Appunti Analisi 1

Name: Appunti Analisi 1
Rating: 3.0 (1 reviews)
Author: salvatoretuand

Revisionato il 24/07/2026

di salvatoretuand

Publisher

Vota 3,0/5 (1)

Contenuto verificato e approvato dal Team di Esperti di Skuola.net

Appunti dell'insegnamento di analisi matematica 1 basati sulle lezioni del professor Christian Migliavacca tenute al Politecnico di Milano, della facoltà di Ingegneria dell'informazione, …

Esame Analisi matematica

Facoltà Ingegneria dell'informazione

Dal corso del Prof. Migliavacca Christian

Università Politecnico di Milano

A.A. 2021-2022

63 pagine

Appunto

Scarica

Estratto del documento

Lezione 1

Connettivi logici

Siano P e Q due affermazioni di cui si può stabilire se sono vere o false.

Congiunzione P ∧ Q: P ∧ Q è vera se e solo se sia P che Q sono vere.

Disgiunzione P ∨ Q: P ∨ Q è vera se e solo se almeno una tra P e Q è vera.

Implicazione P ⇒ Q: P ⇒ Q significa che se P è vera lo è anche Q.

Equivalenza P ⇔ Q: P ⇔ Q significa (P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ P)

Negazione P̅: P̅ significa P̅ vera ⇔ P falsa

Insieme

Concetto intuitivo

Un insieme si può rappresentare con:

Elenco: es. A = {a, b, c}
Proprietà caratteristica: es. A = {x : x³ ≥ x ∈ ℤ}

Appartenenza a un insieme

a ∈ A significa “a appartiene ad A”

a ∉ A significa “a non appartiene ad A”

Insieme vuoto

Insieme senza elementi, si rappresenta con ∅.

Lezione 1

Connettivi logici

Siano P e Q due affermazioni di cui si può stabilire se sono vere o false.

Congiunzione P∧Q: P∧Q è vera se e solo se sia P che Q sono vere.

Disgiunzione P∨Q: P∨Q è vera se e solo se almeno una tra P e Q è vera.

Implicazione P⇒Q: P⇒Q significa che se P è vera lo è anche Q.

Equivalenza P⟺Q: P⟺Q significa (P⇒Q)∧(Q⇒P)

Negazione P̅: P̅ significa P vera ⟺ P falsa

Insieme

Concetto intuitivo

Un insieme si può rappresentare con:

Elenco: es. A = {a, b, c}
Proprietà caratteristica: es. A = {x : x³ ≥ x² ∉ ξ}

Appartenenza a un insieme

a ∈ A significa “a appartiene ad A”

a ∉ A significa “a non appartiene ad A”

Insieme vuoto

Insieme senza elementi, si rappresenta con Ø.

Relazioni tra insiemi

A = B: Ogni elemento di A appartiene a B e viceversa
A ⊆ B: Ogni elemento di A appartiene a B
A ⊂ B: Ogni elemento di A appartiene a B, ma esiste almeno un elemento di B che non appartiene ad A.

Operazioni fra insiemi

Unione A ∪ B: A ∪ B è l'insieme degli elementi di A e di B
Intersezione A ∩ B: A ∩ B è l'insieme degli elementi che appartengono sia ad A che a B
Differenza A \ B: A \ B è l'insieme degli elementi che appartengono ad A ma non a B.
Prodotto cartesiano A x B: A x B è l'insieme delle coppie (a, b) nell'ordine aventi a ∈ A e b ∈ B.
NB: A x A = A²

Lezione 2

Quantificatori

∀ significa "per ogni"
∃ significa "esiste"
∃! significa "esiste ed è unico"
∃̄ significa "non esiste"

Insiemi numerici

Numeri naturali: ℕ = { 1, 2, 3 ...}
Numeri relativi: ℤ = ℕ ∪ { 0, -1, -2, -3 ...}
Numeri razionali: ℚ = { m/n : m, n ∈ ℤ, m≠0, con m, n primi fra loro }

Campo

Insieme su cui sono definite le operazioni di somma e prodotto con le seguente proprietà:

Somma:

a + b = b + a
(a + b) + c = a + (b + c)
∃ elemento neutro rispetto alla somma indicato con 0 tale che a+0=a ∀a
∀ a ∃! l’opposto di a indicato con -a tale a+(-a)=0

Prodotto:

a · b = b · a
(a · b) · c = a · (b · c)
∃ elemento neutro rispetto al prodotto indicato con 1 tale che a·1=a ∀a
∀ a≠0 ∃! elemento opposto rispetto al prodotto indicato con a^-1 tale a·a^-1=1

Proprietà distributiva: a·(b+c) = a·b + a·c

NB: ℚ è un campo, ℕ e ℤ no.

Legge di annullamento del prodotto

a · b = 0 ⇔ a = 0 ∨ b = 0

Ordinamento

Un insieme si dice totalmente ordinato se ∀ a, b, c vengono rispettate le seguenti proprietà:

a ≤ b ∨ b ≤ a
a ≤ a
(a ≤ b ∧ b ≤ a) ⇒ a = b
(a ≤ b ∧ b ≤ c) ⇒ a ≤ c
a ≤ b ⇒ a + c ≤ b + c

Campo ordinato

Un campo che gode anche delle proprietà di ordinamento è detto campo ordinato.

NB: Q è un campo ordinato.

Lezione 3

Regole di semplificazione

a + c ≤ b + c <=> a ≤ b
Se a ≠ 0 : a · b = a · c <=> b = c
Se a > 0 : a · b ≤ a · c <=> b ≤ c
Se a < 0 : a · b ≤ a · c <=> b ≥ c

Principio d'induzione

Sia P(n) un'affermazione che dipenda dall'intero n ≥ n₀, se sono soddisfatte le seguenti condizioni:

P(n₀) vera
Ipotizza

Anteprima

Vedrai una selezione di 14 pagine su 63