il numero sia compreso da -1 e 1, ‖‖‖‖ ⟨,⟩ quindi esiste un numero θ compreso tra 0 e π, tale che: Cosθ= . ‖‖‖‖
• θ è l’angolo compreso tra V e W.

Prodotto vettoriale in 3ℝ

VxV= (x2y3 - x3y2, -x1y3 + x3y1, x1y2 – x2y1)

Proprietà prodotto vettoriale 3ℝ

ℝ Siano V e W∈

1. (aV + bW) *u= a(VxU)b(WxU).
2. VxW è ortogonale sia a V che a W, cioè <VxW, V>=0.
3. VxW = -WxV (antisimmetrica).
4. VxV= (0,0,0) se e solo se uno è il multiplo dell’altro, cioè se K∈R tale che W=KV.
5. e1, e2, e3 hanno tutti norma=1, <e1, e2>=0, <e1, e3>=0, <e2, e3>=0, quindi sono a 2 a 2 ortogonali.
6. ||vxw||= ||v|| ||w|| sinθ, ed è la misura dell’area del parallelogramma di lati v e w.

Rette nello spazio ℝ

Equazione parametrica: x= p+ta t∈ t= parametro p= punto della retta a= vettore non nullo che indica la direzione della retta = + = + {

Equazione cartesiana: = + 3ℝ

Mutua posizione di 2 rette in R

R: x=p+ta t∈R I I I I I I∈R R : x =p +t a tI ).

1. R e R sono incidenti se si intersecano (R∩R≠I I
2. R e R sono parallele se esiste k≠0 (R//R ) A =21 2I
3. Se R e R sono sia parallele che incidenti allora sono coincidenti.
4. R e R sono sghembe se NON sono NÉ parallele NÉ incidenti (non sono contenute nello stesso piano).

Retta passante per 2 punti distinti

3∈R P e Q sono due punti distinti e P≠Q

R: x= p+t(q-p) I I

R: x = q+t (q-p) II II

R: x = p+t (p-q) 3ℝ

Piani nello spazio

Possiamo pensare ad un piano nello spazio come all’insieme ortogonale ad una direzione fissata. Sia dato un vettore n= (a, b, c)≠O, il piano passante per l'origine e ortogonale 0 alla direzione individuata da n= (a, b, c), è l’insieme dei vettori dello spazio ortogonali a n. |⟨, ∈ ℝ ⟩ = }.{=0

Il piano passante per P e ortogonale alla direzione determinata da n, è il 3 |⟨∈ ℝ − , ⟩ = }.{ sottoinsieme di R definito da:

• Equazione piano: ax +bx +cx +d=01 2 3
• Se d=0, passa per l’origine.
• Il vettore n= (a, b, c) ≠ (0, 0, 0) si dice vettore normale al piano.

Mutua posizione di 2 piani in 3ℝ

: ax +bx +cx +d=01 2 3 : ax +bx +cx +d=01 2 3 I

1. α e β sono ortogonali se <n, n >= 0. I I
2. α e β sono paralleli se esiste K≠0, tale che n =kn, se poi d =kd, i due piani sono coincidenti.
3. Se α e β NON sono paralleli, allora si intersecano in una retta individuata + + + = da:{ + + + =

∈ ℝ”Equazione parametrica vettoriale