Analisi 2Marco VibertiLibro: pavimenti Peglisasso
Analisi matematica 2
Analisi 1: serie numeriche f: R → R derivate e integrali.
Analisi 2: serie di funzioni f: m R → IRm spazi vettoriali derivate e integrali su più variab., int. su curve, volume e superfici.
Serie numeriche da Analisi 1
Si parte da una successione {am} di numeri reali.
So = a0.
S1 = a0+a1.
S2 = a0+a1+a2.
Sm =...
Definisco Sm = lim Sm m→∞.
Serie di funzioni
Sia dato un intervallo I IR e sia dato una successione fn : I → IR.
Mi chiedo, cos’é, ∑n=0fn?
Fisso X∈I ln(x) è un numero.
Posso studiare ∑m=0ln(x) è una serie numerica.
Ex: I: [-2; 2] (fm(x) = xm).
- F0 1
- F1 x
- F2 x2
Ex: fn(x) = xm.
Con x dato.
x = - 1/2.
Vediamo.
So f0(-1) = (−1)0= 1.
SA = f0(-1) + f1(-1) (−1)0 + (−1)1= 0.
S2 =1 S3 = 0 Sm = 1, 0, 1, 0,... Sm non ha limite quindi serie di f con x= −1 è indet.
Analisi 2
Serie numeriche
Si parte da successione {an} di numeri reali.
Definisco le somme parziali.
S0 = a0, S1 = a0 + a1, S2 = a0 + a1 + a2.
Sm = .... sommo i primi m termini.
Definisco ∑m=0∞ am = lim Sm ... definizione pungente freccia.
Serie di funzioni
Sia dato un intervallo I ⊂ ℝ e sia data una successione fm : I → ℝ di funzioni.
Mi chiedo, cos'è ∑m=0∞ fm(x) ?
Fisso x ∈ I fm(x) ∈ ℝ posso studiare ∑m=0∞ fm(x) è una serie numerica.
Esempio: I = [-2, 2] fm(x) = xm.
- F0 1
- F1 x
- F2 x2
fn(x) = xm.
Esempio: x = 1/2 cos'è ∑m=0∞ fm(x) = ∑m=0∞ (1/2)m è una serie geometrica.
∑m=0∞ fm(x) = ∑m=0∞ e(-1)m= indefinito.
Se |x| < 1= 1/(1-x) converge.
Studio serie, vediamo:
S0 f0(-1) = (-1)0 = 1, S1 = f0(-1) + f1(-1) = (-1)0 + (-1)1 = 0.
S1 = f0(-1) + f1(-1) = (-1)0 + (-1)1 = 0.
S2 = 1, S3 = 0, Sm = 1, 0, 1, 0, .... Sm non ha limite quindi serie di x converge m = .
L' = -1 è indefinito.
x=2 diverge.
Dedico che se x=-1 serie è indoc.
x=1 conv.
x=2 è overgne.
Comportamento della serie dipende dal punto che scelgo.
Definizione
Def. Sia n=m:0 +∞ n=m:0 una successione di funzioni. Se esiste un intervallo I* ⊆ I tale che ∑m:0 +∞ fm(x) converge ∀ x ∈ I* allora dico che ∑m converge puntualmente in I*.
In questo caso, per ogni x ∈ I*, definisco la somma della serie f(x) = ∑m:0 +∞ fm(x).
Ex. Serie geometrica ∑+∞m:0.
Converge puntualmente in I* (-1,1).
f(x) = 1 / 1-x.
∞∑m:0 +∞ fm(x) = ∑ +∞m:0 xm.
Converge p.t. in I* = IRA f(x) = ex è speanzione di Taylor.
Questione dell'evedita
Questione dell'evedita:
Se fm sono continue derivabili, integrabili e vedo che ∑m +∞ fm è (C.) (D.?) (I.?)
Dipende, non è sempre vero.
Ex. fm(x) = xm(3mx) / 2m.
Studio la serie ∑m:0 +∞ fm(x).
fm sono cnt dell'int.
∞∑m=0 +∞ rm(3m / 2m).
Converge (per x fissato): sì.
1∑+∞m:0 |x|m(3m / 2m).
1 / 2m+∞∑ 1ε∃ +∞ converg.
Orgl il criterio del confronto ∑ |x3mm
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