Appunti Analisi matematica 2 - Parte 2

Proprietà 4. Doppio dell'integrale

Quando f e g sono integrabili e misurabili valgono:

• Linearità
• Positività e monotonia rispetto all'integranda
• Monotonicità dell'integrazione rispetto al dominio
• Additività dell'integrazione rispetto al dominio
• Proprietà di annullamento della

Teorema della media

Se f è continua e R è chiuso, limitato e connesso, allora:

∫_R f(x,y) dxdy = f(x₀, y₀) ∫_R dxdy.

Proprietà 5. Annullamento

Sia R ⊂ R² limitato. Sia f continua e misurabile. Allora:

∫_R f(x,y) dxdy = 0 se e solo se f(x,y) = 0 in R.

Se ∫_D f(x,y) dxdy = 0 per ogni intorno circolare D ⊂ R, allora f = 0.

Metodo di riduzione per domini semplici

Sia R un dominio x-semplice e sia f continua. Se R è definito da:

R = {(x,y): a ≤ x ≤ b, g₁(x) ≤ y ≤ g₂(x)},

allora:

∫_R f(x,y) dxdy = ∫_a^b ∫_g1(x)^g₂(x) f(x,y) dy dx.

Sia R un dominio y-semplice e sia f continua. Se R è definito da:

R = {(x,y): c ≤ y ≤ d, h₁(y) ≤ x ≤ h₂(y)},

allora:

∫_R f(x,y) dxdy = ∫_c^d ∫_h1(y)^h₂(y) f(x,y) dx dy.

6. Baricentri e momenti d'inerzia

Supponiamo che una lamina piana occupi una regione M e abbia densità f(x,y). La massa è:

m = ∫_M f(x,y) dxdy.

Il baricentro ha coordinate:

x̄ = 1/m ∫_M x f(x,y) dxdy, ȳ = 1/m ∫_M y f(x,y) dxdy.

Se f è costante, il baricentro coincide con il centroide e le coordinate valgono:

x̄ = 1/A ∫_M x dxdy, ȳ = 1/A ∫_M y dxdy.

Se la lamina gira intorno ad un asse, il momento d'inerzia vale:

I = ∫_M d²(x,y) f(x,y) dxdy,

con d(X,Y) distanza del punto dall'asse.

7. Cambio di variabili

Teorema della formula di cambiamento di variabili

Sia f integrabile su R. Allora:

∫_R f(x,y) dxdy = ∫_T^-1(R) f(T(u,v)) |det DT(u,v)| dudv,

con T di Jacobiano det DT.

Coordinate polari

T(ρ,θ) = (ρ cos θ, ρ sen θ),

|det DT| = ρ.

Integrazione tripla

1. Fubini per R³

Consideriamo f(x,y,z) e un dominio E ⊂ R³. Se:

E = {(x,y,z): (x,y) ∈ R, g₁(x,y) ≤ z ≤ g₂(x,y)},

allora:

∫_E f(x,y,z) dxdydz = ∫_R ∫_g1(x,y)^g₂(x,y) f(x,y,z) dz dxdy.

Esempio:

∫_R xz dxdydz, R = {(x,y,z): x² + y² ≤ z ≤ 1}.

∫R 1 dxdydz = ∫R2 ∫x2+y21 dz dxdy.

∫02π ∫01 ∫r21 r dz dr dθ.

2. Integrazione per strati

Sia f continua e sia E = {(x,y,z): (x,y) ∈ D(z), a ≤ z ≤ b}. Allora:

∫_E f(x,y,z) dxdydz = ∫_a^b ∫_D(z) f(x,y,z) dxdy dz.

Esempio:

E = {(x,y,z): x² + y² ≤ z ≤ 1}.

∫_E 1 dxdydz = ∫₀¹ πz dz.

3. Cambio di coordinate in R³

Siano f e T. Allora:

∫_R f(x,y,z) dxdydz = ∫_T^-1(R) f(T(u,v,w)) |det DT(u,v,w)| dudvdw.

Coordinate sferiche

T(ρ,θ,φ) = (ρ sen φ cos θ, ρ sen φ sen θ, ρ cos φ).

|det DT| = ρ² sen φ.

Coordinate cilindriche

T(ρ,θ,z) = (ρ cos θ, ρ sen θ, z).

|det DT| = ρ.

Calcolare il baricentro

Data f(x,y,z) = 2y e:

E = {(x,y,z): 0 ≤ z ≤ 1, x² + y² ≤ z}.

∫_E z f(x,y,z) dxdydz = ∫₀¹ ∫₀^2π ∫₀^√z 2y r dr dθ dz.

Il baricentro ha coordinate x̄ = 0 e ȳ = 0 per simmetria.

44. Derivazione sotto il segno di integrale

Teorema di derivazione sotto il segno di integrale

Sia g(x,t) continua in R³, con dominio regolare D ⊂ R², e siano continue le derivate. Allora:

d/dt ∫_D g(x,y,t) dxdy = ∫_D ∂g/∂t (x,y,t) dxdy.

Esempio:

d/da ∫₀¹ x^a dx = d/da (1/(a+1)) = -1/(a+1)².

Curve

1. Definizioni

Una funzione r: I ⊂ R → Rⁿ continua è una curva. La funzione può rappresentare un arco di curva come:

r(t) = (x(t), y(t)) in R²,

r(t) = (x(t), y(t), z(t)) in R³.

Il sostegno della curva r(t) è l'immagine di r, cioè Γ = r(I).

Due parametrizzazioni distinte possono avere lo stesso sostegno, ma curve diverse.

Un arco di curva è semplice se r è iniettiva, tranne al più agli estremi. Basta che sia iniettiva almeno in una delle componenti.

Un arco di curva chiuso è una curva r: [a,b] → Rⁿ con r(a) = r(b).

Tutte le curve nel piano si dicono piane; una curva nello spazio è piana se il suo sostegno è contenuto in un piano.

Esempio:

r(t) = (1+t, 1+t, 1+t) è semplice e iniettiva.

ax + by + cz + d = 0.

(a, b, c) ≠ (0,0,0).

La curva è piana se a x(t) + b y(t) + c z(t) + d = 0.

2. Regolarità delle curve

Un arco di curva r(t) è regolare se r'(t) ≠ 0 per ogni t ∈ I.

Il versore tangente è:

T(t) = r'(t) / |r'(t)|.

La velocità è la quantità scalare |r'(t)|. Inoltre un arco regolare può essere regolare a tratti se l'intervallo è suddiviso in un numero finito di sotto-intervalli.

La circonferenza:

r(t) = (a cos t, a sen t), t ∈ [0,2π],

è regolare.

L'astroide:

r(t) = (cos³ t, sen³ t),

x(t) = cos³ t, y(t) = sen³ t,

non è regolare in alcuni punti, ma è regolare a tratti.

3. Poligonale

Sia P una partizione dell'intervallo [a,b] di N + 1 valori:

a = t₀ < t₁ < ... < t_m = b,

con P = {t₀, ..., t_m}. Indichiamo l'insieme di tutte le poligonali di [a,b] con i punti P_i = r(t_i), per i = 0, ..., m.