Appunti di Analisi Matematica 1

Mattia Pozzi - Appunti di analisi matematica 1

Dipartimento di Matematica - Università degli Studi di Milano

Indice

• 1 L’insieme dei numeri reali 1
• 1.1 Gli insiemi N, Z e Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
• 1.2 Insiemi ordinati e campi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
• 1.3 Massimo, minimo, estremo superiore e inferiore . . . . . . . . . . . . . . . 3
• 1.4 Il campo reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
• 1.5 Spazi euclidei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
• 2 Numeri complessi 11
• 2.1 Definizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
• 2.2 Operazioni con i numeri complessi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
• 2.3 Forma trigonometrica dei numeri complessi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
• 2.4 Forma esponenziale dei numeri complessi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
• 2.5 Potenze e radici nel campo complesso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
• 2.6 Equazioni con i numeri complessi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
• 3 Funzioni 21
• 3.1 Definizione, immagine e controimmagine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
• 3.2 Restrizioni e funzione inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
• 3.3 Funzioni composte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
• 3.4 Successioni e indicizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
• 3.5 Potenza di un insieme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
• 4 Spazi metrici 29
• 4.1 Definizione e primi esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
• 4.2 Intorni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
• 4.3 Classificazione dei punti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
• 4.4 Insiemi aperti, chiusi e limitati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
• 4.5 Insiemi compatti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
• 4.6 Metrica indotta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
• 4.7 Connessione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
• 4.8 R come spazio metrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
• 5 Successioni 45
• 5.1 Successioni in spazi metrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
• 5.2 Sottosuccessioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
• 5.3 Successioni di Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
• 5.4 Successioni a valori reali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
• 5.5 Il numero e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
• 5.6 Scala degli infiniti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
• 5.7 o piccolo ed equivalenza asintotica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
• 5.8 Classe limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
• 6 Serie numeriche 67
• 6.1 Definizione e primi esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
• 6.2 Condizione di Cauchy per le serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
• 6.3 Serie a termini non negativi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
• 6.4 Serie a termini di segno alterno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
• 6.5 Convergenza incondizionata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
• 6.6 Somma di serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
• 7 Limiti di funzioni 77
• 7.1 Limiti in spazi metrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
• 7.2 Limiti di funzioni reali a valori reali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
• 7.3 Calcolo dei limiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
• 7.4 Ricerca degli asintoti di una funzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
• 7.5 Infiniti e infinitesimi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
• 7.6 Equivalenze asintotiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
• 7.7 o piccolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
• 8 Continuità e discontinuità 93
• 8.1 Continuità in spazi metrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
• 8.2 Continuità globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
• 8.3 Continuità e compattezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
• 8.4 Uniforme continuità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
• 8.5 Teorema degli zeri e di Darboux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
• 8.6 Punti di discontinuità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
• 8.7 Continuità della funzione inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
• 9 Calcolo differenziale 101
• 9.1 La derivata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
• 9.2 Continuità e derivabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
• 9.3 Regole di derivazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
• 9.4 Derivata delle funzioni elementari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
• 9.5 Il differenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
• 9.6 Massimi e minimi relativi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
• 9.7 I teoremi di Rolle, Cauchy e Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
• 9.8 Ricerca dei punti di estremo relativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
• 9.9 Discontinuità delle funzioni derivate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
• 9.10 Il teorema di de l’Hôpital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
• 9.11 Formula di Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
• 9.12 Concavità, convessità e flessi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
• 9.13 Studio di funzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

1 L’insieme dei numeri reali

1.1 Gli insiemi N, Z e Q

Iniziamo richiamando brevemente gli insiemi dei numeri naturali, interi e razionali.

• Numeri naturali. L’insieme dei numeri naturali, indicato con N, è l’insieme formato dai numeri 1, 2, 3, ... In questo insieme sono definite le due operazioni di somma (+) e prodotto (·) che godono delle proprietà associativa, commutativa e distributiva (esiste l’elemento neutro rispetto al prodotto, ossia 1).

Indicheremo con N₀ l’insieme dei numeri naturali con lo 0, dunque N₀ = N ∪ {0} (in questo insieme esiste l’elemento neutro rispetto alla somma, ossia 0).

• Numeri interi relativi. Per estendere l’insieme N ad un gruppo rispetto alla somma si introducono i numeri interi relativi, il cui insieme è indicato con Z ed è definito come Z = N ∪ {0} ∪ {-N} = {0, ±1, ±2, ±3, ...}. In questo insieme restano valide le operazioni di somma e prodotto (con le relative proprietà) e si introduce l’operazione di differenza (inversa della somma), con la quale si associa ad ogni numero naturale n il suo inverso -n tale che n + (-n) = 0.
• Numeri razionali. Per estendere Z ad un gruppo rispetto al prodotto si introducono i numeri razionali, il cui insieme è indicato con Q ed è definito come segue: Q = {m/n | m ∈ Z ∧ n ∈ N}.

In genere, si suppone che il rapporto m/n sia ridotto ai minimi termini, ossia che m e n non abbiano divisori comuni. Su Q restano definite le operazioni di somma, differenza e prodotto, inoltre, si introduce l’operazione di quoziente (inverso del prodotto) tra due numeri razionali, di cui il secondo diverso da 0. Inoltre, si ha N ⊂ Z ⊂ Q.

1.2 Insiemi ordinati e campi

Definizione 1.1 (Insieme ordinato). Sia S un insieme, diciamo che S è totalmente ordinato se esiste una relazione d’ordine, denotata con ≤, tale che:

• 1) ∀ x ∈ S si ha x ≤ x;
• 2) Se x, y ∈ S allora vale una e una soltanto delle seguenti relazioni: x < y, x = y, y < x;
• 3) ∀ x, y, z ∈ S, se x < y e y < z allora x < z.

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Esempio 1.1. Gli insiemi N, Z e Q sono totalmente ordinati.

Definizione 1.2 (Campo). Un insieme F su cui sono definite le due operazioni di somma e prodotto è detto campo se sono soddisfatte le seguenti proprietà.

1) Proprietà della somma:

• A) Se x, y ∈ F allora x + y ∈ F;
• B) x + y = y + x (proprietà commutativa);
• C) x + (y + z) = (x + y) + z (proprietà associativa);
• D) ∃ 0 tale che x + 0 = 0 + x = x (0 è l’elemento neutro della somma);
• E) ∀ x ∈ F, ∃! -x tale che x + (-x) = 0 (-x è l’inverso rispetto alla somma).

2) Proprietà del prodotto:

• A) Se x, y ∈ F allora x · y ∈ F;
• B) x · y = y · x (proprietà commutativa);
• C) x · (y · z) = (x · y) · z (proprietà associativa);
• D) ∃ 1 tale che x · 1 = 1 · x = x (1 è l’elemento neutro del prodotto);
• E) ∀ x ∈ F - {0}, ∃! x^-1 tale che x · x^-1 = 1 (x^-1 è l’inverso rispetto al prodotto).

3) Vale la proprietà distributiva: ∀ x, y, z ∈ F si ha x(y + z) = xy + xz.

Definizione 1.3 (Campo ordinato). Sia F un insieme ordinato, se F è anche un campo, allora diciamo che F è un campo ordinato se valgono le seguenti proprietà:

• 1) ∀ x, y, z ∈ F, se x < y allora x + z < y + z;
• 2) ∀ x, y ∈ F, se x > 0 e y > 0 allora x · y > 0.

Dalla definizione è immediato dimostrare la seguente proposizione.

Proposizione 1.1. Sia F un campo ordinato, allora:

• 1) Se x > 0 allora -x < 0 e viceversa;
• 2) Se x > 0 e y < z allora xy < xz;
• 3) Se x < 0 e y < z allora xy > xz;
• 4) Se x ≠ 0 allora x² > 0. In particolare 1 > 0;
• 5) Se 0 < x < y allora 1/y < 1/x.

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Esempio 1.2. L’insieme dei numeri razionali Q è un campo ordinato.

1.3 Massimo, minimo, estremo superiore e inferiore

Definizione 1.4. Sia S un insieme ordinato e E ⊆ S, con E ≠ ∅. Diciamo che E è limitato superiormente se esiste β ∈ S tale che: x ≤ β ∀ x ∈ E; in questo caso diciamo che β è un maggiorante di E.

Definizione 1.5. Sia S un insieme e E ⊆ S, con E ≠ ∅. Diciamo che E è inferiormente limitato se esiste β ∈ S tale che: β ≤ x ∀ x ∈ E; in questo caso diremo che β è un minorante di E.

Un insieme limitato sia superiormente che inferiormente è detto limitato.

Esempio 1.3. L’insieme N ⊂ Q è limitato inferiormente ma non superiormente.

Definizione 1.6 (Massimo). Sia S un insieme e E ⊆ S, con E ≠ ∅. Diciamo che γ ∈ S è il massimo di E, e scriviamo γ = max(E), se:

• 1) γ ∈ E;
• 2) x ≤ γ ∀ x ∈ E (γ è un maggiorante di E).

Definizione 1.7 (Minimo). Sia S un insieme e E ⊆ S, con E ≠ ∅. Diciamo che δ è il minimo di E, e scriviamo δ = min(E), se:

• 1) δ ∈ E;
• 2) δ ≤ x ∀ x ∈ E (δ è un minorante di E).

Osservazione 1.1. Se E ammette massimo allora è superiormente limitato; analogamente, se E ammette minimo allora è inferiormente limitato. Il viceversa non vale.

Esempio 1.4. L’insieme A = {1/n | n ∈ N} è superiormente limitato e max(A) = 1.

Definizione 1.8 (Estremo superiore). Sia E ⊆ S un sottoinsieme limitato superiormente. Diciamo che γ ∈ S è estremo superiore di E se:

• 1) γ è un maggiorante di E;
• 2) ∀ β, se β < γ allora β non è maggiorante (γ è il più piccolo dei maggioranti).

In questo caso scriveremo γ = sup(E).

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Definizione 1.9 (Estremo inferiore). Sia E ⊆ S un sottoinsieme limitato inferiormente. Diciamo che γ ∈ S è estremo inferiore di E se:

• 1) γ è un minorante di E;
• 2) ∀ β, se β > γ allora β non è minorante (γ è il più piccolo dei minoranti).

In questo caso scriveremo γ = inf(E).

Osservazione 1.2. Se E ammette massimo, allora max(E) = sup(E). Se, invece, E ammette minimo si ha min(E) = inf(E).

Esempio 1.5. L’insieme {x ∈ N | 0 ≤ x < 1} ⊆ Q ha come estremo superiore uguale a 1 e estremo inferiore uguale a 0, inoltre, dato che 1 ∈ N abbiamo max(N) = 1, mentre il minimo non esiste.

Definizione 1.10. Dato un insieme S, diciamo che esso possiede la proprietà dell’estremo superiore (inferiore) se ogni sottoinsieme E di S limitato ammette estremo superiore (inferiore).

1.4 Il campo reale

Abbiamo visto come Q sia un campo ordinato, esso però non è completo: esistono infatti delle grandezze che non possono essere rappresentate tramite il rapporto di numeri interi, quest’ultime vengono dette grandezze incommensurabili. Un primo semplice esempio della non completezza di Q è dato dal seguente teorema.

Teorema 1.1. Non esiste nessun numero razionale q tale che q² = 2.

Dimostrazione. Supponiamo esista un q = m/n, con m e n primi tra loro, tale che:

q² = m²/n² = 2 ⇒ m² = 2n².

Allora m² è pari e quindi anche m è pari. Dunque, m = 2k con k ∈ Z; riscrivendo l’equazione di partenza abbiamo:

4k² = 2n² ⇒ 2k² = n².

Quindi n² è pari e anche n lo è. Dato che m e n sono entrambi pari essi hanno come divisore comune 2, il che contraddice l’ipotesi che m e n fossero primi tra loro. ■

In modo del tutto analogo, si potrebbe dimostrare che, dato un numero primo p, non esiste un numero razionale q tale che q² = p.

Un altro importante risultato della non completezza di Q è dato dal fatto che esso non gode della proprietà dell’estremo superiore (inferiore); ad esempio per l’insieme:

E = {s ∈ Q | s² < 2} ⊆ Q

Non esiste l’estremo superiore, infatti sup(E) sarebbe un numero s ∈ Q tale che s² = 2, ma quest’ultimo non esiste per il Teorema 1.1.

L'insieme dei numeri reali 5

Per risolvere il problema della non completezza di Q sussiste il seguente teorema.

Teorema 1.2 (di esistenza dei numeri reali). Esiste un campo totalmente ordinato che gode della proprietà dell’estremo superiore (e dell’estremo inferiore); questo campo è denotato con R e i suoi elementi sono detti numeri reali. Inoltre, Q ⊂ R.

Si dimostra che R è il più grande campo ordinato completo che si possa costruire. Vediamo ora alcune delle proprietà fondamentali dei numeri reali: la proprietà archimedea, la densità di Q in R e l’esistenza della radice n-esima.

Lemma 1.1 (Proprietà archimedea). Siano x, y ∈ R, x > 0, allora ∃ n ∈ N tale che:

nx > y (1.1)

Dimostrazione. Supponiamo non esista n ∈ N per cui valga 1.1, allora abbiamo ∀ n ∈ N, nx ≤ y. Per ipotesi x > 0 quindi:

n ≤ y/x

Dunque N sarebbe limitato, il che è assurdo. ■

Teorema 1.3 (di densità di Q in R). ∀ x, y ∈ R, con x < y, ∃ q ∈ Q tale che x < q < y.

Dimostrazione. Per ipotesi sappiamo che y - x > 0, per il Lemma 1.1 ∃ n ∈ N tale che:

n(y - x) > 1

Da cui ny > nx + 1. Applicando nuovamente il Lemma abbiamo:

∃ m₁ ∈ N tale che m₁ > nx

∃ m₂ ∈ N tale che -m₂ < nx

Dunque -m₂ < nx < m₁. Ma allora esiste un intero m ∈ Z tale che:

m - 1 ≤ nx < m

Da cui otteniamo nx < m ≤ nx + 1 < ny, ossia:

x < m/n < y con m/n ∈ Q. ■

Corollario 1.1. ∀ x, y ∈ R esistono infiniti numeri razionali compresi tra x e y.

Dimostrazione. La dimostrazione è analoga alla precedente, è sufficiente porre x = q e così facendo si dimostra che ∃ q’ ∈ Q tale che q < q’ < y. Ponendo successivamente x = q’ e y = q’’ si ha che ∃ q’’ ∈ Q tale che q’ < q’’ < y; iterando il processo.