Analisi matematica I - gli estremi di insiemi

Estremo superiore e inferiore di un insieme numerico

Definizione 1

⊆ ∈≠ ≥ Siano 0 A R e L R. Si dice che il numero L è un maggiorante dell’insieme A se risulta L a∀ ∈a A. Si dice che l’insieme A è limitato superiormente quando è dotato di maggioranti.

Analogamente si dice che l’insieme A è limitato inferiormente quando è dotato di minoranti cioè se⊆≠∃ ∈ ≤ ∀ ∈l R l a a A:. Un insieme 0 A R si dice limitato quando risulta limitato sia⊆∃ ≠≤ ≤ ∀ ∈l, L: l a L a A superiormente sia inferiormente e cioè.

Un insieme 0 A R si dice non limitato quando non risulta limitato superiormente, oppure inferiormente, oppure non risulta limitato né superiormente né inferiormente.

Osservazione 1

⊆≠ Sia 0 A R e supponiamo che A sia dotato di massimo. Ciò significa che esiste un numero reale ∈ ≥ ∀ ∈M A: M a a A.

Osserviamo che M è caratterizzato dalle seguenti due proprietà.

• M è maggiorante di A;
• Non esistono maggioranti di A minori di M.

Conseguentemente M è il più piccolo dei maggioranti di A e analogamente, il minimo di A è il più grande dei minoranti di A.

Osserviamo ancora che non tutti i sottoinsiemi di R hanno massimo o minimo. Ad esempio l’intervallo ]1,2[ non ha né massimo né minimo.

Sussiste in proposito il seguente risultato che si dimostra utilizzando l’assioma di completezza di R.

Proposizione

L’insieme dei maggioranti (minoranti) di un insieme A limitato superiormente (inferiormente) è dotato di minimo (massimo).

Dim

Indichiamo con B l’insieme dei maggioranti di A. B è non vuoto per ipotesi A è limitato superiormente. Essendo A e B separati per l’assioma di completezza ∃ ∈ ≤ ≤ ∀ ∈ ∀ ∈c R: a c b a A b B, ∈≥ ∀ ∈c a a A.

Essendo c è un maggiorante di A e quindi c B. ≤ ∀ ∈c b b B Essendo c è il minimo di B.

Il teorema è dimostrato.

Definizione 2

1⊆≠ Sia 0 A R un insieme limitato superiormente. Il minimo dei maggioranti di A si chiama estremo superiore di A. Analogamente se A è limitato inferiormente il massimo dei minoranti si chiama estremo inferiore di A.

L’estremo superiore e l’estremo inferiore di A si indicano rispettivamente con i simboli supA e infA.

Osservazione 2

Una volta data questa definizione la proposizione precedente si può riformulare dicendo che ogni insieme limitato superiormente ha estremo superiore e ogni insieme limitato inferiormente ha estremo inferiore. ∈ ∈ Evidentemente se supA A allora supA è anche massimo di A e, analogamente, se infA A infA è anche il minimo di A.

⇒ ≤ ≤∈≤ inf A a sup A Si noti ancora che infA supA perché a A.

Proposizione sulle proprietà caratteristiche dell’estremo superiore e inferiore

⊆≠ Sia 0 A R un insieme limitato superiormente. Vale l’equivalenza:

′ ′ ∀ ∈≤ a A 1) a e′ ′= ⇔  (e sup A) ′ ′∃ ∈ ≤ −e∀ >e a A: a e 2) 0 e e

Analogamente se A è limitato inferiormente:

′≥ ∀ ∈ 1) a e a A′ = ⇔  (e inf A) ′∀ > ∃ ∈ < +e e 2) 0 a R: a ee e

Dim

Basta osservare che la proprietà 1) equivale a dire che e” è un maggiorante mentre la proprietà 2) equivale a dire che ogni minore di e” non è un maggiorante. Conseguentemente le proprietà 1) e 2) messe insieme equivalgono a dire che e” è il più piccolo dei maggioranti e cioè, che e” è l’estremo superiore di A.

Definizione 3

⊆ def≠ = + ∞ Se 0 A R è un insieme non limitato superiormente si pone. In altri termini sup A ∃ ∈ >def a A: a L )= +∞ ⇔ ∀ >(sup A) (L 0 − ∞ Analogamente A non è limitato inferiormente inf A=.

Osservazione 3

Una volta data la nozione di estremo superiore e inferiore di un insieme è facile dimostrare la seguente proporzione.

Proposizione 2

Siano A e B due sottoinsiemi non vuoti di R. V.S.i. ( )⇔ =sup A inf B (A e B separati e contigui)

Estremi di una funzione reale

Definizione 1

→f: X R Sia si dice che f è dotata di massimo in X se il suo codominio f(X) è dotato di massimo e cioè se ˙˙˙˙˙˙ ∀ ∈≤ ˙˙˙∃ ∈˙˙˙ f (x) f (x) x Xx X:.

Si chiama massimo di f nell’insieme X il massimo del codominio f(X) (se esiste) e si denota col simbolo max f. Conseguentemente:

x def=max f max f (X )x=∈˙˙˙ f (X) max fx X

Ogni punto: si chiama punto di massimo di f in x.x

Analogamente si definisce il minimo di f in X (se esiste) ponendo:

def=min f min f (X )x

Osservazione 1

Si noti che il minimo e il massimo di f in X sono unici, invece i punti di minimo e massimo possono essere anche infiniti.

Definizione 2

→f: X R Sia. Si dice che f è limitata superiormente (inferiormente), in X se tale è il suo codominio f(X). Si dice f è non limitata superiormente (inferiormente) se tale è il suo codominio f(x).

f è limitata superiormente in x l’estremo superiore di f del suo codominio f(X) si chiama estremo superiore di f in X e si denota def=sup f sup f (X )x +∞ Se invece f è non limitata superiormente in X si dice che l’estremo superiore di f in X è e si pone sup f def= + ∞.

In conclusione sup f (X ) se f è limitata superiormente = sup f +∞ se f non è limitata superiormente.

In maniera analoga inf f (X ) se f è limitata inferiormente = inf f − ∞ se f non è limitata inferiormente 3

Osservazione 2

Rileviamo esplicitamente che l’estremo superiore come pure l’estremo inferiore non sono in generale valori della funzione. =∃ ∈ f (x ) sup f Evidentemente se e cioè se l’estremo superiore di f in X è il valore f( ) di x X: x= =sup f max f f (x )f in allora. Analogamente vale per l’estremo inferiore.x xx

Successioni numeriche

Definizione 1

Si chiama successione numerica ogni funzione reale definita nell’insieme di numeri naturali N e →a: N R cioè una legge che ad ogni numero naturale associa un unico numero reale è una def ∀ ∈= an N successione numerica si pone e cioè si indica con il valore della funzione in a a (n ) nnn, una volta introdotta questa notazione la successione stessa si denota col simbolo a, a ,...., a ,........1 2 n

Oppure anche con i simboli più compatti (a ) a; ( )∈n n N na, a ,...., a ,........

I valori che la funzione a assume nei punti 1,2,…..,n,….. si chiamano termini 1 2 n a a a della successione; più precisamente si chiama primo termine, secondo termine,….., termine 1 2 nn-esimo o anche termine qualunque della successione.

Osservazione 1

Il codominio di una successione si chiama anche sostegno della successione.

Osservazione 2

Alle volte non è possibile definire una successione numerica il suo termine generale. Consideriamo ad esempio la successione di Fibonacci 1,1,2,3,5,8,13,21,………..

Tale successione è definita dalla seguente proprietà:

= = = + ∀ ∈a 1, a 1, a a a n N+ +1 2 n 2 n n 1

Perché ogni termine dopo il secondo è somma dei due termini precedenti. In tali casi si