Appunti di Analisi Matematica 1

Name: Appunti di Analisi Matematica 1
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Author: fragavetti

Revisionato il 22/07/2026

di fragavetti

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Appunti contenenti tutte le definizioni, i teoremi e le relative dimostrazioni richieste dal professore all'esame orale basati su appunti personali del publisher presi alle lezioni del …

Esame Analisi matematica I

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Battelli Flaviano

Università Università Politecnica delle Marche - Ancona

A.A. 2020-2021

101 pagine

Appunto

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Estratto del documento

Intervallo

Si dice intervallo un sottoinsieme I di ℝ se: x₁, x₂ ∈ I, x₁ ≤ x ≤ x₂ ⇒ x ∈ I

Intorno sferico

Dato x₀ ∈ ℝ si dice intorno sferico di x di raggio ε l'intervallo: B_ε(x₀) = { x ∈ ℝ tc: d_ε(x,x₀) < ε } = { x ∈ ℝ tc: |x-x₀| < ε } = ]x₀-ε, x₀+ε[

Massimi e minimi relativi

Se f : A ⊆ ℝ con x₀ ∈ A', x₀ si dice punto di minimo relativo locale di f i: f(x) si dice minimo relativo fe ∃ I (x₀): f(x) ≥ f(x₀) ∀ x ∈ I (A) ∩ A

A dice massimo, ecc...

Punto di accumulazione e punto isolato

Sia S ≠ ℝc ∈ ℝ si dice punto di accumulazione per S se: ∀ε>0 ∃ x ∈ S, x ≠ c tc: x ∈ ]c-ε, c+ε[

c ∈ S si dice punto isolato se non è di accumulazione, cioè: ∃ε>0, ∃ x ∈ S ∩ ]c-ε, c+ε[ = {c}

Intorno sferico di +∞

Intervallo

Si dice intervallo un sottoinsieme I di ℝ se: ∀ x₁, x₂ ∈ I ∴ x₁ ≤ x ≤ x₂ ⇒ x ∈ I

Intorno sferico

Dato x_o ∈ ℝ e si dice intorno sferico di x di raggio ε l'intervallo: B_ε(x_o) = {x ∈ ℝ t.c.: d_ε(x,x_o) < ε} = {x ∈ ℝ t.c.: |x-x_o| < ε} = ] x_o - ε, x_o + ε [

Massimi e minimi relativi

Se f: A → ℝ con x_o ∈ A x_o si dice punto di minimo relativo di f f (x_o) si dice minimo relativo se ∃ I(x_o): f (x) ≥ f (x_o) ∀ x ∈ I(x_o) ∩ A

= x_o dice massime etc. etc.

NB: Per il massimo f(x) ≤ f (x_o)

Punto di accumulazione e punto isolato

Sia ∅ ≠ S ⊂ℝ c ∈ ℝ si dice punto di accumulazione per S se ∀ε > 0 ∃x ∈ S, x ≠ c t.c.: x ∈ ]c - ε, c + ε[

c ∈ ℝ si dice punto isolato se non è di accumulazione, cioè ∀ε > 0 t.c. S ∩ ]c - ε, c + ε[ = {c}

Intorno sferico di +∞

Punto di frontiera

Dato ∅ ⊄ S ⊂ ℝ x₀ si dice punto di frontiera di S, se:

X₀ ∈ S^c cioè ∀ > 0 ∃ x ∈ ]x₀ - , x₀ + [ t.c : x ∉ S^c ⇔ x ∈ S^c
X₀ non è esterno ad S cioè: ∀ > 0 ∃x ∈ ]x₀ - , x₀ + [ t.c: x ∉ S^c ⇔ x ∈ S e si scrive ∂(a,b)

Punto interno ed esterno

Dato S ⊂ ℝ x₀ ∈ S si dice punto interno ad S se ∀ > 0 x₀- , x₀ + ⊂ S

x₀ ∈ S^c si dice punto esterno ad S se ∀ > 0 x₀ - , x₀ + ⊂ S^c

Insieme aperto e chiuso

Sia S ⊂ ℝ si dice insieme aperto in ℝ se, S^c = S^c cioè: se ogni elemento di S è pto interno ad S

si dice insieme chiuso in ℝ se: S^c = S^c cioè: se ogni elemento di S^c è pto interno ad S^c

Maggiorante e minorante

A ≠ ∅ ⊂ ℝ K ∈ ℝ si dice maggiorante di A in ℝ se ∀a ∈ A ⇒ a ≤ K

K ∈ ℝ si dice minorante di A in ℝ se ∀a ∈ A ⇒ K ≤ a

Estremo superiore e inferiore

Sia A ⊂ ℝ e ρ ∈ ℝ ρ si dice estremo superiore di A in ℝ e si indica con sup A se ρ è un maggiorante di A (∀a ∈ A ⇒ a ≤ ρ) ∀z ∈ &Ro

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