Analisi 2 (parte 2) - Appunti

Applicazioni vettoriali di più variabili

f : D ⊆ Rⁿ → R^m, m ≥ 1.

Limiti, continuità: richiamare le definizioni discusse più in generale per applicazioni tra spazi metrici.

P : X → Y (X dₓ) (Y, dᵧ).

Qui la metrica è la metrica euclidea.

Differenziabilità

Def. Sia data una funzione f, definita in un sottoinsieme D di Rⁿ a valori in R^m, e sia x₀ ∈ D.

Si dice che f è differenziabile in x₀ se esiste un'applicazione lineare L : Rⁿ → R^m (che dipende da x₀) tale che valga la formula:

f(x₀+h) = f(x₀) + L(h) + o(||h||), h → 0. (4)

Oss. (i) È facile mostrare che f è differenziabile se e solo se le sue componenti sono differenziabili in x₀, cioè:

f(x) = (f₁(x), f₂(x), ..., f_m(x)); ciascuna f_j è differenziabile in x₀, j = 1, 2, ..., m.

(ii) È quindi facile mostrare che:

L(h) = Df(x₀)h, dove Df(x) indica la matrice Jacobiana le cui righe sono i vettori ∇f_j(x), j = 1, 2, ..., m → m x n.

Applicazioni vettoriali di più variabili

f: D=Rⁿ → Rⁿ, n, m > 1.

Limiti, continuità: richiamare le definizioni discusse più in generale per applicazioni tra spazi metrici:

p: X → Y (X dx) (Y, dy).

Qui la metrica è la metrica euclidea.

Differenziabilità

Def. Sia data una funzione f, definita in un sottoinsieme D di Rⁿ a valori in R^m e sia x₀ ∈ D.

Si dice che f è differenziabile in x₀ se esiste un'applicazione lineare L: Rⁿ → R^m (che dipende da x₀) tale che valga la formula:

f(x₀+h) = f(x₀) + L(h) + o(||h||), h → 0 (*).

(i) È facile mostrare che f è differenziabile se e solo se le sue componenti sono differenziabili in x₀; se:

f(x) = (f₁(x), f₂(x), ..., f_m(x)) ciascuna f_j(x) è differenziabile in x₀, j=1, 2, ..., m.

(ii) È quindi facile mostrare che:

U(h) = Df(x₀)h, dove Df (x₀) indica la Matrice Jacobiana le cui righe sono i vettori ∇f_j(x₀) j=1, 2, ..., m.

Direzioni di massima e minima crescita

(per funzioni di più variabili)

Vi ricordo che data f: D ⊂ Rⁿ → R, se f è differenziabile b1 ∈ x₀ e ∂ esistono tutte le derivate direzionali di f in x₀ e si ha b2 ∃ x₀ e si ha:

x₀ ^∂f(x₀) = ∇f(x₀)v ∀v ∈ Rⁿ, ||v|| = 1 (5)

Per la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz si ha:

|| _∂f∂v (x₀) || ≤ || ∇f(x₀) || (6)

Si osserva che se ∇f(x₀) = 0 si ha _∂f(x0) = 0, se ∇f(x₀) ≠ 0 d oc segue che:

| ∇f(x₀) || ∈ _∂f(x0) ≤ || ∇f(x₀) || ∀v ∈ Rⁿ ||v|| = 1 (7)

∃, e1e vale l'uguaglianza in (7) quando, rispettivamente:

v_R^* = ∇f(x₀) e v_*: \(\frac{∇f(x₀)}{||∇f(x₀)||}

Si conclude che v_* rappresenta la massima crescita di f, in x₀ e ∇ la minima crescita.

Calcolo integrale per funzioni di più variabili

Caso funzioni limitate a un rettangolo n=2.

f limitata in un rettangolo R=[a,b]×[c,d].

Si introduce una suddivisione dell'intervallo [a,b] ad esempio dividendo [a,b] in N intervalli di uguale ampiezza Δx:

x_i = a + i((c_i) × (x_i - _1ix - b Averso x_i = a_i + (3q_j)+i_1,i=...N

Costruiscono N intervalli T_i,j: _i,j=1,2,...N.

Si procede allo stesso modo per l'intervallo [c,d], i punti _yj : c + d_i,j=1...N.

Individuano N intervalli: j=1,2,...,N.

Per costruzione R è ripartito in N² rettangoli R_ij = [x_i-1,x_i]×[y_j-1,y_j].

Se p_ij è un punto del rettangolo R_ij, si costruisce la somma di Riemann:

S_N = ΣΣ f(p_ij)|R_ij|, dove con |R_ij| si intende l'area del rettangolo R_ij.

Definizione

Una funzione limitata in un rettangolo R si dice integrabile secondo Riemann in R.