Appunti Analisi 1 (Parte 2)

Revisionato il 26/07/2026

di LoreG002

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Il documento (insieme alla parte 1) contiene tutti gli argomenti del programma di Analisi Matematica 1 come serie, successioni, limiti, derivate, integrali, numeri complessi ecc... e inoltre …

Esame Analisi matematica 1

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Isernia Teresa

Università Università Politecnica delle Marche - Ancona

A.A. 2021-2022

145 pagine

Appunti esame

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Estratto del documento

Corollario 2

Sia I un intervallo di ℝ avente estremi a e b (a=inf I, b=sup I). a,b ∈ ℝ, sia f ∈ C⁰(I) e supponiamo che

lim_x→a⁺ f(x) = l ∈ ℝ \ {0}

lim_x→b⁻ f(x) = m ∈ ℝ \ {0}

con l, m ≠ 0 e tali che l . m Allora f ha uno zero in I. Inoltre se f è strettamente monotona in I allora lo zero è unico.

Teorema di esistenza della radice n-esima

∀y ∈ [0,+∞], ∀ n ∈ ℕ ∃! x ∈ [0,+∞) : xⁿ = y

Dimostrazione

Se y=0 prendo x=0
Se y ∈ (0,+∞) e consideriamo la funzione f(x) = xⁿ - y x ∈ (0,+∞)

Allora f ∈ C⁰(0,+∞)

lim_x→0⁺ f(x) = -y

lim_x→+∞ f(x) = +∞

Corollario 2

Sia I un intervallo di ℝ avente estremi a e b (a = inf I, b = sup I) a, b ∈ ℝ, sia f ∈ C⁰(I) e supponiamo che

lim_x→a⁺ f(x) = ℓ ∈ ℝ \ {0}

lim_x→b⁻ f(x) = m ∈ ℝ \ {0}

con l, m ≠ 0 e tali che l · m Allora f ha uno zero in I. Inoltre se f è strettamente monotona in I allora lo zero è unico.

Teorema di esistenza della radice n-esima

∀q ∈ [0,+∞], ∀n ∈ ℕ ∃! x ∈ [0,+∞) : xⁿ=q

Dimostrazione

Se q=0 prendo x=0 ✓
Se q ∈ (0,+∞) e consideriamo la funzione f(x) = xⁿ−q x ∈ (0,+∞)

Allora f ∈ C⁰(0,+∞)

lim_x→0⁺ f(x) = −q

lim_x→+∞ f(x) = +∞

Quindi del Corollario 2 del TCI ∃ x₀ ∈ (0,+∞): f(x₀) = 0

quindi 0 = f(x₀) = (x₀)ⁿ - 4 => x₀ⁿ = 4

Per dimostrare che x₀ è unico basta far vedere che xⁿ è strettamente crescente in (0,+∞) e lo dimostriamo per induzione su n

n=1 φ(x) = x è crescente

Supposto vero per n lo dimostriamo per n+1 quindi VFP che xⁿ⁺¹ è strettamente crescente quindi siano

0 < x₁ < x₂

allora

x₁ⁿ⁺¹ < x₂ⁿ⁺¹

x₁ⁿ⁺¹ = x₁ⁿ . x₁ < x₂ⁿ . x₁ < x₂ⁿ . x₂ = x₂ⁿ⁺¹

Enuncia e dimostra il teorema di esistenza della radice n-esima

Pag. 144 - 145

Teorema dei valori intermedi

Sia f ∈ C([a, b]), allora f assume tutti i valori compresi tra f(a) e f(b).

Dimostrazione

Supponiamo che f(a) ≠ f(b) e proviamo che ∃_x₀ ∈ [a, b] : f(x₀) = y₀

Se y₀ = f(a) => x₀ = a
Se y₀ = f(b) => x₀ = b

Sia y₀ ∈ (f(a), f(b)). Consideriamo h(x) = f(x) - y₀ con x ∈ [a, b]

Allora h ∈ C⁰([a,b])

h(a)=f(a)-y₀ < 0

h(b)=f(b)-y₀ > 0

h(a).h(b)<0

potenio del TE

∃ x₀ ∈ (a,b): h(x₀)=0

0: h(x₀)=f(x₀)-y₀ → f(x₀)=y₀

Osservazioni sul teorema dei valori intermedi

OSS1: L'hp che f è continua è importante.

Infatti consideriamo

f(x)= {12x0x ∈[-1,0) ∪ (0,1]x=0

f è definita in I=[-1,1].

f(-1)=-₁⁄₂<0

f(1)=¹⁄₂>0

→ &nexists; c ∈ [-1,1]: f(c)=¹⁄₃

Oss. che f non è continua in 0.

Oss. 2: Esistono funzioni non continue che soddisfano la proprietà dei valori intermedi.

f(x) = { sin 1/x se x ≠ 0 0 se x = 0

f non è continua ma assume tutti i valori compresi tra -1 e 1.

Corollario

Sia I ⊆ ℝ un intervallo e f ∈ C⁰(I)

Allora f(I) è un intervallo di estremi inf f(x) e sup f(x)

Dimostrazione

Se f = cost allora

f(I) = [c, c]

Supp. che f non è costante. Siano g:=inf f(x) e β:=sup f(x).

Dal fatto che f non è costante segue che g < β

Sia c ∈ (g, β) = inf f(x) ⟺ ≤ f(x)

∀ ε > 0 ∃ x₁ ∈ : f(x₁) β = sup f(x) ⟺β ≥ f(x)

∀ ε > 0 ∃ x₂ ∈ : f(x₂) > β - ε

Dalla proprietà di: inf e sup

∃ x₁, x₂ ∈ :

Supp. x₁ < x₂. Dal TVI

∃ x₃ ∈ (x₁, x₂): f(x₃) = c

c ∈

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