Riassunto esame Analisi matematica I, prof. Vegni

Algebra lineare: spazi euclidei

Spazi euclidei Rⁿ

Spazi Euclidei Rⁿ, l’insieme delle n-uple di coordinate.

Rette in R³

Rette in R³: per poterle individuare serve il punto ed il vettore. Retta passante per P0 (assegnato) (x0, y0, z0) con direzione n (assegnato) (α, β, γ).

1. Eq. retta passante per O con direzione n:

P (qualsiasi) ∈ s ⇔ P(x; y; z)

P ∈ U = P + t · n

x_p = t · α      y_p = t · β      z_p = t · γ

x_p = x₀ + t · α      y_p = y₀ + t · β      z_p = z₀ + t · γ

Es. retta in R³: x passante per (1, 2, 3) con direzione (1, 1, 1)

Px = 2 - t      y = 3 - t

Vettori linearmente indipendenti

N.B.) Se nell’insieme V compare il vettore nullo di V, il vettore di tutte le incognite sarà un vettore linearmente indipendente 0 0 0

CASO DI 2 VETTORI L.I.

a₁V₁ + a₂V₂ + ... + a_nV_n = 0 ⇔ a₁ = a₂ = ... = a_n = 0

∴ estendi un vettore α multiplo &a; 0 | &a; 0 | &a; 0

Sottospazi vettoriali

Es.) Un sottospazio V se:

• Α un sottinsieme di V
• Β chiuso rispetto alle combinazioni lineari dei suoi elementi

Es. V = R³ quali sono i sottospazi vettoriali di R³

• Retta per 0 . . .
• Piano per 0 - (vedi immagine sopra mappa)

x . . . y. Z

Algebra delle matrici I

A_m,n: Matrice A con m righe e n colonne

(a_ij)

a_ij: elemento di ascissa i e ordinata j

Due matrici di uguale numero di righe e colonne si possono sommare, sottraendo e moltiplicando per scalare.

A | 1  2 |   B | 3     4 |   C = A+B   | 4  2 |   a_ij = a_ij + b_ij

|-3  0 |     | -2  -2 |           |-1  -2 |

Moltiplicazione di una matrice per uno scalare

Moltiplicazione di una matrice per uno scalare: (a_ij) -> k(a_ij)   k ∈ R

a_ij = 3   a_ij     [a_ij]     (a_ij)     .............

ES: m(2,3) {vettori di 2 righe e 3 colonne}

2_x3 e si sottospazia tralucide.

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Le combinazioni lineari si ottiene una nuova matrice con a righe e b colonne

3: Base e dimensione NIM

Base canonica

a | 1  0  0  0 |     b | 0  1  0  0 | i rigoli e colonne

c | 0  0  1  0 |     d | 0  0  0  1 |

a | 1  0  0 |

= | 0  1  0 | i rigoli delle colonne

e | 0  0  1 |

Dimensione

DIMENSIONE-GES.: ⊔ l’insieme di tutti i polinomi in 3x

x₁, x₂, x_n, x_n^*      l’insieme di rigeneratori V

V - spazio vettoriale di dim. infinita

Spazi vettoriali

• La dimensione finita: Rⁿ, M(2,3)
• Dimensione infinita (l’insieme dei polinomi)

INSIEME DI

FUNZIONI CONTINUE

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polinomi f(x)

Formula esponenziale

Formula esponenziale z = (cosθ + i sen(θ) = ρe^iθ

Formula di Eulero   cosθ + i sinθ = e^iθ

z₁z₂ = ρ₁ρ₂[ cos(θ₁+θ₂) + i sen(θ₁+θ₂)]

In f. esponenziale: z₁z₂ = ρ₁e^{i θ₁}ρ₂e^iθ₂ = p₃e^{i (θ₁+θ₂)}

Algebra delle matrici II

A (m,n): a_ij a₁ a₂ a₃ a₄ a₃,1 a₃,2

Date n matrici con numero di righe e colonne assegnato, è possibile esaminare il prodotto scalare.

Prodotto tra matrici

PRODOTTO TRA     A C(p,q), B C(q,s)

Il numero di colonne di A è uguale al numero di righe di B

A × B = C C(p,s)

C è una matrice con lo stesso nº di righe di A e lo stesso nº di colonne di B.

a i, 1 … j … q    b j,1 … s   iesima riga j-esima colonna

c_i,j = ∑ a_ik.b_kj    k = 1

Prodotto scalare tra righe della prima matrice e colonne della seconda matrice, purc