Analisi Matematica IV

L'integrazione secondo Riemann

L'integrazione secondo Riemann è più conosciuta ma i matematici preferiscono quella secondo Lebesgue per due motivi principali:

Teoremi di convergenza associati alla teoria di Lebesgue portano risultati più generali e potenti, inoltre allargano l'insieme delle funzioni integrabili infatti:

 ∫ f è L-integrabile ↔ |f| è L-integrabile

 ∫ |f| è R-integrabile ↔ f è R-integrabile

I teoremi per il passaggio al limite sotto il segno di integrale che richiedono meno ipotesi e sono quindi più generali

σ-algebra

Def ∅ ⊆ X insieme ξ ⊂ P^Σ := {A ⊂ X} ξ è una σ-algebra verifica i seguenti assiomi:

• ∅, X ∈ ξ
• ∀A ∈ ξ ⇒ A^c = X\A ∈ ξ
• ∀(A_m)_m ∈ ξ ⇒ ⋃_m=1^∞ A_m ∈ ξ

Oss ∀ A ∈ ξ A si dice misurabile

( X, ξ ) si dice spazio di misura

Dalla (iii) discende anche la stessa proprietà per un numero finito di sottoinsiemi

Leggi di De Morgan

ξ( ⋃_α A_α ) = ξ( A_α^c ) = ⋂_α A_α^c

ξ( ⋂_α A_α ) = ξ( ⋃_α A_α^c ) = ⋃_α A_α

con { ξ } un arbitrario insieme di indici

Proprietà

Prop (A_m)_m ∈ ξ ⇒ ⋂_m=1^∞ A_m^c ∈ ξ

Dim (A_m)_m ∈ ξ ⇒ ⋂_m ⇒ A_m ∈ ξ

ξ(A_m) ∈ ξ ξ⋂(A_m)_m=1 ⇒ ξ⋃_m=1(A_m)^c ∈ ξ ⇒ ⋂(A_m)^c ∈ ξ

(dimostrazione)

Esempio

ξ₀ = { ∅, X } è la più piccola σ-algebra

ξ₁ = Σ è la più grande σ-algebra

L'integrazione secondo Riemann e Lebesgue

L'integrazione secondo Riemann è più conosciuta ma i matematici preferiscono quella secondo Lebesgue per due motivi principali.

Teoremi di convergenza associati alla teoria di Lebesgue portano a risultati più generali e potenti. Inoltre allargando l'insieme delle funzioni ristrette a quelle L-integrabili infatti:

f è L-integrabile ↔ |f| è L-integrabile

f è R-integrabile ↔ |f| è R-integrabile

I teoremi per il passaggio al limite sotto il segno di integrale che richiedono meno ipotesi e sono quindi più generali.

σ-algebra e assiomi

Def φ ≠ X insieme ε ⊃ P^X : {A ⊆ X} ε è una σ-algebra verifica i seguenti assiomi

• φ, X ε ε
• ∀ A ε ε ⇒ A^c = X\A ε ε
• ∀ A_{m,m ε €}, A_m ε ε ⇒ ⋃_m=1^∞ A_m ε ε

Osservazioni

∀ A ε ε A si dice misurabile

(X, ε) si dice spazio di misura

Dalla iii) discende anche la stessa proprietà per un numero finito di sottoinsiemi

Leggi di De Morgan

φ(⋃_α A_α) = ⋂ φ(A_α)

φ(⋂_α A_α) = ⋃ φ (A_α ) con {α;} un arbitrario insieme di indici

Proprietà

Prop (A_m,m ε ε ⇒ ⋂ A_m^c ε ε

Dim (A_m,m ε ε ⇒ ⋂_m=1^∞ A_m ε ε

φ(⋃_m=1^∞ A_m) ε ε ∀ A^c_m ε ε

Esempio

ε_φ = {φ, X} è la più piccola σ-algebra

ε₁ = P^X è la più grande σ-algebra

σ-algebra generata

Sia K ∈ ⊗^ℝⁿ δ(K) si dice σ-algebra generata da K

δ(K) è l'intersezione di tutte le σ-algebre in X contenenti K

Esame

(X, J) spazio metrico

La σ-algebra generata da tutti gli aperti di X è B(X) e si dice σ-algebra di Borel e la si può ottenere ugualmente dall'intersezione di tutti i chiusi

Def f: X -> ℝ Il Misurabile df (rispetto alla σ-algebra ε basta in X) ⇔ ∃ α ∈ ℝ {x ∈ X α;} ∈ ε^c

Oss La definizione è equivalente per f(x) ⇒ ∃ J f(x) ∈ Importante che α ∈ ℝ altrimenti ogni α negativa sarebbe misur.

∀{ f(x) ≤ 0 ∀x ∈ X sia α ∈ ℝ^o⁺ ⟶ α = 0

∃ x ∈ X f(x) > 0

∃ sup ∃ ∈ X ε J ε^c

Per ogni funzione negativa

Esempio

Sia E ∈ ε^c

λ_E = {1 x ∈ E 0x ∈ E^c