Analisi matematica

Analisi matematica

Lezione 1 - Pendenza

Per definizione la pendenza di una funzione: è la misura dell’inclinazione del grafico da R→R. Ad esempio in una retta o funzione lineare f(x) = mx + q con m,q R è una funzione ∈ che descrive tutte le rette del piano tranne quelle verticali (x=y).

• Q è l’ordinata (la coordinata di y) del punto in cui la retta interseca l’asse y
• M è il coefficiente angolare m è quindi legato alla pendenza della retta.

Prendiamo e definiamo → incremento della x ≠ Δ = − 0 1 1 0 e → incremento della funzione, nel passaggio da Δ = ( ) − ( ) 1 0 1 0.

Quoziente di Newton → è il tasso medio di variazione di f nel passaggio da 1 0 ( )−( ) Δ 1 0 = Δ −1 0. A priori questo rapporto dipende da e , ma tuttavia… 0 1.

Teorema → sia f(x) = mx + q allora ( ) risulta che il rapporto non dipende ∀ , ϵ ≠ 0 1 0 1 da , ma è una costante m. 0 1 ( )−( ) + −( + ) + − − ) ( − ) Δ = = =1 0 1 0 1 0 1 0= Dim. = m Δ − − − −1 0 1 0 1 0 1 0.

Definizione: si dice pendenza della retta y = mx + q il suo tasso di variazione medio m.

Pendenza di una funzione “qualsiasi” → !! log=ln !!

La pendenza non è costante, quindi definiamo la pendenza in un punto fissato (è un concetto 0 locale). Scegliamo ad esempio nella funzione = 00 f(x) = log (1+2x) trovando la retta (grazie a geogebra) y=2x passante per (0;0) con pendenza uguale a 2 in quanto m = 2.

Diremo che f è localmente dritta vicino a .0 → se f è localmente dritta vicino a , diciamo che la pendenza di f nel punto è pf( ) dove 0 0 0 pf sta per pendenza di f. Quindi la pendenza è la pendenza della retta che si vede "zoomando" su . Nel nostro caso pf(0)=2.0.

Come formalizzare?

Si prende “vicino” a e si considera il quoziente di Newton nell’intervallo [ , ]. Cioè la 1 0 0 1 pendenza della retta per ( ,f( )) e per ( , f( )). 0 0 1 1.

Ovvero i punti → (1+2 ) − (1+2 ) (1+2 ) − (1+2 ·0) (1+2 ) Δ 1 0 1 1 Nel nostro caso → = = = Δ − −0 1 0 1 1.

Quindi si fa lo “zoom”: cioè si prende → ovvero → 0 Δ1 0 ( +Δ)−( ).

Definizione: Si dice pendenza di f in il numero pf( ) = purché tale 0 0 lim −0 0 → 1 0 Δ 0 limite esista finito.

Oss. il quoziente di Newton per “piccolo” da un valore approssimato di pf( ). Ad esempio Δ 0 Δ con = 0.001 = 1.988 invece che 2. Δ Δ.

Cosa intendiamo per limite finito?

Non sempre si può definire la pendenza di un punto!

Questo perché:

• Consideriamo la funzione f(x)=|x|, con =0, la retta che vedo “zoomando” resta 0 sempre |x|, cioè il grafico vicino a =0 non è localmente dritto, perché continuo a 0 vedere due rette. Per cui il limite non esiste!3
• Consideriamo la funzione f(x)= , con =0, vedo una retta, ma verticale, quindi con 0 pendenza infinita, quindi il limite è infinito!

Definizione: La retta tangente al grafico di f in p, se esiste, è la retta passante per P e con pendenza pf( ).0.

Ovvero se f ammette pendenza in , la retta y = pf( ) (x- ) + f( ):· 0 0 0 0

• Ha pendenza pf( )0
• Passa per ( , f( )) 0 0

Questa retta si dice tangente a f in .0.

Quando accade che il grafico di f “attraversa localmente” la tangente, parliamo di punto di flesso.

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Lezione 2

Esercizio “calcolo esatto di pf(x)” 2 Data f(x) = , calcolare pf(x) ( +Δ)−( ) 2 2 2 2 2(+Δ) − + 2Δ+(Δ) − Per definizione: = = =0 0 lim lim lim − − − → → →1 0 1 0 1 0 Δ 0 Δ 0 Δ 0 Δ(2+Δ) = ) = 2x lim lim (2 + Δ Δ → → Δ 0 Δ 02 Quindi f(x)= → pf(x)=2x (questo ci ricorda le derivate).

Esercizio “disegnare il grafico di pf(x)”

• Considerando il seguente grafico, in e in la pendenza è nulla. 1 3
• La pendenza è positiva se x< e se x> , ed p negativa se <x< . 1 3 1 3
• Se x< la pendenza decresce; se x> la pendenza cresce 2 2

Otteniamo così Dove, dato che prima di 1 la funzione cresceva, in pf abbiamo un grafico positivo, lo stesso succede dopo . Mentre fra e 3 1 3 la funzione decresceva, fino al punto di flesso dove “torna a crescere”, intersecando e 1 3 nell’asse x.

→ il grafico ci suggerisce che

• F è crescente su (a,b) se e solo se la pendenza di f su (a,b) è positiva; inoltre f è convessa su (a,b) se e solo se la pendenza di f su (a,b) è crescente
• F è decrescente su (a,b) se e solo se la pendenza di f su (a,b) è negativa; inoltre f è concava su (a,b) se e solo se la pendenza di f su (a,b) è decrescente.

Interpretazioni (non geometriche) della pendenza

1) “Dinamica delle popolazioni”

• N(t)= numero di individui di popolazione al tempo t
• ( )−( ) Δ 1 0 =- → tasso medio di crescita in [ ] , Δ − 0 11 0
• ( +Δ)−( ) 0 - → tasso istantaneo di crescita in , che ha unità di misura pari lim Δ 0 → Δ 0 a [N] / [t], nel nostro caso [milioni/anni]

Ovviamente grazie a questa formula possiamo stimare il tasso di crescita istantaneo a partire da un grafico.

2) “Cinematica del punto”

Consideriamo un oggetto puntiforme che si muove di moto rettilineo; la sua posizione sulla retta del moto è misurata rispetto ad un punto fissato, detto origine. A destra dell’origine la posizione sarà positiva, a sinistra negativa. Pensiamo ad esempio a una macchina che attraversa al semaforo.

Dove denomineremo con s(t) la posizione di un punto “materiale” che si muove lungo la retta al tempo t.

Ora facciamo un esempio e proviamo a descriverne il moto.

In t=0 mi trovo a 1m a destra dell’origine. Per t [0,3] mi muovo verso destra ∈ raggiungendo la distanza di 3m a destra dell’origine. Per t=3 inverto la direzione del moto. Per t [3,10] mi muovo verso sinistra fino a raggiungere la posizione di 2,5m a ∈ sinistra dell’origine. Ovviamente devo immaginare la retta delle y come nella prima immagine con la macchina, come se la macchina si allontanasse dal semaforo per poi raggiungerlo e superarlo.

• ( )−( ) Δ 1 0 =- → velocità media su [ ] , Δ − 0 11 0
• ( +Δ)−( ) 0 - → velocità istantanea in lim Δ 0 → Δ 0

Nel caso in cui v(t) sia la velocità (istantanea) allora:

• ( )−( ) Δ 1 0 =- → accelerazione media su [ ] , Δ − 0 11 0
• ( +Δ)−( ) 0 - → accelerazione istantanea in lim Δ 0 → Δ 0

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Lezione 3

Tutto ciò motiva il calcolo differenziale.

Definizione: sia f:(a,b) → R e (a,b), si dice che f è derivabile in se ϵ lim0 0 → ℎ 0 ( +ℎ)−( ) ()−( ) 0 0 (che è come dire ) esiste finito lim ℎ Δ → 0. In tal caso il valore del limite si dice derivata (prima) di f in e si indica con ) (quindi (0 0 possiamo dire che ) = pf( ) ( 0 0.

Definizione: sia f:(a,b) → R derivabile in tutti i punti di (a,b). La funzione a,b) → R quindi x→ si chiama funzione derivata prima di f. : ( ()2 Ad esempio se f(x) = la sua derivata prima calcolata diventa = 2x ().

In termini cinematici se s(t) è la posizione e v(t) la velocità, possiamo dire che () = ().

Ricordiamo anche i teoremi visti.

Teorema 1 (test di monotonia)

Sia f:(a,b) → R derivabile. Allora

• F è crescente su (a,b) se e solo se la sua derivata () ≥ 0 ∀ϵ(, )
• F è decrescente su (a,b) se e solo se la sua derivata () ≤ 0 ∀ϵ(, )

Teorema 2 (test di convessità/concavità)

Sia f:(a,b) → R derivabile. Allora

• F è convessa su (a,b) se e solo se è crescente su (a,b)
• F è concava su (a,b) se e solo se è decrescente su (a,b)

Lo stesso vale in termini cinematici con s(t) crescente/decrescente e con s(t) convessa/concava.

Esempio

In entrambi i casi si raggiunge la posizione di 10m a destra dell’origine in 10 secondi (nonostante una curva sia convessa e una concava); però nel primo caso accelerando e nel secondo decelerando.

Esercizio “disegnare la derivata”

Dato il seguente grafico di s(t) tracciare un grafico qualitativo di v(t).

Inizio notando dove la velocità è nulla, ovvero dove nel grafico di v(t) la funzione “tocca” l’asse delle x, in questo caso per x=2, x=4.

Poi guardo i punti di flesso e dove la funzione cresce o decresce fino ad ottenere:

Nota: se voglio conoscere un valore approssimato di v(t) in qualche istante , devo 0 disegnare la retta tangente a s(t) in e stimare la pendenza. Per esempio prendendo la 0 retta tangente arancione nel grafico s(t), al punto . E facendo i calcoli approssimati = 50−1−(−1.8) 0,8 otteniamo un valore v(5) = = = 0. 8 /5−4 1.

“Il problema inverso: da a f” Data f;(a,b) →R trovare (se esiste) g:(a,b) →R t.c. (x) = f(x) ∀ϵ(, )

Definizione: se una tale g esiste, si chiama primitiva di f.2 Esempio: g(x)= è UNA primitiva di f(x)=2x → (x) = 2x = f(x) In termini cinematici, data v(t) trovare s(t).

Oss. Se una primitiva di f esiste, allora ne esistono infinite!!! Infatti se g è una primitiva di f tutte le funzione del tipo g+c (con c R) sono primitive di f. ϵ.

Più precisamente…

Teorema (caratterizzazione delle primitive)

• G è la primitiva di f → g+c è la primitiva di f c R ∀ ϵ
• E sono primitive di f → c R t.c. (x)= (x)+c ∃ ϵ ∀ϵ(, )1 2 1 2

In termini cinematici: data v(t), non si può risalire univocamente a s(t)! Serve conoscere la posizione iniziale (per esempio).

Esercizio: dato il seguente grafico di v(t): descrivere il moto (verso destra) e ≤ 1. 5 (verso sinistra), e sapendo che s(0)=2 tracciare un grafico qualitativo di s(t). ≥ 1, 5 ≤ 2.

Otteniamo così, successivamente ai calcoli e ragionamenti il seguente grafico:

Al momento non possiamo calcolare lo spazio percorso in quanto non conosciamo ancora il calcolo integrale.

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Lezione 4

Dobbiamo riuscire a definire il lavoro compiuto da una forza.

Supponiamo che un oggetto si muova lungo una retta, spostandosi da s=a a s=b con b>a sull’oggetto agisce una forza parallela allo spostamento e dipendente solo dalla posizione F=F(s) R ϵ.

In questo caso, sappiamo, che la forza può:

• Favorire lo spostamento e avere F>0: lavoro motore
• Opporsi allo spostamento e avere F<0: lavoro resistente

Per definire il lavoro, procediamo per passi:

• Se F è costante allora = F (b-a)·: −>
• Se F è costante a tratti, cioè esiste una suddivisione di [a,b] in n sotto-intervalli, tale che F è costante su un intervallo per ogni intervallo . Allora = ( − ) + ( − ) + ... + ( − ) = ∑ ( − ): −> 1 1 0 2 2 1 −1 −1=1

Più semplicemente il lavoro è l’area del “plurirettangolo” che si forma sotto i vari intervalli del grafico sopra riportato.

3. se F:[a,b] →R è “qualsiasi” allora ragioniamo per approssimazione. Cioè fissiamo un − intero n 1 e suddividiamo [a,b] in n sotto-intervalli di ampiezza uguale , cioè ≥ − = + ( ) su ciascun sotto-intervallo approssimiamo F con un valore costante, cioè scegliamo un e definiamo G(s)=F( ) ϵ[ , ] ∀ϵ[ , ] −1 −1 − Per approssimazione diventa → ∑ ( ) · =1 E dunque ragionevole definire → −= lim ∑ ( ) · : −> → ∞ =1.

Integrale definito

Sia f: [a,b] → R e fissiamo n : ≥ 1 −

• Suddividiamo [a,b] in n sottointervalli di ampiezza , ponendo:
• Ora scegliamo arbitrariamente [ , ] (punti di campionamento) ϵ −1
• Consideriamo la somma (somma di Riemann) → − (; ,..., ) = ∑ ( ) · =1

Def: se ,..., ) esiste finito e non dipende dalla scelta degli diciamo che f è lim (; → ∞ ,..., ) e si dice integrale integrabile su [a,b] e useremo il valore lim (; ∫ () = → ∞ definito di f su [a,b].

Ma qual è la sua unità di misura?

• Se abbiamo “x” è [X]
• Se abbiamo “f(x)” è [Y]
• Se è [X] [Y]·∫ ()
• Se al posto di f(x) avessimo il lavoro quindi F(s) sarebbe joule e così via…

Calcolo approssimato

Integrale ed area Se su [a,b] → è per definizione l’area della regione compresa tra l’asse x () ≥ 0 ∫ () (sotto), il grafico di f (sopra), la retta x=a e la retta x=b.

Su [a,b] → = -Area(R) () ≤ 0 ∫ ().

Se f(x) cambia segno → è “area con segno” → = Area( ) - Area( ) ∫ () ∫ () 1 2 Nota: Area( ) + Area( ) = ∫ |()|1 2.

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Lezione 5

Integrale come “valore medio” di una funzione + ... +1 =

• Se sono n numeri, la loro media è , ... , 1
• Se f:[a,b] → R è una funzione, potrei tentare di definire il suo “valore medio” ( )+ ... +( )1 prendendo n punti e calcolando , ... , ϵ[, ] 1

Ma quanto grande prendiamo n?

Ovviamente più è grande n, più precisa è l’informazione.

E come scegliamo gli ? , ... , 1

Per avere una stima accurata, gli devono essere “uniformemente distribuiti”.

Ad esempio divido [a,b] in n parti uguali e poi scelgo in ciascun sottointervallo. 1.

Possiamo quindi definire la media come → (; [, ]) = lim ∑ ( ) →