Appunti di Geometria

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Author: fragavetti

Revisionato il 22/07/2026

di fragavetti

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Appunti contenenti definizioni, teoremi e relative dimostrazioni chieste dalla professoressa all'esame orale basati su appunti personali del publisher presi alle lezioni della prof. De …

Esame Geometria

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. De Fabritiis Chiara

Università Università Politecnica delle Marche - Ancona

A.A. 2020-2021

96 pagine

Appunto

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Estratto del documento

Definizioni e oss.

Span

Lo spazio dei vettori v₁, ..., v_k è l'insieme di tutte le possibili combinazioni lineari di v₁, v_k = span(v₁, ..., v_k) = { λ₁v₁ + ... + λ_kv_k | λ₁, ..., λ_k ∈ ℝ }

Sistema di generatori

v₁, ..., v_n si dicono sistema di generatori di V se V = Span(v₁, ..., v_n)

∀ v ∈ V ∃ λ₁, ..., λ_n t.c: v = λ₁v₁ + ... + λ_nv_n

Base

v₁, ..., v_n si dicono base di V se:

v₁, ..., v_n sono linearmente indipendenti
V = span(v₁, ..., v_n) ⇒ v₁, ..., v_n sono generatori di V

Sottoinsieme massimale

Si può dire B ⊂ A ⊂ V si dice sottoinsieme massimale di vettori lin indip di:

B è un insieme di vettori linearmente indipendenti
∀ C ⊂ A C ⊃ B ⇒ C non è un insieme di vettori lin indip.

Spazio vettoriale finitamente generato

V spazio vett. si dice finitamente generato se ammette un insieme finito di generatori

Dimensione

V spazio vett. finitamente generato; B = base di V

Si dice dimensione di V il numero di elementi di B ⇒ dimV = #B

Formula di inclusione - esclusione

#A + #B = #(A∪B) + #(A∩B)

Sottospazio intersezione e sottospazio somma

V spazio vett. U,W spazi vettori di V

U∩W si dice ssp. intersezione

L(U+W) = { u + w | u∈U, w∈W } si dice ssp. somma

Definizioni e oss.

Span

Lo span dei vettori v₁, ..., v_k è l'insieme di tutte le possibili combinazioni lineari di v₁, ..., v_k = Span (v₁, ..., v_k) = { λ₁v₁ + ... + λ_kv_k | λ_i, ..., λ_k ∈ ℝ }

Sistema di generatori

v₁, ..., v_n si dicono sistema di generatori di V se V = Span(v₁, ..., v_n)

∀ v ∈ V ∃ λ₁, ..., λ_n t.c: v = λ₁v₁ + ... + λ_nv_n

Base

v₁, ..., v_n si dicono base di V se:

v₁, ..., v_n sono linearmente indipendenti
V = Span(v₁, ..., v_n) ==> v₁, ..., v_n sono generatori di V

Sottoinsieme massimale

S sottoinsieme B ⊂ A ⊂ V si dice sottoinsieme massimale di vettori lin indip. di B

B è un insieme di vettori linearmente indipendenti
C ⊂ A C ⊂ B ⇒ C non è un insieme di vettori lin. indip.

Spazio vettoriale finitamente generato

V sp vett si dice finitamente generato se ammette un insieme finito di generatori

Dimensione

V sp vett. finitamente generato; B = base di V

Si dice dimensione di V il numero di elementi di B ⇒ dim V = #B

Formula di inclusione - esclusione

#A + #B = #(A ∪ B) + #(A ∩ B)

Sottospazio intersezione e sottospazio somma

V sp vett. U, W sp vett di V

U ∩ W si dice ssp. intersezione
U + W = {v | v ∈ U ∪ W} si dice ssp. somma

Somma diretta e supplementari

V sp vett U, W sott vett di V

U e W si dicono in somma diretta se U ∩ W = {0} e x il TH di Grassman dim (U+W) = dim U + dim W
U e W si dicono supplementari se:
- Sono in somma diretta
- V = U + W

Ogni vettore di V posso scriverlo in modo univoco come un vettore di U e uno di W.

Applicazione lineare

V, W sp vett Un’applicazione T : V → W si definisce lineare se:

T è additiva ⇔ T(v₁+v₂) = T(v₁) + T(v₂) ∀ v₁, v₂ ∈ V
T è omogenea ⇔ T (λ v) = λ T(v) ∀ λ ∈ IR ∀ v ∈ V

Applicazione identità

L’applicazione identità è per definizione l’applicazione id_V : V → V data da id_V(v) = v ∀ v ∈ V ⇒ è lineare

Applicazione nulla

L’applicazione nulla O : V → W è definita da O (v) = 0 ⇒ è lineare

Applicazione lineare associata a una matrice

Sia A ∈ M (m, n) (IR) l’applicazione lineare associata alla matrice A : L_A : IRⁿ → IR^m è definita da L_A (x) = A (x) = A [ x₁ ] [ x_n ]

︱ a₁₁ ... a_1n ︱ [︱x₁︱] a_m1 ... a_mn | [︱x_n︱]

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