Riassunto esame Analisi Matematica I: Teoremi sull'Integrazione Definita, prof. Mazzi

3^a Integrali definiti

Definizione

Si dice trapezoide di f su [a,b], con f: [a,b] → ℝ una funzione, la regione del piano cartesiano Oxy delimitata dall'intervallo [a,b], dalle rette x=a e x=b e dal grafico di f.

Si vuole T(f, a, b) e l'insieme è:

T(f; a, b) = { (x,y) ∈ ℝ² / a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f(t), o f(t) ≤ y ≤ 0 }

Se f è una funzione affine, ovvero f(t) = αt + b, allora la figura è un trapezio.

Se f > 0 l'area si trova sopra le x, se f 3^a Integrali definiti.

Definizione

Si dice trapezoide della f su [a, b], con f: [a, b] → ℝ una funzione, la regione del piano cartesiano Oxy delimitata dall’intervallo [a, b], dalle rette x = a e x = b e dal grafico di f, denotata T(f, a, b) ed in simboli è:

T(f, a, b) = {(x,y) ∈ ℝ² | a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f(x), o f(x) ≤ y ≤ 0}

Se f è una funzione affine, ovvero f(t) = αx + b, allora la figura è un trapezio.

Se f > 0 l’area si trova al di sopra della x, se f si trova al di sotto di x, quindi essa abbiamo semplicemente un contributo positivo negativo. Al trapezoide possiamo associare un è un trapezio.

Se f > 0 l'area si trova al di sopra dell'asse x, se f con il punto x trovate al di sotto di x, quindi essa dobbiamo separatamente un numero positivo o negativo. Al trapezoide possiamo associare un numero positivo o negativo a secondo che f sia maggiore o minore di zero.

Quindi, se f cambia segno in [a,b] tale numero si ottiene, come espressione la somma algebraica la somme delle aree delle zone di sopra con segno +, e le zone al di sotto col segno (-).

Tale numero è l'integrale indefinito di f su [a,b], o onda area del trapezoide. Questo è un'area effettiva solo nel caso che f puntine.

Integrale di Riemann di una funzione a scala

Considerato un intervallo chiuso e limitato [a,b] e m+1 punti, non necessariamente equispaziati x₀, x₁, x_n-2, x_m ∈ [a,b] con a = x₀ 1 m = b, questi punti determinano una suddivisione dell'intervallo [a,b] in m sottointervalli che impezzano ‹x_i-1, x_i› con i = 1 ... m.

Se uno o più di questi intervalli viene a sua volta suddiviso, mediante un numero finito di punti, onde ottenendo un intervallo o intervallo allora si ottiene ancora una suddivisione di I che viene detto raffinamento della suddivisione iniziale.

Definizione di funzione a scala

Sia f : [a,b] → ℝ. Diciamo che f è una funzione a scala se Ǝ O = x₀ 1 ...... x_n = b suddivisione di [a,b] /Ǝ costante V (x_i-1, x_i) ∀ i = 1, ...., m

• Definizione di funzione a scalino.

Sia \( f: [0, b] \rightarrow \mathbb{R} \). Diciamo che \( f \) è una funzione a scalino se \(\exists \ \) \( 0 = x_0

• Osservazione: Il trapezoide di una funzione a scalino è l’unione di un numero finito di rettangoli aventi per base l’intervallo \((x_{i-1}, x_i) \forall \ i = 1, \ldots, n \) e per altezza il valore di \( f \) nel sottointervallo.
• Definizione: Sia \( f: [0, b] \rightarrow \mathbb{R} \). Diciamo che una suddivisione di \([0, b]\), con \( 0 = x_0

Proposizione

Sia f: [a,b] → ℝ una funzione limitata.

Allora f è integrabile su [a,b] ↔ ∀ ε > 0 ∃ g ∈ H_f h ∈ H^f\(\int_{[a,b]} (h-g)

Dimostrazione

=>\(A = \left\{ \int_{[a,b]} f, \, g \in H_{f} \right\}\)

\(B = \left\{ \int_{[a,b]} h, \, h \in H^{f} \right\}\)

Se f è integrabile su [a,b], allora vuol dire che \(\bar{\int}_{[a,b]} f = \int_{[a,b]} f\), ovvero che \(\inf B = \sup A\).

Per definizione di estremo superiore ed estremo inferiore ∀ ε > 0:

\(\int_{[a,b]} g > \sup A + \frac{\varepsilon}{2}\)

e

\(\int_{[a,b]} h

Ora combino linearmente le due diseguazioni ...

\(\int_{[a,b]}h - \int_{[a,b]}g = \displaystyle\int_{c}^{b}h-g \text{inf} \sup A + \frac{\varepsilon}{2} \ge \sup h + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon \ ... \)

\(\Leftrightarrow\) Vi è verso dimostriamo che se \(\int_{[a,b]}h - \int_{[a,b]}f