Appunti di analisi 1 su successioni, limiti di funzioni e limiti di successioni

Indice documento

• Successioni
• Successioni regolari
• Successioni irregolari
• Teorema sul limite delle funzioni monotone (Ogni successione monotona è regolare)
• Teorema dell'unicità del limite
• Teorema della permanenza del segno
• Teorema del confronto o dei carabinieri
• Successione estratta
• Operazioni sui limiti
• Teorema di Bolzano Weierstrass
• Corollario di Bolzano Weierstrass
• Criterio di convergenza di Cauchy
• Limiti notevoli
• Limite di una funzione
• Teorema di connessione tra limiti di successioni e limiti di funzioni
• Teorema della permanenza del segno
• Limiti di funzioni trigonometriche
• Teorema del cambiamento della variabile

Attenzione: Tutti (o quasi tutti) i teoremi sono dimostrati.

Indice documento

• Successioni
• Successioni regolari
• Successioni irregolari
• Teorema sul limite delle funzioni monotone (Ogni successione monotona è regolare)
• Teorema dell'unicità del limite
• Teorema della permanenza del segno
• Teorema del confronto o dei carabinieri
• Successione estratta
• Operazioni sui limiti
• Teorema di Bolzano Weierstrass
• Corollario di Bolzano Weierstrass
• Criterio di convergenza di Cauchy
• Limiti notevoli
• Limite di una funzione
• Teorema di connessione tra limiti di successioni e limiti di funzioni
• Teorema della permanenza del segno
• Limiti di funzioni trigonometriche
• Teorema del cambiamento della variabile

Attenzione: Tutti (o quasi tutti) i teoremi sono dimostrati.

Successioni

Una successione di R è una particolare funzione:

f: N → R

quindi, f(n) = a_n

Notazione: una successione viene denotata:

(a_n)_n∈N anziché f(n)

Richiamiamo la monotonia

Def:

Una successione (a_n)_n si dice monotona se:

• (a_n) è crescente (strettamente crescente)
• (a_n) è decrescente (strettamente decrescente)
• (a_n) crescente ↔ a_n ≤ a_n+1 ∀ n ∈ N
• (a_n) decrescente ↔ a_n ≥ a_n+1 ∀ n ∈ N

Diamo diverse definizioni

Sia (a_n)_n∈N ⊆ R una successione:

1. Diremo che lim a_n = l ∈ R _n→∞

"(a_n)_n converge ad l"

se ∀ ε>0 ∃ n̄ ∈ N. n>n̄ |a_n−l|

{tutti i numeri della successione cadono in questo fascio l-ε l l+ε

2) Diciamo che (a_n) diverge positivamente e lo indichiamo così:

_lim a_n = +∞ n→+∞

Se: ∀k>0 ∃v∈ℕ, n>v, a_n≥k

k ε +ℓℓℓ−ε 1 2 3 n v

Tutta la successione di k diverge positivamente

3) Diciamo che (a_n) diverge negativamente e lo indichiamo così:

_lim a_n = -∞ n→+∞

Se: ∀k>0 ∃v∈ℕ, n>v, a_n≤ -k

-kkk+εℓℓ-εv

Definizione di successione regolare

Una successione (a_n)⊆ℝ si dice regolare se essa è convergente o divergente (±∞) (divergente positivamente o negativamente). Si dice che questa successione ha un comportamento regolare.

Definizione di successione irregolare

(a_n si dice irregolare (o oscillante) se non è regolare (quindi se non diverge né positivamente né negativamente))

Esempio

a_n=(-1)ⁿ ∀n ∈ N

Non è regolare quindi è oscillante e irregolare

(-1)ⁿ non è convergente

Se lim_n→∞ (-1)ⁿ = l

∀ε>0 ∃ν ∈ N ν|((-1)ⁿ-l| l-ε n

La successione deve contenere sia -1 che +1

Ciò significa che:

l-ε m pari

(l+ε) - (l-ε) ≥ 2 ↔ 2ε ≥ 26 assurdo

Non può essere perché 1 e -1 non può stare tra l-ε e l+ε

Esempio

a_n = ^(-1)n⁄_n   ∀ n ∈ ℕ

Proviamo che:

lim_n→∞ ^(-1)n⁄_n = 0

Dobbiamo provare:

∀ ε > 0   ∃ n ∈ ℕ   n > ∀|^(-1)n⁄_n - 0| < ε

scrivendo meglio ¹⁄_n < ε   e questo è vero perché noi sappiamo che

inf {¹⁄_n : n ∈ ℕ} = 0

O    ε quindi,   esiste &emsp