Analisi 1 Teoria "Funzioni e Limiti" [cap. IV]

Cap 1 Nozioni generali e funzioni e limiti

Siano: D⊆R Funzionƒ: φ Un'applicazione ƒ: D → E, cioè una legge che ad ogni numero x∈D associa uno e un solo numero y = ƒ(x)∈E.

Si dirà una funzione reale di variabile reale.

È_sƒ: [-1,1] → [0,1]

x |→ ƒ(x) = √1-x²

1-x²≥0 ⇔ x²≤1 ⇔ -1≤x≤10 ≤ x ≤ 1 ⇔ 0 ≤ 1-x² ≤ 1 ⇔ 0 ≤ √1-x² ≤ 1 ⇔ ƒ(x)∈[0,1]

Spesso come insieme di arrivo si sceglie E = R per stare "nel sicuro".

Rappresentazione grafica di una funzione

Dato ƒ: D → E, si chiama grafico di ƒ l'insieme:

Γ(ƒ) = { (x,y)∈R² | x∈D ∧ y=ƒ(x) }

Γ(ƒ) = { (x, ƒ(x)) | x∈D }

Immagine e controimmagine di un insieme

Dato ƒ: D → E si chiama immagine di A tramite ƒ l'insieme:

Cap 1

Nozioni generali & funzioni e limiti.

D: EU: F: D → E∞ ogni numero x ∈ D → y = f(x) ∈ E.

Se dire funzione reale di variabile reale.

Es. f: [-1,1] → [0,1]

X → f(x) → √(1-x²)

1-x² ≥ 0 ↔ x² ≤ 1 -1 ≤ x ≤ 1 0 ≤ x ≤ 1 → 0 ≤ 1-x² ≤ 1 → 0 ≤ √(1-x²) ≤ 1 → ∈ f(x) ∈ [0,1]

Spesso come E = ℝ.

Rappresentazione grafica di una funzione

Data f: D → E.

Si chiama grafico di f: Γ(f) = {(x,y) ∈ ℝ² | f(t).

Γ(f) = {(x, f(x)) | x ∈ D }.

Data A ⊂§ D, immagini di A l'insieme f(A) = {y ∈ E | ∃x ∈ A: y = f(x)} = {f(x), x ∈ A}.

Immagine di A tramite f.

Approssimato.

Se A = D, f(D) si chiama codominio di f. Graficamente si ottiene proiettando il grafico di f sull'asse verticale.

Si dice controimmagine di un insieme B ⊂ E l'insieme:

f⁻¹(B) = {x ∈ D | f(x) ∈ B}.

Come già visto f si dice suriettivo se:

f(D) = E

∀y ∈ E ∃x ∈ D | f(x) = y.

Da un punto di vista grafico, ogni retta orizzontale passante per E interseca il grafico.

f si dice iniettivo se:

∀X₁, X₂ ∈ D X₁ ≠ X₂ ⇒ f(X₁) ≠ f(X₂)

Equivalentemente:

∀y ∈ F(D) ∃! x ∈ E : F(x) = y.

Dal punto di vista grafico ogni retta orizzontale interseca il grafico in non più di un punto.

F si dice biettiva o biunivoca se è sia suriettiva che iniettiva.

Una funzione è invertibile se e solo se è biunivoca, ovvero c’è un corrispettivo biunivoco tra gli insiemi di partenza e di arrivo.

F : D → E

F^-1 : E → D

y ↔ F^-1(y)

Es: F : ℝ → ℝ

x → F(x) = x² + 1.

F non è suriettiva estendo l’insieme d’arrivo ℝ F non è biunivoca, perché non è iniettiva banalmente.

Considerando come insieme d’arrivo [1,+∞] allora la funzione sarebbe stata suriettiva.

Questo lo abbiamo dedotto attraverso un metodo grafico, vediamolo ora metodo numerico.

Pararmolo: dato y ∈ [1,+∞] cerco x ∈ ℝ tale che F(x) = y.

x² + 1 = y ↔ x = ± √(y-1) → scarta valore che esclude la iniettività quindi la biunivocità.

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Se ora restringiamo f alla semiretta [0,+∞[ otteniamo anche l’iniettività.

Posto Lo che la funzione:

A: [0,+∞[ → [1,+∞[

x |→ f(x) = x²+1

è biettiva cioè: ∀y ∈ [1,+∞[. ∃! x ∈ [0,+∞[ | y = f(x)

Dunque è stabilisce una corrispondenza biunivoca. La de-infine l’espressione dell’inversa:

f^-1: [1,+∞[ → [0,+∞[

y |→ f^-1(y) = √y-1

_{Il suo grafico è}

f(x) ∈ Γ(f) ⇔ x = f^-1(y)

y = f(x) ⇔ x(y) ∈ Γ(f)

Pertanto il grafico si ottiene scambiando le coordinate delle funzione f.

_{Si fa la simmetria rispetto alla bisettrice}

In questo caso.

_{Riflessione rispetto agli assi (coordinate)}

Data una funzione f y = f(x) di cui è noto il grafico.

Devo trovare y = -f(x) e y = f(-x).

y = - f(x)

Riflessione rispetto all'asse y: il grafico si ottiene specchiando la funzione rispetto all'asse verticale.

y = f(-x)

Riflessione rispetto all'asse x: si specchia il grafico della funzione rispetto all'asse x.

Modulo di una funzione

|f(x)| =   { f(x)   s