Analisi matematica II - curve

Lezione 8 marzo 2021

Esempio

_m=0 ^+∞ ∑ ^m/_(m+1)2^m A_n ≥ 0 A_n > 0 m ≥ 1 A_n+1/_An = (m+1)/_(m+2)2^m+1 (m+1)2^m/_m = = ^(m+1)2/_2m(m+1)2 m→+∞ 1/2 L la serie converge

I criteri enunciati funzionano per serie con A_n ≥ 0, A_n > 0

Esempio

_m=1 ^+∞ ∑ - 2/6 n³ = -2 _n=1 ∑ ^+∞ 1/n³

Termini positivi

• L'importante è che la serie abbia segno costante, non tanto che il termine generico sia positivo!! Potrà benissimo avere il segno negativo ovvero una costante moltiplicatrice

Un fatto importante è che una data serie abbia termini costanti, almeno definitivamente.

Esempio

_m=α ^+∞ ∑ sen(n)/_n³ A_n

Concetto di convergenza assoluta

Consideriamo la serie ∑ A_m e la serie dei valori assoluti di _m=α ^+∞ ∑ (|A_m|). Se quest'ultima è convergente diciamo che la

Lezione 8 marzo 2021

Esempio

\[\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{n}{(n+1) 2^n}\]

\(a_n \geq 0\) \(a_n > 0\) \(n \geq 1\)

Calcolo del rapporto

\[\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{n+1}{(n+2) 2^{n+1}} \cdot \frac{(n+1) 2^n}{n} =\]

\[= \frac{(n+1)^2}{2n(n+1)(2)} \rightarrow \frac{1}{2} \(L I calcoli enunciati funzionano per serie con \(a_n \geq 0\), \(a_n > 0\)

Esempio

\[\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{-2}{n^3} = -2 \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^3}\]

Termini positivi

• L'importante è che la serie abbia segno costante, non basta che il termine generico sia positivo! Può boicottare anche un segno negativo con un estremo moltiplicativo

Il fatto importante è che una data serie abbia termini costanti.

Esempio

\[\sum_{n=a}^{+\infty} \frac{\sin(n)}{n^3} \cdot a_n\]

Concetto di convergenza assoluta

Consideriamo la serie \(\sum_{n=a}^{+\infty} a_n \) e la serie dei valori assoluti \(\(a_n\),\) se quest'ultima è convergente dichiariamo che è assoluta.

Teorema

Se Σ|an| è convergente allora Σan è convergente, mi dice che la convergenza assoluta implica la convergenza semplice.

⇒Σ_n=N^+∞ |un(n)| / m³ Σ_n=N^+∞ |un(n)| / m³ bm = |an| > 0 |un(n) / m³| ≤ 1 / m³

Σ bm ⊆ Σ 1/m³ convergente (α > 1) Per il criterio del confronto Σbm c +∞ = il suo obt. conveg., analogamente e quindi anche semplicemente.

Attenzione: non vale viceversa, convergenza semplice ≠ convergenza assoluta.

Esempio

Σ_m=1^+∞ (-1)^m+1 1/m vedremo essa convergente

Σ_m=N^+∞ (1-1)^m+1 1/m = Σ 1/m diverge (serie armonica)

Altro esempio

1) Σ_m=α^+∞ a^m / mⁿ a ∈ R⁺ (a > 0)

Criterio della radice: lim_n→+∞ ^m√(a^m / mⁿ) = lim_n→+∞ a/mⁿ = 0 (∈ 1)

Le serie delle convergenze

2) Serie notevole ^∞ Σ a^n(m) _m=1 a ∈ R⁺; α ∈ R (a > 0)

Criterio della radice lim ^{n → ∞} √_mα^m = lim ^{n → ∞} m^1/n a = lim ^{n → ∞} ae^{α/n ln(m)} = a ⇒ a { a > 1 diverge a

Le serie ottenute, per a = 1, diventa ^∞ Σ n^α _m=1 ≈ Σ ^{∞ m=1} 1 / n^-α

Se -α ≤ 1 ⇒ Le serie diverge ⇒ α ≥ -1

-α > 1 ⇒ .... converge ⇒ α

Riassumendo

Le serie ottenute convergono per a (0 Osservazione: abilita commutativa)

a₀ + a₁ + ... + a_N = a_N + a₃ + a₂ + ... + a₀

Risultato in ordine diverso.

Disporre i termini con le serie può creare dei problemi.

Con le serie questo non si può fare, anzi vale il

Teorema di Riemann-Dini

Se Σ A_n convergenti ma non assolutamente convergenti; Per ogni S ⊂ R o