Analisi matematica 1, appunti

Analisi matematica 1¹⁵ crediti 29/09

Lunedì/Martedì: teoria. Giovedì: pratica ed esercizi. 1 h 30 min x giorno.

Libri di testo

Tapponi, Analisi matematica 1 + 2 capitoli di Analisi matematica 2 (Apogeo).

• Equazioni differenziali
• Successioni e serie di funzioni

Rich. Proff Bredile. Lunedì/Mart. h 13.00-14.

Assioma di continuità dei numeri reali

A = {a, b, c, d}

a ∈ A ("appartiene")

F ⊆ A

N = {0, 1, 2, 3, ...}

Z = {0; ±1; ±2; ±3...}

Q = {^m/_n m, n ∈ Z n ≠ 0}

^R

A ∩ B ("intersezione")

A ∪ B ("unione")

A \ B = {a ∈ A | a ∉ B} ("differenza")

Funzione

f: A → B

Dominio codominio.

Ad ogni elemento di un insieme di partenza associa uno ed un solo elemento dell'insieme di arrivo.

Analisi matematica 1¹⁵ crediti

Lunedì/Martedì: teoria. Giovedì: pratica ed esercizi. 1 h 30 min x giorno.

Libri di testo

Tapponi, Analisi matematica 1 + 2 capitoli di analisi matematica 2 (Apogeo).

• Equazioni differenziali
• Successioni e serie di funzioni

Assioma di continuità dei numeri reali

A = {a, b, c, d}

a ∈ A (appartiene)

F ∉ A

N = {0, 1, 2, 3, ...}

Z = {0; ±1, ±2; ±3...}

Q = {^m/_n m, n ∈ Z n ≠ 0}

^R

A ∩ B

A ∪ B

A \ B = {a ∈ A | a ∉ B}

Funzione

f: A → B

Ad ogni elemento di un insieme di partenza associa uno ed un solo elemento dell'insieme d'arrivo.

Funzioni iniettive e suriettive

Nei momenti in cui non succede iniettiva.

Nei momenti in cui succede che tutti gli elementi di B sono unione ai elementi di A suriettiva.

_a1 ≠ _a2 (a₁, a₂ ∈ A) ⇒ f(a₁) ≠ f(a₂)

f suriettiva se per ogni b ∈ B esiste a ∈ A | b = f(a)

f suriettiva + iniettiva = biettiva

f(A) = {f(a) | a ∈ A} ⊆ B

Sottoinsieme.

Funzione inversa

f^-1 : B → A

b → a se e solo se f(a) = b

Se f suriettiva succede sempre che ogni elemento di B viene mandato ad A.

Se f è iniettiva allora ad un solo elemento viene mandato ad A.

(Se si usa più di un elemento a succedere che non è funzione a_a B→A ma deve prima restringere dominio.)

Composizione di funzioni

F(x) = cos(x² + 1)

f: A → B

g: C → D

a ∈ A ⇒ g(f(a))

Ho necessità che nel dominio di g ci siano tutti i risultati di f.

f: A → B

g: B → C

Il dominio di g corrisponde al codominio di f per cui io posso farlo.

g(f(a)) = g o f

f(g(a)) = f o g

f: R → R

x ↦ x² + 1

g: R → R

x ↦ cos(x)

Questa operazione non è commutativa.

f o g = g(f(x)) = cos(x² + 1)

g o f = g(f(x)) = cos(x² + 1)

f^-1(f(b)) = b

f^-1 o f: A → A

a ↦ a

f o f^-1: B → B

b ↦ b

Logica e quantificatori

A e B (Λ) = sono entrambe.

A o B (V) = A oppure B oppure entrambi.

A => B

L'unico caso in cui è falso allora A è vero e B è falso.

Se A è falso o B è vero allora con Λ negato l'affermazione.

Quantificatori:

∀x P(x) => per ogni x

∃x P(x) => esiste almeno un x

x negato ∃x non P(x)

Negata ∀x non P(x)

Dimostrazione

A => B

• X assurdo: B è falsa => allora anche A è falsa ma ciò non è vero perché allora se A è vera, B è vera

Coppie cartesiane e intervalli

R² = {(x, y) | x, y ∈ R}

Coppie cartesiane.

[a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b} chiuso e limitato

(a, b) = {x ∈ R | a

[a, b) = {x ∈ R | a ≤ x

(a, b] = {x ∈ R | a

[a, +∞) = {x ∈ R | x ≥ a}

(a, +∞) = {x ∈ R | x > a}

(-∞, b) = {x ∈ R | x

(-∞, a] = {x ∈ R | x ≤ a}

[a, b]

(a, b)

[a, b)

(a, b]

[a, +∞)

(a, +∞)

(-∞, b)

(-∞, a]

Aperti e uniti.

Illimitati.

Dimostrazione √2 ∉ Q

1) Dimostrazione √2 ∉ Q

Numeri pari = 2n con n ∈ N.

Il quadrato dei numeri dispari è dispari.

Teorema √2 ∈ Q.

Dimostrazione per assurdo.

∃ m, n ∈ N tali che 2 = (m/n)² = m²/n²

Posso supporre che m e n non siano entrambi pari (perché se così posso ancora semplificare).