Appunti di Analisi 1

Massimo / minimo

Massimo / Minimo↳ appartengono all' insieme/MAGG Idrante MI ENORANT↳ NON all'appartenere insiemepossonoF- ESTREMO SUPERIORE dei maggiorentiminimo→ESTREMO INFERIORE dei minorenne→ massimoMassimo↳ cheestremo all'appartiene insiemesuperioreMI ni mo↳ inferioreestremo all'che appartiene insiemedi S BERNOULLIEQUAZIONE DI Gtx ")In☒ -1 IN7 C- 71 hx✗× e +e,

Numeri complessi

Numeri complessi (E- )CONIUGATO ✗ iy→ iy✗se +2-=• =-Iziz xztyz✓/ ZImodulo →• = =ESPONENZIALE COMPLESSO• eia↳ f (a)icosa seni+= =RADICI ESIMEM• - "%i"↳ "" "disol2- èr e a- re= .µ =.2K Per K 1,2 h 1c- 0= -.. ,..,ottengo soluzioni distinteh -27/10/2020 È)Unita( intinti ao⇐ o--+ • )siente ) ( VieUnita intinti( +.-= =Unitemente( ✓ +ɵ:ÈÈ ±.in#T--==

Teorema della permanenza del segno

①Teorema della permanenzadella SEGNOSia → >aah o/ tnIN7 èè > >oanc-DIMOSTRAZIONE /IN]TE > c-oan → maa]| Fm[ me>Ea- e+a, /7 INsiper E nE• c-=;= |E ] [ÈG-E 1-aOlm a -maggiore ,di 0 Fm si>FmE siE<o >< <an af èo> >an mCorollario /7 IN Inse mi c- èanco→ <aan o >

②TEOREMA permanenza SEGNOdella delf INsia ☒Anto 70m c-c- ane → a aDIMOSTRAZIONESupponiamo assurdoper <a o7 /INil corollario siper c- ancofu sì 'percheassurdo ipotesiper> ,Fm IN70 c-anlocatarioSean E ac-aE → ⇐ o0 am

Teorema del confronto

①Teorema confrontodelSiamo Iam di realisuccessioni numeriah , Then asdElonchetali an ¥tconvergenti aDIMOSTRAZIONEfin)( INbn so c-an - )( loIon so→ aan -- ↳ limitiperche di' unadi terminisuccessionenegativi

②Teorema confrontodel( )dei Zcorealiniriteorema finsiano IN Inbendm cmE e →c- ate£ ☒c-supponiamo a1) ton ' convergenteebna) → aDIMOSTRAZIONE ⑦/ tm/3- /IN E<→ >anmeE ac- meaan > o -| fm3- 1cm alcen' n'INte c- >cn → >a -o ee ¥+0! { n' }Sia Max mem e= ,th MI t⑦valgonoE >> o ee bm2 cnal E te<E Eam a- Èr*⑦Èe ☒ [ 10hFm èn'] Ling] aIone =e + >Eae a- , ,

2° confrontoTeorema del rivisto]V-nsn-c.FI figghiakm ChE c-a n ±±DimostrazioneNella dimostrazione prenderebastaprecedente }'n' { n'sìMax ma= e{ , ,avrò 7 IN'n' tale cheEe > o c-eIbm fal limon]'n' a=E< >m- e h → +00Criterio di ilperconvergenzafraprodotto limitatasuccessioneuna infinitesimauna successionee

Successione limitata

DEFINIZIONESia di numeriuna successioneah che è superiormentereali diciamo an, fineME INIan7 EMAlimitata se' inferiormente limitatoE se/ t IN7 ERI E c-anm m nlimitataè inferiormente limitataan èse limitatasuperiormentee lÈ tant7 Mlimitata Mè < <an c- M ME €annn = -ESIMIO " ha)( limite per h-1 →an + onon=però limitataè -44=1I Il1am =

TEOREMA limitata☒se 'c-→an an eailvale viceversanondimostrazione /TE alIN] Ian e<> o→ mea -in far C- ME| finIN]sia hain aria1 >{ <c-={ { }} attiriE .fmMaxEan ora-1 amimin ana . .,,,. .., , t.eeTÈ { divergentea+fa IN himM "oanE c-Ean -nn convergenteERI> +n a- a infinitesimo0$

Prodotto fra successione limitata e infinitesima

teoremafraProdotto limitatasuccessione e unaunainfinitesimasuccessione finÈ ben/ INIan MEsia E → ae siac-bn → oan -dimostrazione thM INME c-E an- MI /tantbnl bntoni1 Eam -=.Ibm MI/ bnlM AnE ean -- nonnounocarabinierit 2per . )( sinensin Ionah an o→= =-InIon o→ µ= ' NT✗ him an -7+n so→ →

Successione monotona

DEFINIZIONEsia di realiuna numerian succcheDiciamo ( ) THENè antimonotona crescente antiah C-anse the( )antimonotona crescentiè stretti INam < antianse fh( )decrescente antimonotonaè IN7aman C-anse e+Gants Thenmonotona )decrescentestattèah > antianse,Isfan -- fh IN¥ In c-am <= an=+1

TEOREMA ]Sia % amonotona "una suaan . •① }{Se t INfinelimitata in c-superiormente sup anan' =an ,e , •②Se limitataami himi HOonmenon =. h +so→③ }{t INhim inflimitatoinferiormenteSe inè c-ahan =an ,m +00>-④ ti Legolimitataimfèse aon =non -an .

①DIMOSTRAZIONE }{I ☒M perchéIN c-sup in c-- an- .}{ limitatoIN 'nah supc- e, .fh) IN M 'percheM 'i maggioratiC-ean e /fa { }) 7 MINinii >c- an> ec-o anam -, ,FhM tti peschi{ C-ah >< ah an-☒ del V-n.CNaree m< c-arte i Ferri) )antiperfer iif ]1 [3- tIN M MtcsiE EEc- am> o - ,t è Min > →an

②DIMOSTRAZIONEt limitatasuperiormentean e non In}{7me ☒ new <c- aàanai ,temete tn si>È ]ME INsi c-talfigo an =

Numero di Nepero

Numero di Nepero e=Consideriamo"fan )( 1m forma 1°è indeterminata1 + una= " ":(E)Hi-fi f)ti:)+ a +.f)( him10h e1 ean =+= =-E net[[[Y- anebn.ch 42=-1 E =teE2 E 4CEantaniDIMOSTRAZIONE TESI tn INamante 71< c-:÷=f÷È: :/la =""( E.) ;-)(1¥ n == . i :( " È( ) ( )1 mm+× ×1 +== .ftp.t?tEI---=- *( )7^-1-+4%-2 Fn* =-Bernoullinon / )=p );÷ ¥ "theirfine 7amoff anni71 antibnDIMOSTRAZIONE TESIYaoi theirtanti < il:#'¥ - i-. 2hthtz :÷=L!:Ì¥ E- ÷:= - -. ." ?=/ )÷ :÷ ÷ -. ." ?Èze) ÷= =.×/ 2mt=p 1¥14 /ieri f- ⑦÷+ . .=/LI IE-m.at/:zi-Y-n7i-1"> '_ tantodi 4Ian2 Efan E =ai= bnlanti Numero Neterohim die == n to→ (1+7)Ion → ean--f.it • usando1- studiarle esempre,/28 /10 2020 "" (1+7)(1+7) figoeam = --""In f)( 1 + e→-- " "n-j.ITE)toni ( )( ( ÷^ + -= - ."I f) -him ( 1- e=n +→ a :(F- ):( :Il " )G- si :-|* ÷bar → e= h to→FI "( f.)1 + e→ ,h too>- """" /)( ( è( 1+1=1+1m ^^ == questoRicondursi letuttelimitea " °f.itvolte 1-che si studia una ,

Limite notevole

Limite notevole"IT " f. n°1 in →= m → +soehhlght-gn.jo#Y=e0"lo / )"nun ne= =TEOREMAsia lolo R1 c-< <o ,n'%Int 1→= h +00→DIMOSTRAZIONEm'%6h funzione-170 laperché potenza= tpositiva èm'% "n'Ion ( ) hbn71bn+1 1 + += = Bernoulliper → o → o⑦m' Elon°hbn E-1E o -dei carabinieriTeorema due"Ion 1" bn→ +1 →o n = h → tomah 1→[ the" alElon ]¥" → ogn egne= → o→ o fnl⑧In →lgn o= .f- lgn → o èeonetà?" è 1→m = =ninna 1>boia > 0÷Sia → >+00 oanan ,%I- o>÷?⃝ MP Èc-ah con p= lgimphtP¥ o→= in +→ 001%7 PILf- o→= • → io+inScriviamo ifMP Rtlgh 4 peche infinitolghilindicare èper unMPveloce dimeno Ion Iant → +0an an ,II → ose

Criterio del rapporto

Criterio del rapportoDELSia di reali> numerio unaan sua . positiviIansia %÷=1) bn lose ^ → o< an→2) Ion loSe +00→^>→ anben loSe inefficace^ criterio→ = ( )criteriocambiare①DIMOSTRAZIONE6<1Ion → Ionbin dellail1<0 T1 per→ femm-- .del segnoFm/] bnsi INmarajà-1<0c- >fnhaff>1 < o- finmanti>1 cananti< grandehperan > o limitatainferiore da 0Hp eper .] figg ☒ 70c-an aa= ,Se assurdoper -1-0aIn amante g-→ e= =tiHp lo assurdo1 0< a == Inam = }{ 1-¥ ¥}%? i - _ .,. .,, ,,. ¥-1Tra =1 }{ inniI. ÷ . ..- -.Sia > 0an | In → oam =bn TEe sia = Èan ÷ ^→= = ,I-nan = "ÈÈ÷=I:÷TE #an =- .- =È ± ^<→=Criterio del rapportosia 0>an bin TEsiae = aÌsaggiareIn b- o-1 <1→ della delil tper permanenza segno. fin|3- An ùINsi >1E < o-àÌ÷ tu è>-1 < otu èarie >e< Innecan >antit inferiormenteda rt in poian edalimitata 0 ☒I him c-an a=h +00>-Se assurdo -1-0per a ,bin l'afàn unicitàper1[→ == limitedelti 6 bar 6=1Hp assurdo→ aan -0 ②DIMOSTRAZIONESe bn lo → +00agg ane>→= -÷ ThDI :÷=÷÷← :< ^→=¥ In①e per> o→→an +00tom' faam4° ^> >o eÈhimcioè m o=nom >- deldim il criteriolaper usiamo. rapportoÈan > o= ':÷÷ :-/' È :( ina:÷ = == . .'( f)÷ 1<1e →+ o→anESE::÷ °--rike" → o

Fattoriale di un numero naturale

Fattoriale numero naturaleUNDI !1cheDiciamo 1= lthIntel !( )! h INhte c-e = .! prodotto deih il primiè h naturalinumeri! !7 6 0!=17= . !5g.7.= !56 47- -= - definire!36 5 4 per7= .. .. .!257- 6- 34= ... 14 3 257 G- == .. ...!tim h + a=M +00>- !atTh L m 1>a: LÌhim o=h > + oo- ÷ ,É÷ ¥:÷ "an - ==- :.¥ ÷ITE o→== -( , del rapportocriterio > oan -n' "( 1)° !lgh " ( 4a)fb La < mta4 h>>/ /3 11 2020Ifn delcriterio rapporto=am ")È II ¥: # :-.TE === .ÈeÈ E→ e= <=. )( del rapportocriterio oan →Esa::::÷ e→=

Limite notevole del seno

NOTEVOLELIMITE finsia IN=/ oan c- → oanesina.IN 1→Essential (f) 1→sinin= limiteDIMOSTRAZIONE notevoleEo < <× ÷ IIITgxV EEsin =✗××c¥- SÈcos 1✗ E E=per I 2¥→ EE E✗0 1cos ✗ <" Ltecosi )×- ×-)( siseE 1Cos × <- ( )×- chiamo¥ XEper E0 ✗ y -=,E single percssy E1 o<y<-⑦ ] [{] UEcos E Sif TE✗ 1 ✗per ee /-' 0<1×1per Ecioe <sia to→ 0 anun , /3- Ian /IN tuE neMe >< EE> o / thsia èIN /7 Ian IaE >siE <E= ⑦fin laterminiE verificanoi> ansimapfhE 1Cos an E simj.tn:1 eti →&1- coso_ deite carabinieriper 2.EI si-z-Y-n.sinff-I-r.to(f)hrsim =

Sotto successioni

Sotto successioniDEFINIZIONESea di realinumerian una sera . ⑧