Insiemi, Analisi matematica

Elementi della teoria intuitiva degli insiemi

Def insieme = aggregato di oggetti non strutturato:

• Per indicare insiemi: "A", "B", ...
• Per indicare oggetti: "a", "b", ...

Rappresentazioni

• Per tabulazione;
• Esempio: E = {a, b, ...}
• Per caratteristica (o legge);
• P(x) = {x ∈ U | x soddisfa P(x)}
• U = universo
• Grafica;
• Oggetto = elemento = punto
• a ∈ A (a appartiene all'insieme A)
• b ∉ A / b ∈ A (b non appartiene ad A)

Operazioni

• A = B quando sono formati dagli stessi elementi

Proprietà

1.1) A = A (riflessiva)

1.2) A = B => B = A (simmetrica)

1.3) A = B e B = C => A = C (transitiva)

Simboli logici: negazione: ￢; congiunzione: ∧; disgiunzione: ∨; implicazione: =>; doppia implicazione:

B ⊆ A quando ogni elemento di B è elemento di A

Se b ∈ B => b ∈ A => ∃ a ∈ A a ∋ b

B ⊆ A

A = B se A ⊆ B ∧ B ⊆ A

A ∪ B quando si forma un insieme C nel quale

{ x ∈ U | x ∈ A ∨ x ∈ B }

L'unione è un'operazione binaria

Proprietà

3.1) A ∪ A = A

3.2) A, B ⊆ C

3.3) A ∪ B = B ∪ A (commutativa)

3.4) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) (associativa)

3.5) A ∪ B = A B ⊆ A

A ∩ B quando si forma un insieme C nel quale

{ x ∈ U | x ∈ A ∧ x ∈ B }

Proprietà

4.1) A ∩ A = A

Elementi della teoria intuitiva degli insiemi

Def insieme = aggregato di oggetti non strutturato

• Per indicare insiemi: "A" "B"...
• Per indicare oggetti: "a" "b"...

Rappresentazioni

• Per tabulazione; Es A = {a, b,...}
• Per caratteristica (o legge);

Es P(x) A = {x ∈ U | x soddisfa P(x)}

Grafica: A

a ∈ A (a appartiene all'insieme A)

b ∉ A / b ∉ A (b non appartiene ad A)

Operazioni

• A = B quando sono formati dagli stessi elementi

Proprietà

1.1) A = A (riflessiva)

1.2) A = B ⇒ B = A (simmetrica)

1.3) A = B e B = C ⇒ A = C (transitiva)

Simboli logici negazione: ¬; congiunzione: ∧; disgiunzione implicativa: ∨ implicazione ⇒; doppi implicazione: ⇔

• B ⊆ A quando ogni elemento di B è elemento di A

Se b ∈ B ⇒ b ∈ A e ∃ a ∈ A ∧ a ∉ B

B ⊆ A

A = B se A ⊆ B ∧ B ⊆ A

• A ∪ B quando si forma un insieme C nel quale

{x ∈ U | x ∈ A ∨ x ∈ B}

L'unione è un'operazione binaria

Proprietà

3.1) A ∪ A = A

3.2) A, B ⊆ C

3.3) A ∪ B = B ∪ A (commutativa)

3.4) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) (associativa)

3.5) A ∪ B = A ⇔ B ⊆ A

• A ∩ B quando si forma un insieme C nel quale

{x ∈ U | x ∈ A ∧ x ∈ B}

Proprietà

4.1) A ∩ A = A