Esercizi svolti Analisi matematica II

Esercitazione 1

Determinare disegnare domini diie DixysoSky)Df(x = vy) xy 0x y=+:, - = xYYx yx = XXf(x xy)Df(x y)D: x0logxy) log(1 10xy)1 >xy+:= + -=, , -S XYYN y3*3x X--Trxy = - perbole -Disegnare di livello dile curve = E CER= x nell'origine)f(x (parabola yz Cycy) = = =, ,W parabole3xSa sec· = (assey)0 + > 0X0= =-== =S(x y) CER Eyz) nell'originey2x circonferenze(z hanno0 centroy + ,: ma+c non==i -, ,y2 yo)(X-Xo)2 (yFORMA RENELLASCRIVERE + =-XY tx -+ y 0=--= *2) m(y yz= +-> X 22+*y2x(assex) +sec 0 y- 0· = = - =2P =(yx c)+se c o sono curveci· non -livellodi (X0Centro (Oi)yo =;econetar8 en-enzy) y (enc-enx)=, - y== - = con x0- 0X ,enx logy = loga-logb boa= ,Cassey)se X +0 1 0· == (n( x)en c) en(enfseco x0 + y· = - -==; --en(x) en( c)= - -grazioabbassare

Esercitazione 2

Calcolare direzionale diderivatalaS(x e) (e)y) direzionePin nella (V10= 0) 2)= =, =, ,Emt yotte) - ICY+ , sfdxP(xo yo· ,V (V Vz)= =, . DE L'HOPITALEme1)fdy +OSSERVAZIONEfuturo le derivate direzionale fare limitecalcolanoin si ilsenzaesiinfatti calcolano la definizionesenza eSynse(x alloray) (0f(x e 100+y)cheprovare , (0 fse %,- =o0, ma=, ,10è (xcontinua 0 y)in 10se 0)=, , ,hmem0 9 Eser= 0, = DERIVATE PARZIAL AXEXRISPETTO· emf(0 -Un%10 0 ,=, bastano(lecontinuaè lodirezioni der parzse è sicuramente 3 Non22 innonin , .

Esercitazione 3

f(x① y) 010=, ,dicriticipuntistudiaresf(x y) X seny=· ,e seny 0 kiyo > + (0Pr= a)- = = , ),Pr (0+ =oosy == 0= Xeny-= cosy (V ,2) 10 1) Xeny Non sempreco= -Xenyitzcosylk ,- ↓PUNTO DISELLAf(x y) 2x3 3y26xy· += -,↳S 0(0PaSex >0 y 0-= = ,X 0= 1)(1Pr11 + ysex = == ,= 630 MINV=se 10 >ev= =-=retta6 con- Se MAXV1 Vz 603123 +pendenza " 1 +e= = .= -PUNTO DI SELLA 686V2(0P 0 6)2)+> dove ER12520 +++- (v= 0)(02)=7276825 -- ,, 212x82 ,68+ 1. E(VE-V GUEU)1201 (V-655-125252 GU(12 12+ 12+1) ++=+ == ,PUNTO DI MIN E)12 (2 E 620= - +- SEMPRE >Oiin> 382O +(125)MATRICE HESSIANA H = (jj)-6)(0 4)x(6(H(P1)XI XI)det(H(P) H(Pz) 36(1)H(P) det 00 - =--= ==- --= 6xx2 36= 0=- -1230140 SELLA(1356) ( Etj)XI(H(P1)H(P2) H(P1) x)(1) 1)(6det (H(P_) (12Xl)det0 36= =- 0= = - =- -- - x2 18x 72+ 36= 0=- -x2 18/ 036+= - =11 o MINIMO200H(P)MATRICE HESSIANA :I=I 2 +(PUforma H(P)equadratica (P)associata +aH(P) positiva/negativaforma gli autovaloridefinitaquadraticaTEOREMA èuna se- della matrice NEGATIVIMINassociata Positivi(H(P)) MAXSono > >- -forma l'altrola autovaloreindefinita èallorase positivoè eunè negativo SELLA-

Esercitazione 4

laparametrichele stessache rappresentanoseguentiprovare eg curvaS sentX(t) = YE)te(y(t) cost ,= XsenzEx(t) 1= 8= costy(t) 0==tX(t)[y(t 1= - 2)(0te= ,TE 1)(0P = ,T 0)(1P =C - ,1 ( 0)p 1= ,CARTESIANAEQ .-( =12 5z(x+ 2x)y D1 x2x +2 + --- 1x0- y +: -= + x 11X41tvEEz -E x(t) = te 1)( 1Y(t) t2 ,1= -EQ CARTESIANA. ESE Hey= vy V- = alla0)determinare (1Pnormaletangente dipuntonelversori curvae e equazioni= ,E etcost(t)X = 2π;)te(0etsenty(t) ,=E etsentetcost(t)* = -esent etcosty'(t) += I( (Vetcost(yH)) etcost-etsent etcostetsentE += etcost))"Jetcost-etsent)= etcost)etsent) (etsent Cetsent+ ++ +- Ietcost-etsent) 7 etcostetsent2)(y(ti += -- 24"Ve"cost= etsent)2 (etsent etcost)Jetcost-etsent)2 etcost)2(etsent +(y( ++ + + - S0)P (1nel punto = ,etE cost1 = t 0=-etsento - (EiE)E 7 tncont =0 == ,

Esame analisi simulazione II

eXYf(X z2direzionali funzionele dellacalcolare derivate 2) nel punto+y· =, ,( ), ,direzioneP (0 nella1) ve0 == =, , (5)( 1+ == ++(0 1)53(04 1)v00 00 =, , ,, ,.f esxy Y-(es * 1)y) (01) x) 1)(0 (0 + Us27v 520senxy= Senxy =0 0· = ·, ,, , ,,. . EEz0 -0 + 2= . = funzionestudiare dellacriticipunti· if(x 2x3 3yz6xyy) += -,= 6X2 - 6Y (1P 1) (0Pr 0)punti critici == ,,i sx 6y+= -matrice Hessiana=IlH(P)= =-12x = >= - -36/47( 5 ) MINdetH(P1) =x)(2 x)(6 x 18x36== +=- -- x2 =3[5)detH(P) 1236 SELLA=S= += =- - f(X X" 2y2y) suldeterminare cerchiofunzioneil dellavalore· unitario+minimomassimo =e ,centrato nell'origine = 1x2 y212 + y + 0xcerchio ==-curvaf(x 1)Xg(x (x)F(x N) x" 2y2 + X yzy)y) ++ +y == -, , ,, -41-4xxxN= 4x 2xX+ X 0=I 1x y- 0= =1 0yx - == -Ibisogna trovareforza,non per-1)Pe(0 Palo1) 0)Pr(1 0) Put 1, ,. ,f(P) x" 2y2P1 MAX +2=. f(P2) 2 MAXP4 Pe =. . f(B) 1=· Pr f(P4) 1=PUNTI INTERNIG f(P5)(0B puntocritico0) MIN0== , 1)integrale 0(0 (1dicalcolare curvilineo ilJil segmento estremiseguente è· cuiin , ,Xy =((x2 y)ds+ 1ep 1CARTESIANA m1 y XMX ml = === .. parametrica E giateeq . ((f(x V(x'(t))2y) f(x(t) (y(t))y(t)) olt= +, ., 11 E/E6 E E)E( 5 +.( t dt ++dt1+ ++ = + ==estremit rale vertictriangolo 0)(0dove D il di 2)(0calcolare (2il è 0)integseguente· ,,.& x aray Gx 23yeRD 02x22& <y0 = x+: -, , ,y X 2+= -% +[yaxax=ay)ax *- -= ER2[(x y213calcolare integraleil y) Xseguente dove DD il semicerchioè dato da v: +· = ,[(x y)ER" 103:, 2y2axdy [02971 En}+ (D) ,T 20- = -IJacTdetGeserag)denogdp)d0 3/2π; (f)1 /sentdo= . E23/2π;senEE EE =(G) += = DCR"taliche//f(XDCR-R dominio y)ftrovare dxdyfunzione· e: ununa =o,(seny R 21}{(xx3 dxdy D y) 11+ 1 -= X =E: : -- ,, x2 y211+differenzialedell'equazioneletutte soluzionideterminare· 3xy" 20x2 4+= -(3x (20xy' 3x 20x3(4= + C= + 4x +-(E ( zx (4x )cy = =-= "+ ++ 2x (xD D( + + ++diproblema Cauchyilrisolvere·G Y70 ele# 5x((5xdx enly == C cost= .Ce =y = differenziale lache soluzionescrivere ha 3· un'eq y =E 'y 0y 3= (0dxy 0 x c+= = .3y c= = CIR" -IRf D hafunzione puntiche criticiscrivere· una : nonf(x y) 7y3x +=,f(x y) x y+=,f(x y) X=, eXYf(X z2direzionali funzionele dellacalcolare derivate 2) nel punto+y· =, ,( ), ,direzioneP (0 nella1) ve0 == , ,= yeXY 1)(Senyx) (0 00 =.. ,,18 esy x(senxy) 7)= 10 0. =· 0dy ,,= 2z == #2es funzionestudiare f(xdella 2x3 3y2criticipunti GXyy)· +i = -,6 1)(1(0 0) PePe = =, ,i 3(2xj) (5)(3) det(s) 6)1)H 76x(sXI+(P) M s-= = += =- --= .- -0) SELLAP(0 >-, 1242j) (225*s)( 6x(2jj) 12x 10 366)x) 36(6 +1)(6 +(2 =72H(p) --11 = -det -H(P) - .-= -= =- L =141112I IND 1)P(10da MINIMOla >matrice Hessiona >= V324quadratica= - -se 18 1441, - -=2 > 0Tformula dy f(X X" 2y2y) suldeterminare cerchiofunzioneil dellavalore· unitario+minimomassimo =e ,centrato nell'origine 1)(x =" +D ycurva > :- =f(x x"y)y) 1g(x 1k2F 2yz 1)y2 -+ += += + ,, oG f(0 1)S MAX2· =(0 1)Pe ,= = -, f(10 %Sostiusco +Pr 0(1= , 0) 7f(- 1 =0)(Pz ,1= - , 1)9(0 2 MAX=P ,= y2x i t(0,01+ - 0= ((00) 04N= 1)integrale 0(0 (1dicalcolare curvilineo ilJil segmento estremiseguente è· cuiin , ,Xy =((x2 y)ds+[E 1]telo , ve(((E(/(CH 2) E E(E +Vy(t) (y'(t))) +t ==rzit at ++ ++ ==,& integrale vertictriangolo 0)(0dove D il di 2)(0calcolare (2il è 0seguente· ,,.& 2)(0xx 200D <y = +x=x :aray & +2xy = -·(ay(ax - (( 2()[]2dx(x 2x+ == + = ER2[(x y213calcolare integraleil y) Xseguente dove DD il semicerchioè dato da v: +· = ,[(x y)ER" 103:, Aci]20 :gcst? x p:y2axdy == senz=y(Sendp)do ++ yo) y0)Xo)kyo) (yf(x0 (X0PIANO 2TANGENTE -·= ,, ,*J e(1dx + x enl(y xe- dy enx ene xE zy ey == =-= - = - ===DERIVATA DIREZ (E ),(3 4) ven(seny) pexyy)f(x + ===, , e(P) 4= ey = . e cost3Cosy+= ex =y .+PUNTI CRITICf(xy) x3yz 1= +L S -Pole=·S= xY=a P)((8) X2(H(P)-XI)XI detH( NON MIDAINFORMH(P) ==-= -f(P) 1=f(x y) X seny=,se Con ilP(0)H =1(2) H-)det(H(P) xF) SeH() =-= X21et etsent(t) cost* += etsent-etcosty'(t) =testostetset costsent-etcost-etcost))titostetsetetsent-etcost etcost))=(etsent-ecosticosttetsent -+-Stalato DA 2- 8(Gy +-yr -=lato AB P f(0) 1=2tE t2f(t)2] x10 y2x ty) 1f(x x =+ + -+ -x= f'(z)-- MIN3-,, = -lato BC MAX2t= SCHSEE S( y)k] ty2zy2(0 2 4+ =2+ - -= -,,lato CD S'(0) 1=St 2tE f(t)ty)S(xt(0 x2] 111 -+ +X == --- MINf'(2) 3,, = -MINMAX internie yzxy)f(x +x= -,=S 12x +- (t dP = ,= 244f(p) = I4 ·⑨MAX MIN internie xi yzf(x y) +=,G P(o f(P1)0) 0=, CDTyrije x Nxy2n y) y)1g(xf(x + 16+ + y= =, -,,=G -2xxy S 2x2 132x+2x += =-S22X ==yS 2)P(N &(4) 6 12+ 4= =, 1)y21(x21g(x z) zz)x) +f(x xF(x zy + ++ +y =z -y = , ,, ,,, , I E↳ x = - Ez = -& == z Eny 21 y1+ +0+x =y= =+- -sent #ost=sent! vent)=0=( ]! 1)= -11 (t]*V =z1 2e(ze4" + ==112 =+ =en1)1()e 1) + == xz)(D 1 y0xy = =: ;# (02yx 3=z+0: ,aydx =(ay "fe (y) x* *ex (x d)* +eeedy === -= =/ =& x)+ (e* +-EE(e* 2x-Exdx == --= #QUESTAUSO (ySax(a ⑳oye7= =xye dy+ x )( x[1] ) =( *xy dy- dy =y+ = =& [] =ax = #[ Sx2 + yVD 119: - t)p 1)-( (7+ +:odyd cost cod c(( 5)-==ESe do =(sen])=E COORDINATE CILINDRICHEScoSFERA V2RAGGIOPARAB .. OzvOg[VzEiπ; 0 -=aX Mi toy =9 dgddz =z Se .=(4dy T] z=-==dz =(e Ez)exy" +z === .(E -y(2ey +D+= = ==( (2=↑ T? xiI ?(= -⑧ a)( exdy+= =- :enté")eY enX+c ==- =& ?S1dxeYy A(x) -a( = x= === (ex y(0) c 0-y = == E4 kk2 11+ 2k + 0 == -SOLUZ OMOGENEA SBAGLIATO. BxetAlYou += PARTSOLUZ . ,CX-XYPart = xx)YpArt ((2xe + *2(xe +(x2e-== - -Y"part Cé" X*2 (xe4 (x-= +-2Cé" *