Appunti di algebra lineare

Algebra lineare

Insiemi numerici

⊆ ⊆ ⊆ N Z Q R

Insieme definizione esempi

N Cardinalità di specifici N = [0,1,2,3,4, …, n, …] 1 5 18 insiemi (+) Naturali +

Z Z = -206 15 […, -n, …, -3,-2,-1,0,1,2,3, …, n, …] Interi –+–

Q / 2/3 0,15 Î Î ∧ + Q = [ : (z Z) (n N )] Razionali (con la virgola) Frazioni 0 7 -23 - finiti o infiniti - periodici Ö2

Non frazionari - Irrazionali infiniti - non periodici Ö2 p

R Razionali 36 Î+ R = Q U [x : x [numeri irrazionali] ] 5/6 e -8,2 Reali Irrazionali 39

Operazioni possibili con i vari insiemi numerici

Î N Z Q R

(x N) + ü ü ü ü Û

- ü ü ü q n in (n – q) <X ü ü ü ü

/ ü ü 2X ü ü ü ü Û

Öx ü Q > 0 ( +)

Vettori

* = Insieme delle ( ) coppie ordinate R

Consideriamo, riferendoci all’insieme dei numeri reali: di numeri reali

Tipologia dominio definizione elemento funzione dello spazio

Î R Retta Localizzare un uni-dimensionale Q U [x : x [numeri irrazionali] ] punto della retta

2 Î Î R Piano Localizzare un bi-dimensionale { (x, y), x R, y R) } punto del piano Î Î x y | , , } = Insieme dei vettori a due dimensioni

Localizzare un tri-dimensionale Î Î Î ~ • € , , , • 3R Spazio punto dello spazio Insieme dei vettori a tre tridimensionale dimensioni

nR n-dimensionale 40

Definizioni fondamentali

Vettore (v): v = (x, y) n-pla ordinata di numeri reali, in cui sta per il numero di componenti reali n ¹ è à coppia ordinata (x, y) (y, x) ogni coppia di termini è una à à vettore a 2 componenti (2, 3) vettore a 3 componenti (2, 3, 6)

Vettore riga vettore colonna (, ) v w

Trasposizione (T)

i Vettore fondamentale (e ): i e = (0, 0, …, 1, …, 0) vettore di ordine n le cui componenti sono tutte nulle tranne la i-esima, che è uguale a 1

Vettore nullo (0): 0 = (0, 0, …, 0) vettore di ordine n le cui componenti sono tutte nulle

Scalare = qualsiasi numero reale

Grandezza scalare grandezza vettoriale Qualsiasi grandezza esprimibile in modo Qualsiasi grandezza esprimibile necessariamente sufficiente ricorrendo ad un numero reale attraverso un vettore, ossia una freccia • • intensità intensità (modulo) • direzione (verso) 41

Rappresentazione geometrica di vettori

à si consideri un piano (2 dimensioni x, y)

Ad ogni coppia geometrica corrisponde uno e un solo punto del piano, ovvero anche un vettore, una freccia cioè con base in O e punta in (x, y)

1,2 n = 1 1 0,8 P(2) = P 0,6 1 0,4 0,2 P 1 0 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5

3,5 n = 2 P 1 3 2,5 P(2,3) = P 2 1 P 2 P(3,2) = P 1,5 2 P(-2,-1) = P 1 3 0,5 0 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -0,5 -1 P 3 -1,5

n = 3 P 1 P(1, 2, 3) = P 1 42 2

Operazioni in R

Proprietà

• 1. Proprietà commutativa: v + w = w + v
• 3. Distributiva: l(v+w) lv lw = + lv µv (l+µ)v = +
• 2. Moltiplicazione per uno scalare: l Î R
• 24. Esiste il vettore nullo in R Î v w v = v + 0 = 0 + v = v l lv lv w = x y = l

Somma vettoriale 1 2 1 + 2 ‚ ƒ + ‚ ƒ = ‚ ƒ 1 2 1 + 2 1 + (−1) 1 −1 0 y | + y | = y | = y | 2 5 7 2+5

à Vettori v w h 8

Regola del parallelogramma

7 6 5 sommando due vettori, la risultante 4 sarà la diagonale del parallelogramma h 3 i cui lati sono formati dai vettori stessi w e dalle rette a loro parallele, che 2 partono dalle loro punte 1 v 0 -2 -1 0 1 2

43 à altri esempi di regola del parallelogramma 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0 0 1 2 3 4 5 6

Prodotto di uno scalare per un vettore

l à > 0 vettore risultante ha lo stesso verso di v l l y | = ‚ ƒ l l scalare (numero reale) v à < 0 vettore risultante ha verso opposto di v 3 2 -1

vl Î R 1 Î 2v R 0 -4 -2 0 2 4 6 8 3 −3 lv -1 = −1 y | = y | v +2 −2 -2 2 v 3 6 l’v = 2 y | = y | -3 −2 −4 -4 -5

Nota bene à -1(v) opposto di v à Vettore 0(v) = 0 vettore nullo Vettore 44

Prodotto scalare tra due vettori: S< v, w > = v wi i ottenuto dalla sommatoria dei prodotti di ciascuna i-esima componente del primo Numero reale vettore per la i-esima componente del secondo vettore

Operazioni in R3

3 Operazioni in R Î 3v R 1 v = „ … 2 3

Somma vettoriale 1 + 2 1 2 „ … + „ … = „ … 1 + 2 1 2 1 + 2 1 2 3

In R vale la regola del parallelogramma? Î 3 v, -2v R 1 v = : ; 0 1 1 −2 −1 −2 h v + (-2)v = = „ … + „ … = „ … -2v 0 0 0 = : ; 0 1 −2 −1 −2 45

Operazioni negli spazi vettoriali reali

n Spazio vettoriale reale (R ): insieme di enti (n-ple reali ordinate) in cui sono possibili le operazioni di somma (tra vettori) e prodotto (di un vettore per uno scalare), che possiede cioè le proprietà commutativa, del prodotto e distributiva

Tipi di spazi vettoriali reali: Î Î 2R = x y | , , } Î Î Î 3R = ~ • € , , , • (…) 1 Î Î Î nR = (… ), { „ … ∶ 1 , 2 , } 2 …

Nota bene n contenere il vettore nullo 0 R deve Î ∀ n

Perché v, w R , a b av bw SE = = 0 ALLORA + = 0 (devo ottenere chiusura alla somma) 46

Combinazione lineare di vettori

à V vettori; R = scalari combinazione lineare di v e w: vettori: lv µw h = + Î v V Î Î w V (h V) combinatori: In generale, combinazione lineare di n vettori: l Î R µ Î R 0 1 2 3 l l l l l ∑ v + v + v + … + v = v 1 1 2 2 3 3 n n i i

3 Esempio in R: Î 3v R 1 0 2 0 2 h = 2 + 3 „ … „ … = „ … + „ … = „ … 3 −1 1 −2 1 Î 3w R 2 −1 4 −3 1 l Î R 3w 2v µ Î R 1 v = „ … −1 2 0 w = „ … 1 −1 l = 2 µ = 3 47

Famiglia di vettori linearmente indipendenti

Se e solo se, qualunque operazione venga effettuata tra di loro, non si ottiene mai un vettore nullo l l l l v + v + … + v = 0 tutti combinatori ( ) nulli SE ALLORA ho utilizzato 1 1 2 2 n n

Famiglia di vettori linearmente dipendenti

Se e solo se, con combinatori che non sono tutti nulli, dalla loro somma si può ottenere il valore 0 (vettore nullo) l l l l l l ¹ v + v + … + v = 0 , , possono essere 0 con che 1 1 2 2 n n 1 2 n

2 Esempio in R: 0 Provo: v = y | 1 1 l = 1 3 1 v = y | 2 1 l 2 + 2 ∗ 1 = 0 | 2 l l 1 + 2 + 1 = 0 v = y | 3 1 l 2 = −2 } l 1 + (−2) + 1 = 0

l l y 0 y 1 y 2 2 + 2 3 y 0 l l l + + | | | y | | = = = 0 1 2 3 l l l 1 1 1 1 + 2 + 3 0 l 2 = −2 | l l 2 + 2 3 = 0 l 1 = 1 → | l l l 1 + 2 + 3 = 0 Ottengo un vettore nullo (0) dalla combinazione lineare dei tre vettori dati con combinatori NON l l 0 1 2 2 + 2 3 v 0 v w v w v w v w w 1 + (-2) + 1 = = = 0 tutti e tre nulli l l l 1 1 1 1 + 2 + 3 0 à i 3 vettori NON sono linearmente indipendenti!

Teorema

Dati due vettori linearmente dipendenti, lo 0 si può scrivere in un’infinità di modi, cioè vi sono infinite soluzioni che portano ad ottenere lo 0 da combinazioni di diversi valori dei combinatori 48

Proprietà degli insiemi di vettori linearmente dipendenti

• 1. SE si vettori a una famiglia di vettori linearmente dipendenti, tale famiglia aggiungono aumentata continuerà ad essere linearmente dipendente sufficiente.

Dimostrazione: Condizione necessaria e sufficiente Sia V uno spazio vettoriale reale per la dipendenza lineare: Î Siano v e v vettori reali V 1 2 Hp: Sia V linearmente dipendente $ in V almeno 1 vettore che risulti combinazione lineare degli altri, dati a a Siano , , … non tutti nulli 1 2 combinatori non tutti nulli necessaria è Aggiungo un vettore v : (che in questo caso è il vettore nullo) a a a v + v + … + v + 0v = 0 + 0 = 0 1 1 2 2 r r

Nota bene: Questo NON vale per le famiglie di vettori linearmente indipendenti Se tolgo anziché aggiungere vettori, la famiglia potrebbe diventare linearmente indipendente

Esempio 2 in R: (per esempio, v ): SE NE TOLGO 1 3 y 0 v = | famiglia ridotta linearmente ottengo la v v , che è 1 1 2 1 indipendente y 1 v = | 2 1 è verifico: y 2 v = | 3 av bv a b ßà + = 0 = 0 = 0 ? 1 1 2 y 0 y 1 y 2 y 0 a b ∗0 + ∗1 = 0 l l l 0 1 0 + + | | | | = 0 = 1 2 3 a b v w v w v w } ßà + = 1 1 1 0 a b ∗1 + ∗1 = 0 1 1 0 y 0 y 1 y 2 y 0 1 + (-2) + 1 | | | | = 0 = b =0 b =0 1 1 1 0 } è → | a b a + =0 =0 49

Proprietà degli insiemi di vettori linearmente indipendenti

• 1. SE si vettori da una famiglia di vettori linearmente indipendenti, la famiglia resta linearmente indipendente.

Tolgono

Dimostrazione: a 1 = 0 a 2 = 0 a a a v + v + … + v = 0 •à Significa per forza che 1 1 2 2 n r (…) a = 0

Tuttavia All’interno di una famiglia di vettori linearmente Caso eccezione: NON sottofamiglia indipendenti, posso avere una se tolgo un vettore, ad esempio v , 1 di vettori linearmente dipendenti à la famiglia v , … v 2

• 2. SE si vettori da una famiglia di vettori linearmente indipendenti, questa potrebbe diventare linearmente dipendente.

Raggiungono

Dimostrazione: Quindi… famiglia v , v linearmente indipendente 1 2 a a a a ßà v + v = 0 e = 0 1 1 2 2 1 2 à à aumento Dipendenti dipendenti + v ? 3 à à tolgo Indipendenti indipendenti

Pongo che: a a v + v + k v = 0 1 1 2 2 3 ¹ in cui k è sicuramente 0, a a altrimenti avremmo v + v = 0 e cioè che uno tra v e v è combinazione lineare dell’altro MA per ipotesi sono 1 1 2 2 1 2 linearmente indipendenti e quindi questo non è possibile!

a a v + v + k v = 0 1 1 2 2 3 a% a' − − v = v v à v si può scrivere come combinazione lineare degli altri 2 vettori famiglia lin. dipendente 3 1 2 31 1 50

Sottospazi vettoriali

Combinazione lineare di vettori

Sottospazio vettoriale W Si dice di uno spazio vettoriale V un sottoinsieme che contiene tutte le combinazioni lineari possibili dei vettori compresi in V, cioè presenta la proprietà di: chiusura rispetto alle operazioni lineari: combinando linearmente due vettori all’interno di W la loro risultante appartiene a W

Sia V spazio vettoriale reale Sia W sottoinsieme di V Î ∀ v, w W av bw Î + W a, b Î ∀ R

Esempio è verifico: Î v w 2 W = { R : x = 0 } 0 00 ax bx Î y y + W ? Î x y ′ ′′ à W = { : y R } 0 0 0 0 ax bx y y = x y → + Î ‚ ƒ si sta in W perché la formula W 2 ′ ′′ + ′′

Condizione necessaria ma non sufficiente perché W sottoinsieme di V sia sottospazio di V è che Î 0 W: Significa che W è un insieme di punti che passa per l’origine

Perché per definizione, un sottospazio deve contenere TUTTE le combinazioni lineari, comprese quelle con i combinatori nulli Î 0v + 0w = 0 W: 51

Esempi di sottospazi

Esempio 1 Î vw 2 Sia W = { R : xy = 1 } 0 Î ¹ v w ? à NO perché 0*0 1 W non contiene l’insieme nullo, quindi non è sottospazio 0 2 di R

Esempio 2 Î v w 2 W = { R : xy = O } 0. Passaggio preliminare: 0 Î v w ? à SI perché 0*0 = 0 W contiene l’insieme nullo, cioè è un sottoinsieme di V, 0 2 TUTTAVIA non è ancora detto che sia sottospazio di R!

1. Passaggio 1: verifico usando la definizione Si consideri: Chiusura alle combinazioni lineari? Î 1 0 1 ∀ x, y W v w v w v w h = 1 + 1 = a b Î vw vw } + W 0 1 1 a, b Î ∀ R ¹ Î h non W perché 1*1 0 invece per hp dovevo avere xy = 0 (il vettore trovato non è contenuto in W, che quindi non è chiuso a tutte le combinazioni Î lineari di vettori W) à quindi W è un ma sottoinsieme di V non è un sottospazio di V 52

Rappresentazione geometrica di sottospazi vettoriali

2 3 In R e R: Vettori proporzionali o allineati: due vettori v e w si dicono proporzionali o allineati quando sono tali che: a Î a av = w per qualche R Significa che le loro componenti sono proporzionali secondo Î nx R Î ny R 11 (…) (…) x = y = a 1 = ∗ 1 a 2 = ∗ 2 3% 3' 30 ¹ • = = à con y 0 i … 4% 4' 40 a = ∗

Interpretazione geometrica sottospazi banali: In qualsiasi V, esistono sottospazi vettoriali di V detti V {0} à sottospazio che possiede un unico elemento l’insieme stesso, ossia l’intero NON è insieme vuoto! unico sottospazio di V con un numero finito di elementi 53

Sottospazi vettoriali di R2

2 Sottospazio vettoriale di R: 2 2 à tipo di sottoinsieme di vettori chiuso per le combinazioni lineari in R sottospazio di R2

Sono sottospazi vettoriali di R anche: xy {0} = 2 R | } l’intero sottospazio banale

Come generare sottospazi di un V qualsiasi? Prendo dei vettori dentro un qualsiasi sottoinsieme, poi considero tutte le loro combinazioni lineari Î vettori v , … v V v 1 r i a a a a Î insieme dato da W = { v + v + … + v }, con tutti gli R li W 1 1 2 2 r r

Spazio generato o span dei v: i W = <v , …, v > 1 i à È il sottoinsieme di tutte le combinazioni lineari dei v dati è sottospazio di V i

Dimostrazione: W = insieme delle combinazioni lineari dei v i Î h W Hp: Î k W ah bk Î à uso la definizione di sottospazio + W ? a a S ah = v + … + v = v 1 1 r r i i b b S bk = v + … + v = v 1 1 r r i i 5% ga(S a b b Saa Sbb S bb ∑ v ) + (S v ) = v + v = (aa + ) v = vi i i i i i i i i i i i ig 54

Rappresentazione grafica

2 Sottospazio di R: I sottospazi comprendono tutti i vettori (cioè delle rette), passanti per l’origine, i cui punti cadono sulle rette disegnate dal vettore dato.

I sottospazi generati da un vettore Î ¹ 2 v R con v 0 W = <v> 2,5 2 1,5 <v> 1 0,5 av, a Î W = { } R 0 -3 -2 -1 0 1 2 3 -0,5 -1 -1,5 -2 -2,5

I sottospazi generati da 2 vettori Î ¹ 2 v, w R con v, w 0 W = <v, w> 2,5, ∈ 2} W = , ∈ <w> 1,5 1 <v> 0,5 0 {av bw } W = + -3 -2 -1 0 1 2 3 -0,5 -1 -1,5 -2 -2,5 55

Esempio con vettori linearmente indipendenti

2,5 2 y 1 v = | 2 1,5 h v h' y −1 1 w = | 0 0,5 w 0 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5

y 1 y −1 y 0 Î h = v + w = | + | = | Î Tutte le combinazioni lineari di v e w W 2 0 2

y 1 y −1 y 2 Î h’ = v – w = | − | = | 2 W è sottospazio di R2 0 2 2

I sottospazi di R generati da 2 vettori Î 2 W = R Comunque siano presi v, w W 2 linearmente indipendenti sono tutto R