Anello carico

Anello carico e campo elettrico

Distribuzione della carica

Supporre che nell’anello carico la carica q non sia distribuita uniformemente sull’anello, ma che su una metà della circonferenza sia distribuita uniformemente la carica q₁ e sull’altra metà la carica q₂. Nell’ipotesi che q₁ + q₂ = q.

Componenti del campo elettrico

• Trovare la componente del campo elettrico nella direzione dell’asse
• Trovare la componente del campo elettrico ortogonale all’asse

Il campo elettrico in P sarà dovuto al contributo delle cariche q₁, q₂ sui due semianelli. Considerare prima un semianello, poi l'altro. La carica per unità di lunghezza sarà:

• 1^o semianello - q₁/πa
• 2^o semianello = q₂/πa

Calcolo delle componenti

Un elemento ds infinitesimo produce in P un campo E = ^Q/_4πεox² dove Q è la carica dell'elemento. Nel nostro caso Q = ^q₁/_πa ds per il 1^o semianello. Considero prima la componente secondo la direzione dell'asse: E_y = E cos Θ. Segue che:

dE_y1 = ^q₁/_4πεox² ds cos Θ, a questo occorre aggiungere il contributo del 2^o semianello, che sarà analogo. dE_y2 = ^q₂/_4πεox² ds cos Θ. Sommo i due vettori:

dE_y1 + dE_y2 = ^{(q₁ + q₂)}/_4πεox² ds cos Θ. Integro: E_y = ∫_{I c} ^{qcos Θ}/_4πaεox² ds; esprimo ora x in funzione di x, distanza di P dal centro dell'anello:

x = r cos ϑ da cui r = ^x/_cosϑ; E_y = ∫_{I c} ^qcosϑcosϑ/_4πaεox² ds. L'integrale è esteso alla semiconferenza di raggio a. Tutti i termini sono costanti, quindi li porto fuori dal segno di integrazione:

E_y = ^qcos3ϑ/_4π²aεox² ∫_{I c} ds = ^qcos3ϑ/_4π²aεox² (πa) = ^qcos3ϑ/_4πεox² = ^qx/_{4πεo(x² + a²)^3/2} essendo:

x = √(x² + a²) cos ϑ da cui cos ϑ = ^x/_{√(x²+ a²)}

Componente Ex

Per trovare Ex c'è qualche complicazione. Infatti i vettori dEx prodotti dagli elementi ds non hanno, come prima, tutti la stessa direzione. Essi giacciono cioè su di un piano passante per P ed ortogonale all'asse. I vettori Ex giacciono tutti sullo stesso piano; però sono disposti a raggiera. Il modulo è sempre uguale.