Appunti Analisi 1, parte 6 - Integrali

11 dic II.i.IE( ) Integrale Riemann definito

lif "I ]:[definitasia asu unlimitatae / t - --mi -- lconsideriamo PuntidiFinitonumeroun | ,Icollocaticosì '1: | ,f-b2 ✗ < in<= xp < ✗ ✗ =zo n un1×1=1/2 ✗ 1-{ }D=l' [ b]didetta Partizioneinsieme viene a.xo ✗xp xz n, .. . ,, ,[ ]lif limitataè a esistonosusiccome :, , fàinfflx Mi supemi -= - [ ]C-✗ ✗ i✗i[ ] ^-✗ c- ,✗ ✗ ii -1 ,cioè ][ Mresistonosu e✗xo mi ,, Mz][ esistono emz✗✗ 2su ^ ,[ ] Mnmmsu xn-n.in (Posto )dxi-xi-x.ly definire Rsecondopossonosi£ ( )SIP) mndxnmidxi dei inferiorevuzaxzt somma++un== . ..E- 1£(D) Mirdin (MidxiS' )Mibu Mzaxzt ++= somma= superiore.

_.ines f- crescente,, : }{⑨ ✗ Ki= ✗oi a, ,I1 1; i mztxz-xd-flxdlxr-xdi-flxdlxz.hn)a)Mika)HP ✗ +-i -, ,I| , qq.yyggyqy.ygg.gg ,.ggqq.my, ,,, ,✗Xp 2 (8)(9)considerazioni S'importanti su s e (1)SIA)che (9)8 S'risultaOss qualsiasi partizionela Esia. ,infatti tiMimi e , (2)(9))slot S'03oss 'date cheveroèpartizioni ±2 e. '⑨infittendoche partizionese osserviamo una →()sto )restaalverifica piùche costCEC esi (la al(9)s' )restapiù costcrea1 partizioneallaaggiungo '⑨'punto ✗un → il)la (' ps acquistasomma: soso.me . '(9)) PS' ⑨' dicioè perchè tentaè=a P'(8)) ⑨( S' diO' perchè Finaè +§ ebase svoltedelle considerazionisulla appena :) 19)1909)slava S'sta ) s'e± =sostanza :in ) V9.9) 519shh < cui>{ })/OSS 3 Pinsieme a. × -1i 'a. partizione slot )s')slpn IPsig))( )Pda qualsiasisuperiormenteè limitato una{ })SIPinsieme × -1i 'a. partizione ) (A)SIP )Pn(9) (s' S' S'( )Pda qualsiasiinferiormenteè slimitato unadi completezzaassiomaper scriverepossiamo { f} al]Sup [diAIP) EA- suinferioreintegrale={ f} Ì l]S' [1nF 510 di) susuperiore aintegrale ,= = [ÉÉb)[f integrabile )S'R fcx dxè ADefinizione <su a: - = =,\ aReymann ^f ]li ÉÉÈOSS [integrabileèse su a. ,¥0 li]fac-✗ ,,allora [ [ .del trapezoide T) dxfcx area= ^: fraossia a- a# ""= ,?integrabili) [ ]Rfcx altutte3Oss le !susono re.

Funzione di Dirichlet e integrabilità

- [{ irrazionale0 ]è )× (su 0,1 di, Dirichletfunzionef g) razionale ]è [✗= su1 0,1, ^1- - - - -scelta 9 Iqualsiasi partizioneuna 1)soloha che Osi = 1ha]intervallo [( luisi TIÈo✗ogni ✗ =iin i -1 , ) >mi ^=}{ ( )E Pquesto Oscaso sup=in =I 1= [ ]integrabileRquindi 0,1suno - È )(f fer[ b) li ][☒ integrabileta è☐ <su a: a ,, integrabile)fcx 02insieme -qgofgo-o a o - q t-J B e @ integrabiliriconoscereper -mamma-0 02 integrabile7 liEa ] sonosu -un : ,le) f Ea lo ]i continue su , 143le li]f Ea) >n° diIi di Discontinuitàtratti su speciecontinue ossia Finitoa con un,[ ][ ]fcx) 0,10ES su×=.) le [ ]f bmonotoneiii a.su

Proprietà

Proprietà fig Ea ]bsiano limitate sue ,integrabiliEtee siaallora( g)ft [integrabile l]) èI risultasu a e,{ =] b( /g)f fdxd- gdx+ +,If) [integrabile l]èI risultasu a e,b/ I flxhdxfdx =ale delle) l') dicono linearitàdiche proprietàI godeI integraleeE) ( )monotonia ^f. glx)G) ]fa liE<se ✗ ,,allora bb ;{/ dx) )fcx dx gcx 'E i •'aa i ,l ' >]bEaff G) C-0 ✗caso particolare ,= ,][ b)gcx c-zo ✗ ase ,,allora : b/ )glx dx o>aq­ .­ / /) funzione li ]la Eafcx) integrabile risultaèIv esu :,] / /)fluidi flx diEes . /Iflxflx) )^ n ÈÌ +5. ba- / 5+31=8| -51-31=2) integrazioneintervalloadditività diV all'rispettola b)cese , Eafallora integrabile ]è sia su c,[sia ]su abhasi :e§ i i{ /G)f-G) dxf- )fcxdi dx+=boss /) fcx) dxisi pone o=. a a (b )integrale orientatoÈii fa)fcx) dxdx < _ ba (1)la)) allorale vale ancheiiise assumiamo e btrase aC è ecompresoNON( f )integrabile sugli consideratiintervallichepatto siaa ^ ÷;i i ' iÈ >ba i• ; =] jffcxdx{ {a) G)G) dxfcx) fcidxf-f- dxdi +=il sottoteoremavale quiiGqTG§--AO-qoÉFe•Ma If integrabilesia su,MIARema Ib cesianoe a ,,allora b C §/ /fcx G)fcx f-)) dxdxdx +;a( c)bposizionaticomunque siano a , ,

Media integrale

integraleMedia Rf [al]integrabilesia su- Fab]fdefinita di suintegrareviene medianel numero :fcd xb.aog og-FTT-MIpmed.isintegralemeaRena f R) [I al]sia integrabile su- (1nF )( )M)flx flxunsiano )Sup-e e = Fa eFa ]li c-] ✗✗ c- ,,allora b/ a)a)( f- (G) M bb- dxEam E -E) [ b)finoltre se sucontinua a.allora %f§: CEE3- li] (c)f: =,Dimostrazione ii.M( ) •- •-V-xe-la.li]faiII M=mela diproprietà monotonia :per {] Mdlxfa ))mdx dx EE >ba](3) a)a)( f- (G) M b-b- dxEm E ad( ) f GilNE ]se continua su ( )travalori intermedivaloriTeoMtutti mecompresiiassumeessa . ^b(3) a)# )flx dx MEme - µdella Mvalore tra fa)mecompreso ,→ . .media integrale 1I 11I%f§allora 1i s(c)fEa b)7 ba=c-e :, • ☐ " /( a) G)b- f- dx(c)f =-¥ aRossa) Ea ]fcx bc-0 ✗= ,,

Funzione integrale e teorema fondamentale

IintegraleFunzione su un)RLIfsia E n( )I fissatosia puntoc-e ala funzione =]G) (f)Fa dtf- Funzione integrale |i://hi.it ?=.-I | .I laad Fa G) il valoreEogni associa✗ fltdell' ) dtintegrale( )l' l'è Hp disottoarea segnoa/(a)[ ) 0dtfctNista ==: a dall' )fcxdelladipende andamentoFunzione integralefunzionees "=]G) fctdtGo )Gotti )fct dt 0 È= =0iGqTG§--AO-qoTESINA del integraleFondamentale calcolo,meaRena I If Rt Iintervallosia c-acon e→: f) Ii sia continua suallora IFalx derivabilefltdt) su&e