Anello carico potenziale elettrico

Anello carico e potenziale elettrico

Potenziale elettrico

a) Mostrare che il potenziale elettrico in un punto dell'asse di un anello carico, di raggio a, è dato da: V = ₁⁄_{4πεo 1}⁄_√x²+a²

b) Da questo risultato ricavare un'espressione per E nei punti dell'asse; confrontare con il calcolo diretto di E nell'esempio 40.

a) Il potenziale è uno scalare. Calcolerò il potenziale in P come somma di contributi infinitesimi degli elementi dell'anello, con la formula: V_e = ∫dV = ∫_S ^dq/_4πε0r, dove l'integrale è esteso a tutto l'anello.

Considero un elemento ds che si può considerare puntiforme. Se q è la carica totale dell'anello, la carica per unità di lunghezza sarà: ^q/_2πa. L'elemento ds avrà una carica dq = (^q/_2πa) ds.

Dalla figura si ha che r = √x²+a² dove poi r è costante per tutti i punti dell'anello. Quindi:

V_e = ∫dV = ∫_S ^dq/_4πε0r = ∫_S ¹/_4πε0 (^q/_2πa ds) ¹/_r = ¹/_4πε0 ^q/_2πa ∫_S ^ds/_√x²+a² = ^q/_8π²aε0 ∫_S ¹/_√x²+a²

L'integrale ∫ds è esteso alla circonferenza S non è altro che la lunghezza della circonferenza stessa:

V_e = ^8π2a/_8π²aε0 ∫_S ^(2πa)/_√x²+a² = ¹/_4πε0 ^q/_√a²+x²