Appunti Analisi 1, parte 5 - Derivata 2, Taylor, numeri complessi Integrali

Teorema del valore di Fermat

10 non -1 Oss. Teorema del valore di Fermat viceversa non ) flx } ( ) ha funzione che è -1 non es una x = ( » estrema o, }) f' ( ( tuttavia annulla -1 cioè = 3 × × 0 = 1 sì ✗ in )( Hdf' è dunque 1 P -0 stazionario un anche ✗ se -= . o di tuttavia punto è estremo non esso funzione punti di può estremo 2 Oss avere stazionare una non.

, 1 × -1 1 flx) ^| = punto 0 --1 di minimo ✗ assoluto relativo e, (a) g. esiste non ma > • 1 ✗ = o funzione 3 di ossi punti estremo di i vanno una ricercati tra i punti a) stazionari / tra potuta di punti b) i Non deriva continuità estremi del tra gli c) Dominio ^ [ ] 1,3 M es su × y 3 == - - . • - - - di è rel punto ✗ 0 = 1 min assoluto e nel punto di è = 3 ✗ Max assoluto 1 e M = • - - I > 1 3 1 i EAE § - ↳ Ao-gMa

Teorema di Rolle

Teo di Rolle, mea Rena ☒ ]: [ f li sia a --, [ b) f) del continua Weierstrass stessa è i su tea →, . ta b) f) derivabile ii è su, ffla (b))) iii = allora cela b) f' (c) tale 7 che O =,

Dimostrazione f [ l' ] li di di esistenza garantisce su un Weierstrass Teo Max a e min un,. fa flxm) flx) flxn) n un Mnn ) = = Max = = [ ] li ✗ c - a. [ ] li ✗ c - a. M cade in = n | f tu allora i; = b) eta G) ti f' 0 ✗ -, = = ,, I 1 - ( b) > tutti gli soddisfano ✗ c - a la tesi, M ? = / cosè un m - - . può che dirsi flb fla) ') EMa-un ⇐ I un 1 - → - -- I 1 > almeno M essendo b # in a disuguaglianze delle due una stretta deve essere ^ M > ipotizzo che 2 ad la sia se - --- → flxn stretto f( ) essere b) M ) flb = < nafta) = .._. l I 'lb) ta allora ad è intorno xn ,, '( b) l cadere né può né non > in in a Fermatte per -= . f' ( ) ad xn o =

Corollario

Corollario I derivabile f definita continua su e, ) f' tra ( f di di certamente 2 cade tesi zero zeri × uno: "( ) 2 ) (( ^1)) flx -4x es x × -- = y flx) 1 O ✗ per == 2 ✗ = 4 ✗ = fla) ) fa -0 -= ,, go.am aaaaa, , , su, e, , f' (c)) 4, 23 - O ce = : ) "/ flx ") " × log 1 snnx e es + = f ☒ derivabile su f # k e annulla K negli k it ✗ si con =, allora )( f' infiniti ammette × zeri / ETE-ETE-ma.TL

Teorema del valore medio di Lagrange

Teorema del valore medio Grange > mea Rena ☒ ]: [ f b sia a. -- [ ] a l f) continua è i su ta b) f) derivabile ii è su, allora ÈÈ f'zcc.la b) (c): =, b - a significato geometrico ^) f ( b ) 13 lb fili);), a la fla) màs, B lb ) flb ) ', 1, fla) flb ) fla) / ) ) I - ) retta fla Tata AB in - -=, , b - a | 'l'i ic' > e a significato fisico 2 h dato che Milano impieghino Reno si raggiungere suppongo per 160 km per allora 80 K¥ rimedia = ^ subito MI ha se viaggio non • _ la istante Irregolarità qualche in, "stata ¥ è "Mst Tanca" > applicazione 'TUTOR Teo es .. 1 LaGrange 'riferisce alla TO Si via → • -. l mia t' -

Dimostrazione del teorema di Lagrange

Dimostrazione ? AB retta era. ) A la fla), ( ) b flb ) B, a)( passante punti rette y Fascio per yo ✗ un ✗ un = -- m lx a) f (a) y -= - flatflb) ( a) f (a)) ( × rcxFEFE -+ - y a) f (a) - = × - b-g- = a (b - 2 retta AB eq = . fcx)) ) funzione r lx la considero n gcx -= ausiliaria L Gib] il soddisfa su Rone Teo > . differenza come Perché ] 1) Ea b continua su → : g f di, continue su Ea li], differenza fa come b) eterna bile 2) su → 8 f di, derivabile b) la su, )( b(a) 3) g g = r x a) -8 (a) (b) f { (f) G) flx (a) × + - → = - b a a) flatflb { ) (fla) f(a) (a) a - = - + g = - b - a fla) fla) o = -= } # flb { ) ¥ f (b) f(b) (a) = + g = - b - a (b) f f cb) 0 = -= b) fa] (c)' 0 allora c - c Rolle te: per: = g,. f G)' f G) (a) (f )' b = g - - b a f (a) (c) (b) f'f f (a) (f(c) f' ) b (c) O' = = -- og o -= bb a a

Test di monotonia

Test studiare intervalli di crescenza e funzione di Decrescente una b) b) ☒ derivata (a) 7 - f sia → :, allora decrescente ÉO f f' G) su IE) I crescente ✗ c - < -=, decrescente Io f è G) f' Ittxe su IE) state crescente,

Dim I if I ^ derivabile su su di if; crescente tG) f' Ittxezo, t |' Tq( b) i scelti punti '2 C - ✗ a × 1: / o i, , I 1 1 i - flx) b ✗ ✗ ✗ < < a xo □ → -1 ¥, lei limite al ) 3 - il finito quale passando per fkl - fkd.fi ad lui ✗ X ✗ → Xoo - del ↳ Permanenza te per zo. ↳ segno = rovesciato, Iltxe fkxo) 0 >,

Dim II b) 7 - Ma f (definita su a isenta b) f) derivabile i, 4) I) f' I ii zo ✗ c -, allora f I è crescente su fa b) scelti Xz > ✗ × ci o > E2 < punti ✗ ✗ : = -, ,, 1 z, fa b) [ ] applicare su ✗ ✗ c LaGrange posso Teo 1 a ,, ] b) ( a) e la tale che c - ✗ e xn: ,, b) f' fa) flxa ) fai(c) la ii perché ce e pero -=, > - - ( 1) x2 ✗ - Io fan) fan) fcxa) = o = - b) ta f 7 - flxn) f fa b) scelti cioè cioè = è crescente < in × su ×, ,, , analoga Dim del dove II sostituiscono Dim E o > O con > Oss l'vale implicazione. ⇐ non ☒ [contro ] stretti 5 -1,1 su crescente ✗ = è G)' f (a) f' 5 × 4 = 0 f stretta anche è oo = in se ✗ == □ crescente ovunque f 'I f V-x.CI Strett 0 crescente > su,.

Corollario del teorema di Lagrange

Al di corollario teorema Lagrange f I ( ) I ☒ derivabile intervallo sia su: --, allora G)' f flx ) V-x.CII) c 0 ✗ i e - < == = ,, ( =) Dim f 'f G) allora < è O costante = 11 flxo flx) ) ¥ g - 0 = == ✗ F - E ( ) I I [ ] scelti applicando > e LaGrange Xn il su = ✗ ✗ × e e tono 1 a, ,., PIÈ & (c) f' la ) i pero == flxz flxn) 7 I) > c -= ✗ xn = a, , G) I f cost cioè e ✗ =, I !

Corollario vale il intervallo su oss. ) ( f) flx arctglx) arctg es = / ✗ O + =, )( 1 ¥ f' G) + = -= •, (f) 2 × 1 + 1 - : # : # += += ' G) ho f che scoperto 0 = / ✗ 0 = ., !? ti f concludere Posso costante è no che ✗ = / 0, ( a)(a) ! U intervallo è perché o + non no un, -, ) fu (f) infatti ) rotoli È% arctge + a + == = ftp.arctg # + arctg fn) --- I-jI-- È - FG) ☒ [ # ] ^ su es i × = O • G) ☒ # f' 0 e \ ✗ =, 0 • ayagguano, pagoma era non costante sia una I ✗ # perché è un ne \ l' I infiniti di ma unione dell'

Formula dell'incremento finito

Seconda formula incremento finito f li Ca ] ✗ → :, f Ea li ]) continua sui, b) (derivabile a. su b) fissati ( ha allora che c - si xn × a, ,, ((1) ( a) f' (c) ) flxn flxz) ) essendo x2 Quantitativa ✗ xs CE ✗ + → = ^ -, formula alla > rispetto 1 (2) a) (flx (a) flxo (f') )) avanzava → × ✗ o x ✗ ✗ + per ✗ + ✗ → = - - o o (la f ) I derivabile 27 m globali ad risponde ipotesi in. la ( f ) 17 m derivabile ad risponde locali ipotesi Xo in. ( = D

Classificazione dei punti stazionari

Classificazione dei punti stazionari G) f' stazionari Punti Hp: Tien: raggio / ) f I r lxd (derivabile su xo t r xo r = -, i )( I r lxo) definita continua su e ( f' ( a)) ) i = D è Xo Stazionario ✗ p. SX intorno } f' G) Go xD ✗ se E tesi zo r: -, , × punto Max ronzano, > = × □ intorno f' G) ( ) Xoxo ✗ IO . irc-se, 71 > i ✗ o SX intorno } V-xc-G-o.ir f' G) xD E se 0, , nun × punto ronzano, > = × □ intorno f' G) ( ) Xoxo IO ✗ . irc-se, < r: ? = / = / ^ 1 - × ✗ ° ' es × .5 5 o • ✗ =, perché ✗ Min noo fcx derivabile) ✗ no in o I fcx) ? × es × e -= f' (2 × -1 -2) G) ± ✗ Exae 2. e-e-✗ - = ( ) f' 'f ! ! o > × > o -- -_ __ → > la Min ✗ relativo p 0 = 0. relativo ✗ Max 1 = 2 p. (f) sin'' = / { ✗ ✗ o ☒ es = ✗ o applicare I quale nel esiste non si possa teorema il è O Min un ✗ = po.

Derivate di ordine superiore

Derivate di ordine superiore I r lxo) f derivabile continua sia su e f' )( della il rapporto incrementale costruisco × : f' )) (Go)(f' I r lxo) × ✗ c -- -- ✗ ✗ o - f' f' xd (In ( ) finito 3 - calcolo se se × - = ✗ xo → "f (xD finito 7 se DI (f " d) a) In f' (f' f' xd (G) ✗ ✗ = - = × . ✗ ✗ → o funzione (" ) la sarà Oss x. f (D) " ( f' valore questo D ove × - : . finito esista xD Jr( ) " f finito (esiste su esiste × se e f ( f xd In " ) " ( " xd (f'x - = ✗ xo → %) " f. ( ) xD V-x-c.fr derivata ( la k m potrà ordine se di costruire esiste ma - ) LK ¥ " ( ) k m una flxo - ff )) lui finito ( » esiste - × se = _ - ✗ xo → ✗ Xo - flx) 'es + 3 × ✗ = '" " 4 × 3 + 3' 0 yy == ] [" 12 × 2 y .= .. " Y' 24 ✗ = "" y 24 = )( K) fcx flx 7 derivabile K ¥ ☒ te continua è □ ) volte e-c-✗ e se, "' ) EH f (y I ec-su ⇐ È C " f') " ('ff I ef )(G) ) es esistono < su e se x ×, , I continue su sono f ÉT(2) è f 7 derivabile di arbitrario n° volte c - è ☒ su < un tra □ tutte continue derivate le sono e è ) Pnlx yes cosa y y = = ;; = fe Él(7) è f I è continua ✗ tra su □ 2 + 1 / 3 E-FG) 2 pe ✗ es ✗ e ✗ = "" ^ ( )' è f § (a) a ✗ += . f)( ( f) " f " s è (a) nat + ✗ = } § } ↳ < " f' (f) (2 + 1) . - f) . ( = / × ✗ n + 0 == 213 ✗ f l' (B) di classe > (B) classe è E di ma - non ? " ? ( (f ) V.G) x-D ☒ es n e ✗ × = -= È f è (E) di classe (B) classe e - di ma - non

Convessità e concavità

Convessità f da n f derivabile ) fcx sia C - in xo t tg la retta ammette ) tgcxi 1; i'tlx) xD f ((a) fcxo) y ' × += i = -, f ÈE 7 da uf Ircxo ✗ ) è convessa o e in ✗ < o ¥ ) flx tglx Irlxo )) = ✗ e, f stretta parla dice vale che Si convessa = / si Oss o se - ✗ Xo per,. f è convessa in Xo ma, Strett ✗ non convessa in o.) tglx ¥

Convessità globale un ) Tlxo 7 derivabile f - su f 7 I è su convessa punto se è C - connessa ✗ in ogni o

Concavità [ f È 7 da n f Ircxo) è concava e in xo < ) tgcx) i 8 "" -4 ! " In "" ✗ c - '' g) ' l /' , '' , -

Concavità globale Xo 7 derivabile f su f 7 I è su concava punto se è C - connessa ✗ in ogni o f - atto convessa > - ] concavità ↳ ! concava Basso → xD ( la

Flesso

Flesso retta esista tg ove in è Flesso ✗ Po. la retta esista tg ove ÈÈ ] dom f Iride f ) " + 8 { se ✗ < ✗' : Jago °) 1) e ✗ ascendente flesso: fcx )) tgcx se > × xo :