Appunti di Analisi 1

Appunti di istituzioni di matematica

Giacomo Lovato

27 September 2021

Indice

I Fondamenti 7

1 Disequazioni 7

1.1 Disequazioni irrazionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Disequazioni logaritmiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3 Disequazioni esponenziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4 Disequazioni con valore assoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4.1 Disequazioni elementari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4.2 Disequazioni non elementari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4.3 Disequazioni con più valori assoluti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 Trigonometria 10

2.1 Definizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2 Proprietà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2.1 Proprietà di sin x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2.2 Proprietà di cos x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2.3 Proprietà di tan x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2.4 Proprietà di cot x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

II Numeri 12

1 Insiemi 12

1.1 Osservazioni sul concetto di insieme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2 Operatori e scrittura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3 Relazioni tra insiemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3.1 Proprietà di ⊆ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4 Le operazioni degli insiemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4.1 Proprietà di ∪ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4.2 Proprietà di ∩ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4.3 Proprietà distributive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4.4 Leggi di De Morgan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.5 Logica elementare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2 Gli insiemi numerici 15

2.1 Naturali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.1.1 Proprietà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2 I Relativi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2.1 Proprietà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.3 I Razionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.4 I reali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.4.1 Proprietà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.5 I Complessi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3 Valore Assoluto 24

3.1 Diseguaglianza triangolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.2 Le proprietà del modulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4 La sommatoria 25

4.1 Le proprietà della sommatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.2 Fattoriale di n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.2.1 Proprietà di n! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.3 Binomio di Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.3.1 Identità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

5 Principio d’induzione 27

5.1 Dimostrazione per induzione del binomio di Newton . . . . . . . . . . . . . . . 27

6 Estremi e assioma di continuità 29

7 Potenze e radici; esponenti e logaritmi 30

7.1 L’esponenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

7.1.1 Proprietà dell’esponenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

7.2 I logaritmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

7.2.1 Le proprietà del logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

III Le funzioni 31

1 Definizioni 32

1.1 Proprietà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.2 Il grafico di una funzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.3 Funzioni limitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.4 Funzioni simmetriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.5 Funzioni periodiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2 Tipologie di funzioni 34

2.1 Funzioni invertibili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.2 Funzioni composte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.2.1 Proprietà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

IV Limiti e continuità 36

1 Successioni 36

1.1 Definizione di successione e definizione di limite . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.1.1 Successioni convergenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.1.2 Successioni divergenti e successioni irregolari . . . . . . . . . . . . . . 37

1.1.3 Infinitesimi e infiniti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.2 Successioni monotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1.3 Il calcolo dei limiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.3.1 Limiti notevoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.4 Il numero e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

1.5 Confronti e stime asintotiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2 Limiti di funzioni, continuità e asintoti 44

3 Il calcolo dei limiti 45

3.1 Proprietà fondamentali dei limiti e continuità . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.2 Limiti notevoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.2.1 Limiti notevoli di sin e cos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.2.2 Limiti notevoli derivanti da e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.2.3 Limiti notevoli dal confronto degli infiniti . . . . . . . . . . . . . . . 50

4 Proprietà globali delle funzioni continue o monotone su un intervallo 51

4.1 Funzioni continue su un intervallo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

V Calcolo differenziale per le funzioni di una variabile 53

1 Derivata di una funzione 53

1.1 Derivata e retta tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

1.2 Punti angolosi, cuspidi e flessi a tangente verticale . . . . . . . . . . . . . . . 54

1.2.1 Continuità e derivabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2 Regole di calcolo delle derivate 54

3 Il teorema del valore medio e le sue conseguenze 57

3.1 Punti stazionati. Massimi e minimi locali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.2 Teorema del valor medio. Test di monotonia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4 Derivata seconda 59

4.1 Derivata seconda, convessità e concavità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5 Calcolo differenziale e approssimazioni 60

5.1 Limiti notevoli e sviluppi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

5.2 Formula di Taylor-MacLaurin con resto secondo Peano . . . . . . . . . . . . . 60

VI Serie 62

1 Le serie numeriche 62

1.1 Definizione ed esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

1.1.1 Serie geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

1.1.2 Serie armonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

1.1.3 Serie armonica generalizzata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

1.1.4 Serie di Mengoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

1.2 Serie a termini non negativi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

1.3 Serie a termini di segno variabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

1.3.1 Serie a termini di segno alterno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

VII Calcolo integrale per funzioni di una variabile 68

1 L’integrale come limite di somme 68

1.1 Classi di funzioni integrabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

2 Proprietà dell’integrale 69

3 Il teorema fondamentale del calcolo integrale 70

4 Integrali generalizzati 71

4.1 Criteri di integrabilità al finito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

VIII Equazioni differenziali 74

1 Definizioni e primi risultati 74

Parte I

Fondamenti

1 Disequazioni

1.1 Disequazioni irrazionali

Una disequazione irrazionale si dice irrazionale se l’incognita compare come argomento di una radice. Si avranno, quindi, quattro possibili casi, dove f (x) e g(x) sono due funzioni con incognita x:

1. In questo caso bisogna risolvere due sistemi di disequazione e poi, per √n f (x) > g(x) trovare la soluzione, fare l’unione tra le soluzioni dei singoli sistemi.

    f (x) ≥ 0  f (x) ≥ 0

      

      

   g(x) ≥ 0 g(x) ≤ 0

      

   √n f (x) > [g(x)] R ∀x ∈

      

2. In questo caso ci si comporta in maniera identica al precedente, con √n f (x) ≥ g(x) l’aggiunta di considerare gli zeri dell’equazione che prima venivano scartati.

    f (x) ≥ 0  f (x) ≥ 0

      

      

   g(x) ≥ 0 g(x) ≤ 0

      

   √n f (x) ≥ [g(x)] R ∀x ∈

      

3. In questo caso basta risolvere un unico sistema di disequazioni, in √n f (x) < g(x) quanto la condizione quando non è mai verificata, poiché un f (x) < g(x) g(x) < 0 numero positivo, al massimo nullo, non sarà mai minore di un numero negativo.

    f (x) ≥ 0

      

   g(x) ≥ 0

    

   √n f (x) < [g(x)]

    

4. In questo caso ci si comporta in maniera identica al precedente, con √n f (x) ≤ g(x) l’aggiunta di considerare gli zeri dell’equazione che prima venivano scartati.

    f (x) ≥ 0

      

   g(x) ≥ 0

    

   √n f (x) ≤ [g(x)]

    

1.2 Disequazioni logaritmiche

Una disequazione si definisce logaritmica quando l’incognita compare come argomento di un logaritmo.

 f (x) > 0



1. Le condizioni sono quindi log f (x) < 0 b > e quindi log f (x) < 0 f (x) < 1

 a > >

 f (x) > 0



2. Le condizioni sono quindi log f (x) < c ∧ c ∈ R b > e quindi log f (x) < c f (x) < a c

 a > >

3. log f (x) < log g(x) b a >

In tutti e tre i casi, nel caso in cui è necessario, quando si passa dal logaritmo al 0 < b < 1 suo argomento, il cambio di verso.

1.3 Disequazioni esponenziali

Una disequazione si definisce esponenziale quando l’incognita compare come all’esponente dell’argomento.

• In questo caso si procede al confronto degli esponenti e, quindi, a f (x) < a g(x) > f (x) < g(x) >
• In questo caso si passa al log per entrambe le "sezioni" della disequazione a f (x) < b. log a > e, quindi, la condizione diviene x log a = log b a a
• In questo caso si ricorre all’utilizzo del log per entrabe le "sezioni" a f (x) < b g(x) ∨ a log ln, 10 > della disuguaglianza.

1.4 Disequazioni con valore assoluto

Le disequazioni in cui l’incognita compare all’interno di un modulo prendono il nome di disequazioni con valore assoluto.

1.4.1 Disequazioni elementari

Sono nella forma |f (x)| < k con k ∈ R >

• Si divide in 2 casi distinti: |f (x)| ≤ k se k < 0 allora la disequazione non ammette soluzione; se k > 0 allora −k ≤ f (x) ≤ k e la soluzione finale sarà l’intersezione tra le singole soluzioni delle due disequazioni.
• Si divide in 2 casi distinti: |f (x)| ≥ k se k < 0 allora la disequazione è sempre vera; se k > 0 allora f (x) < −k ∨ f (x) > k e la soluzione sarà l’unione tra le singole soluzione delle disequazioni.

1.4.2 Disequazioni non elementari

Sono nella forma |f (x)| < g(x) > e i passaggi sono i seguenti:

• Si studia il segno di f (x).
• Si creano n sistemi, in cui la prima disequazione è il segno del modulo, mentre la seconda disequazione è la disequazione di partenza senza il modulo, riportando f (x) con l’adeguato segno. Ricorda che se f (x) < 0 allora |f (x)| = −f (x).
• La soluzione della disequazione è data dall’unione tra le soluzioni dei singoli sistemi.

1.4.3 Disequazioni con più valori assoluti

Sono nella forma |f (x)| < |g(x)| > e i passaggi sono i seguenti:

• Si studiano i segni dei singoli moduli e si determinano gli intervalli.
• Si creano n sistemi, in cui la prima disequazione è uno degli intervalli trovati nel punto precedente, mentre la seconda disequazione è la disequazione di partenza senza i moduli, riportando le diverse funzioni con gli adeguati segni.
• La soluzione della disequazione è data dall’unione tra le soluzioni dei singoli sistemi.

2 Trigonometria

2.1 Definizioni

• Si definisce sin α la proiezione del punto P (che crea angolo di α radianti) sull’asse delle y.
• Si definisce cos α la proiezione del punto P (che crea angolo di α radianti) sull’asse delle x.
• Si definisce tan α il rapporto tra sin α e cos α secondo la formula tan α = sin α / cos α.
• Si definisce cot α il reciproco di tan α e, quindi, cot α = cos α / sin α.

2.2 Proprietà

L’identità fondamentale è formulata come: sin² x + cos² x = 1

2.2.1 Proprietà di sin x

• sin x = sin x + 2kπ ∀x ∈ R ∧ ∀k ∈ Z e di conseguenza sin x risulta essere periodica.
• sin x = − sin (−x) ∀x ∈ R e di conseguenza sin x è una funzione dispari.
• sin x ammette massimo in x = 1/2π + 2kπ ed ammette minimo in x = −1/2π + 2kπ.
• sin α ± β = sin α cos β ± cos α sin β.
• sin 2α = 2 sin α cos α.

2.2.2 Proprietà di cos x

• cos x = cos x + 2kπ ∀x ∈ R ∧ ∀k ∈ Z e di conseguenza cos x risulta essere periodica.
• cos x = cos (−x) ∀x ∈ R e di conseguenza cos x è una funzione pari.
• cos x ammette massimo in x = 0 + 2kπ ed ammette minimo in x = π + 2kπ.
• cos α ± β = cos α cos β ∓ sin α sin β.
• cos 2α = cos² α − sin² α.

2.2.3 Proprietà di tan x

• tan x = tan x + 2kπ ∀x ∈ R ∧ ∀k ∈ Z e di conseguenza tan x risulta essere periodica.
• tan x = − tan (−x) ∀x ∈ R e di conseguenza tan x è una funzione dispari.

Dimostrazione. tan −x = sin −x / cos −x = − sin x / cos x = − tan x.

• tan α + β = (tan α + tan β) / (1 − tan α tan β).
• tan α − β = (tan α − tan β) / (1 + tan α tan β).
• tan 2α = 2 tan α / (1 − tan² α).

2.2.4 Proprietà di cot x

• cot x = cot x + kπ ∀x ∈ R ∧ ∀k ∈ Z e di conseguenza cot x risulta essere periodica.
• cot x = − cot (−x) ∀x ∈ R e di conseguenza cot x è una funzione dispari.

Parte II

Numeri

1 Insiemi

Si definisce insieme una collezione di oggetti, che prendono il nome di elementi. In matematica, gli insiemi vengono indicati con le lettere maiuscole dell’alfabeto, mentre gli elementi dell’insieme vengono raccolti tra parentesi graffe. In matematica, la nozione di insieme viene assunta come primitiva.

1.1 Ex. A = {a,b,c}

Si definisce spazio ambiente l’insieme di tutti e soli gli elementi, e di tutti e soli gli insiemi, che si considerano in un determinato problema.

Dato lo spazio ambiente X, si definisce l’insieme della parti di X i.e. la famiglia P (X) di tutti i possibili sottoinsiemi di X.

1.2 Ex. Dato X={1,2,3} si definisce P (X) come ∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}.

Si definisce insieme vuoto l’insieme che non contiene alcun elemento, e per qualsiasi insieme A vale sempre la relazione ∅ ⊆ A.

1.1 Osservazioni sul concetto di insieme

Nel concetto d’insieme non esiste né il concetto di ordine, in quanto l’ordine con cui elenchiamo gli elementi è irrilevante in quanto l’importanza è data alla sola presenza, o il concetto di molteplicità, in quanto non conta il numero di volte che lo stesso elemento viene ripetuto.

1.1 Sinonimi sono: collezione, classe, aggregato e famiglia.

1.2 In questo caso si dice che l’insieme sia definito per tabulazione.

1.3 Concetto che, per la propria semplicità ed intuitività, si rinuncia a definire mediante termini e concetti già definiti all’interno del testo.