Analisi 1, appunti parte 3 - successioni limiti

Ott13 2020 successioni

ott13 2020 Successioni)( ☒P predicato parametro esia conn un n :)(P1) chedice veroè definitivamentesi n da certoèse un novero in poi :)3- ☒ (ttns PC- è veronnono : ,)(P2) chedice veroè Frequentementesi n valoriè dise infinitivero per m :]☒ )(P verame ènono >: m ,)(Aln)est è positivoè -10se nvero ( )definitivamente)al è 10 verase >vera nn frequentemente( ))(B.2 è se è pariveron +10nes ☒definitivamente qualeoltre il è semprevera →no no verafrequentemente veraèmia

Successione e scritture equivalenti

Successione : l'funzione 1IDabbiadice che comesi successione insiemeuna Rcodominiocomee (a)HRfG) H ☒an<- : >-: -fin)☒ anmi -anne -1 -- =scritture equivalentipotrebbe definitala dominioche successioneanche accadere siaOss su un. tipodi questo : }{ 1nel meno: ☒C-noIn- definitaèes 20-20 mean per=di successione

Visualizzazione della successione

Visualizzazione :una Rappresentazione cartesianaIn f- ^1 dellan successione== .""µe, tutti puntirappresentare i÷: ( )ann ,;Rappresentazione su una Renta{ } 1/41/3 112 1an Yo i i -iÓ Q1alaaq }

Limite e intorni

limite diilparlare di concettointroduco :per il analisiIntorno esprime diconcetto→ invicinanzaPd)I di ✗intorno ino☒ definisce diC- diintorno✗ sisia or >✗ raggioo ointervallol' ( )r✗ xotr-o , ☒)( >•Xo XotrXo r-}{ / /R ( ))Irlxo r 1-c-✗ <✗✗: == r✗o- o , )( dainfinitigli che distano dipunti ✗sono rmenoo)I di +00intorno } ( a){ Ra)(Iataek a×E >✗ a ++ =:= ,, )IactaI >a)II diintorno -00 }{ ( a)taek a)1- RIa noe a✗✗= = -<: ,, )Iata ' >a

Successione uniti e convergenza

di successioneUniti ^considero ansuccessioneuna=L 3)bn (IIIes an con mtcos= ;; =, Etc-I - -2cnearctgn ::"P Ì i i s;noi >. • •.. . ,, 3 4alQO [di successioneconvergenza una}{ !successionesia unaan super importante})( ll adchedice convergesi anan - 0,7mgV-E- m >> ME:,=Lbman /(3) 1am l Eoppure <>= -to✗ → Ilinguaggiousando degliil analiintorni l: EE <-( )TE )7mg IEUIng C-ta0> anme:,Im ilItà ① limiteverificare-es staM - / /IIV-E -0,7mg -0 E<: m > ne// =L E èE IIIII. << -n= matto ]È( )basta scegliere lamanierome che= siaangaranziaavereper compresa/laprendo ][Ee- assaltoE n ne< > =,interapartedi successioneuna

Divergenza di una successione

Divergenza ^maes an = a-lim to=an qM to>- G) :'•FÈÈ AI]V-A.ca 1e anma >n >< :- ma, (a)"" barrieraqualunque Definitivamentesuperaan linguaggioNel intornidegli A: / a)Ia)ImltooHAERI iiii.itene +an, definizioneAnalogamente potremo ladarehim am n= - •n +00> !- •A • •È ancaI]taek 1 >E man =>< :- ma,considerazione convergenteche divergentesuccessioneuna sianon o.notevole dicesi indeterminata né" convergente( ) -s1es con = ↳ divergentenené convergente)(dn -Scos n= ↳ divergentenéDCF divergentedice REGOLARE successione: convergenteunasi odi successione

Monotonia di una successione

Monotonia una defdicesi crescentesuccessione <monotonauna >=Un anniEan= no :( )trasoloconfronto di indici consecutivisi coppieopera un Mitt Evan anties an =. 71)(n' E mm+1È #¢+1 +2stretta decrescentenettamentedice +2m< Esisuccessioneuna ttn 2m -1=-11an= <no an: ☒ne-21 vera=nn' crescentemonotonaè+1an = Èdicesi decrescentesuccessione monotonauna < 1Zantan= non : Èdicesi strettamentesuccessione crescentemonotonauna <anti<an= non : Èdicesi strettamente decrescentesuccessione monotonauna <+1an>an= non :q TGf_-oao-q 7eJa Re !

Regolarità

Regolaritàdi1Mama }H R REGOLAREMa an → an è: )divergente( convergente oHp monotonasiaan:corollario )Apt limitatamonotona superiormenteèse an èansecrescente { }hm sup no>an m:an =ton >-Hp 2) se limitatasuperiormenteèan nonhim +an a=staM -inferiormente / ?significa cheOss limitatache an ècosa superiormente. ÉM Vine3- ☒☒Me an: , ?significa limitatacheche an ècosaÈ tante ☒M3- Me ne: ,@­ .­

Dimostrazione

Dimostrazione Hai{ } limitatosuperiormente vuotose an è e non /l }☒la di ammettecompletezza ansupper = ({ lzan} ☒ )1)definizionePer di èansup ne maggioranza: , (El:LV-E 0,7m deipiccolo2) E +an<> -, , )maggiorentiama -7| |• il• •oio aoe- lE l' didi cioèipotesianzianamemi crescenza anper ,, l El lV-ns.mn EE Eam << an +- ,dunque l l7ns EE ama +n <:> noi: - IlimonemistoES diNotevole successione ( "f)la 1considera +successione nerifacilmentepuò dimostrare chese :1) tucrescenteStreetè an-anti:an _ ,{ } ttn2) limitato <3 =/ Oanè :an insiemeun sup ,.?Html }) {bm en osup an > =,n +a> ↳- 2,7182= . ..no NeperoiEqTGo--AogoMa

Teoremi

UnicitàTeo 04MIARemakmal èesistedi unicosesuccessioneuna9gTGo--Ao↳oMa di limitatezzaTeo 1MaRema limitataconvergente èsuccessioneunaDIMOSTRAZIONE le ☒ma successione anuna :an --lV-E 3- l EEcioè <: >n0 ne ama +me> -, ll7mn E2=1scelto E an< < +n > mi: -, l 1+1-1 IIl ✗✗ 1 11 I1 il1 -Il i 1 Manaòm -- -ma=n{ }lttM ao an laMax ann= , , , ,...,{ l }al-1 ao Q2 Annminm = /, _ ., ., ,In limitataM ècioèEme: an delvaleta il teoremaa :☐ viceversanon limitataèconvergentesuccessioneuna limitataMa dettoè è convergentenon siasuccuna . "( limitata) convergenteè=an nonn ,°| qgygoo-ngo-gteoma. pro el confrontoMMARena In due limiteche ammettonoansiano successioni, {È }bm le ☒ U ±an no== ttuon → Estesohm EIn me=ton >- definitivamentebm1) Eanletesi m:°2 ogpo@o- oaog- TeoM a.p / deidel 2 Carabinieri confrontoMMARena bmansiano Cn successioni, , ☒him lelimcnHp an: = =ta tun n→ →definitivamentebn2) E E cnan lbn7hm valetesi : e+00n >-9qTGo--AogqMaTeo MIARema )( bm limitatainfinitesima0 ese èan >- bn infinitesimaallora èancon = . infinitesima=sm{;Y3m)- 1- 0Con anes a+nper →- →_. Mtt )( limitataln n'Sim +3m= ( )ebreii-lrm 0Cm =+00m →q­ dei di successioneAlgebra dei limitibn taledue chesuccessioniansiano , hm E☒ bnle bm menan == +m sosta →n -allora : ( )( ltm)ln definitoG