Analisi matematica I

Indice

• 0.1 I numeri reali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
• 0.2 Estremi di un sottoinsieme di R . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
• 0.3 Insiemi numerici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
• 0.3.1 Numeri naturali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
• 0.4 Insieme dei numeri interi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
• 0.5 Insieme dei numeri razionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
• 0.6 Topologia di R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
• 0.6.1 Intorni di un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
• 0.6.2 Punti di accumulazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
• 0.6.3 Definizione di limite per le funzioni reali di variabile reale 18
• 0.7 Derivata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
• 0.7.1 Limiti e ≤ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
• 0.7.2 Criteri generali per l'esistenza del limite . . . . . . . . . 31
• 0.8 Successione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
• 0.8.1 Limite per le successioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
• 0.8.2 Successioni monotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
• 0.8.3 Il numero e (di Nepero - Eulero) . . . . . . . . . . . . . . 38
• 0.9 Radici (n-esime aritmetiche) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
• 0.10 Funzioni esponenziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
• 0.11 Successioni estratte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

12 Indice

• 0.11.1 Successione di Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
• 0.12 Topologia di R seguito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
• 0.12.1 Funzioni inverse e continuità . . . . . . . . . . . . . . . 63

Analisi matematica I

0.1 I numeri reali

∈ 6 ∈ a A, a A ∈ ∈ A = B <=> (x A <=> x B) ⊆ ∈ ∈ A B <=> (x A => x B)

Teorema ⊆ ⊇ A = B <=> (A B, B A)

{1, {1, A = 2} = B = 2, 1}

è pari tale che {x ∈ } {x ∈ ∈ A = = x = 2p} N |x N| ∃ p N

Coppia ordinata

Insiemi e ∈ ∈ A, B a A, b B

Coppia ordinata di prima coordinata e seconda coordinata

(a, b) = a b

Definizione

0 0 0 0 (a, b) = (a , b ) <=> a = a , b = b

6 (1, 2) = (2, 1)

Prodotti cartesiani

Insiemi × {(a, ∈ ∈ A, B => A B = b)|a A, b B}

Esempio: diagramma cartesiano

2 × 3 = => (x, y) R R R

Relazioni

34 Indice

Scrivo e insiemi. Una relazione da A a B è un sottoinsieme di × A B R A B.

Notazione

∈ (a, b) R <=> aRb

Relazione d'ordine

Sia un insieme. Una relazione da A ad A. ⊇ × A R A A (R A A).

Si dice ch'è una relazione d'ordine, se verifica le seguenti proprietà:

• (Proprietà riflessiva) ∈ 1) aRa ∀ a A
• (Proprietà antisimmetrica) 2) aRb, bRa => a = b
• (Proprietà transitiva) 3) aRb, bRc => aRc

Osservazione oppure (due numeri reali sono sempre ≤) ∀ x, ∈ ≤ ≤ (R, y => x y y xR confrontabili tra loro)

Definizione (ordine lineare o totale)

Sia una relazione d'ordine nell'insieme, (A, R) è un insieme ordinato.

Si dice che R è una relazione d'ordine lineare o totale, se: ∀ a, ∈ R b A => aRb oppure bRa.

è linearmente ordinato. ≤) (R,

Funzione

Siano A e B due insiemi. Si chiama funzione da A e B ogni relazione da f A B e ( ) tale che: ⊆ × A B f A B

(Dominio di f è A) ∀ a ∈ A ∃ b ∈ B : (a, b) ∈ f f A

Se 0 0 ∈ ∈ (a, b) f, (a, b ) f => b = b

Notazione

Per dire che f è una funzione da A a B si usa la seguente notazione −→ f A B f : A B

f è univoca ⊆ × f A B, D(f ) = A, f

Insieme dei numeri reali

(La struttura) somma, prodotto e relazione d'ordine ·, ≤) (R, +, +

7 −→ (x, y) x + y

· 7 −→ · (x, y) x y

0.1 I numeri reali

5

Le proprietà che caratterizzano R sono le seguenti: ·, ≤) (R, +,

Commutativa ∀ x, |y R, x + y = y + x xy = yx

Associativa |(x + y) + z = x + (y + z) (xy)z = x(yz)

Distributiva x(y + z) = xy + xz

Tale che tale che elemento neutro ∃ 0 ∈ ∃ 1 ∈ · x + 0 = x | x 1 = x R R

∀ ∈ | 6 ∈ 1 = 0 ∀ R R elemento inverso

∀ x ∈ ∈ | ∀ x ∈ 6 ∈ x = 0 ∃ zR ∃ y R R, R −1 1

− x |xz x + y = 0 y = = 1 z = x = x

Gruppo commutativo (R, +) gruppo commutativo − ·) (R 0, campo o corpo commutativo ·) (R, +,

è linearmente ordinato ≤) (R,

≤ ≤ ∀ z ∈ x y => x + z y + z R

≤ ≥ ≤ x y, z 0 => xz yz

è un campo ordinato ·, ≤) (R, +,

è completo ≤) (R,

Conseguenze delle proprietà caratterizzanti

Di ·, ≤) (R, +, sono unici 0, 1

L'opposto e il reciproco sono unici −1 (− x, y )

− x y = x + (− y)

x · y⁻¹ = x y

Legge di cancellazione x + z = y + z => x = y

x+z = y+z => (x+z)+(−z) = (y+z)+(−z) => x+(z+(−z)) = y(z+(−z)) => x = y

6xz = yz, z = 0 => x = y

−1 −1 −1 −1 6xz = yz, z = 0 => (xz)z = (yz)z => x(zz ) = y(zz ) => x·1 = y·1 => x = y

6 Indice

· ∈ x 0 = 0 ∀ x R

· · · · x + x 0 = x 1 + x 0 = x(1 + 0) = x 1 = x

· · x + x 0 = x => x 0 = 0

−(−x) ∈ = x ∀ x R

−(−x) x + (−x) = 0 => (−x) + x = 0 => x =−x

y(−x)y = · xy + (−x)y = (x + (−x))y = 0 y = 0

−xy(−x)y =

(−x)(−y) = xy

−1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 · · · · · · (x y)(x y ) = x y y x = x x = 1 => x y = (xy)

· x x z ∀ z 6= = 0

· y y z

Notazione

≤ ≤ x y <=> y x ≥ −x ≤ x 0 => 0

≥ ≥ ≥ −x −x ≤ x 0 => x + (−x) 0 + (−x) => 0 => 0

≥ −x ≤ −y x y =>

8> 2 ≥ ≥ x 0 => x 0

<2 ≥ ∈ ∈ x 0 ∀ => xR R

> 2 2: ≤ −x ≥ ≥ ≥ x 0 => 0 => (−x) 0 => x 0

Notazione ≥ 6x < y <=> x y; x = y

26 ≥ 1 > 0, 1 = 0, 1 = 1 0 => 1 > 0

−1 −1 · ≤ · ≤ x > 0 <=> x > 0 => x x x 0 => 1 0

0.2 Estremi di un sottoinsieme di R

7

Allora per assurdo −1 ≤ x > 0; x < 0 1 0, ma è assurdo

≤ ≥ ≥ x y, z y => xy xy

8> −1 −1 −1 · x > 0 => x > 0 => x (xy) > 0 x => y > 0

<6xy > 0 => x, y = 0 = >: x < 0

8> x > 0 e y > 0

< xxy > 0 <=> > 0

<=>> y: x < 0 e y < 0

Campo linearmente ordinato e completo ·, ≥) (R, +,

≥ ≥ ∀ z ∈ x y <=> x + z y + z R

≥ ≤ ≥ x y, z 0 => xy yz

0.2 Estremi di un sottoinsieme di R

Definizione (maggiorante, minorante)

Sia un sottoinsieme di R e sia ⊆ ∈ A xR (A R) R

Si dice che x è un maggiorante di A se ≥ ∈ ≤ x A a x ∀ a A, x a

Si dice che x è un minorante di A se ≤ ∈ ≥ x A a x ∀ a A, x A

Definizione (massimo e minimo)

Sia A ⊆ R e sia x ∈ R. Si dice che x è il massimo di A se:

• ∈ 1) x A
• ≥ ∈ 2) x a ∀ A

Si dice che x è il minimo di A se:

• ∈ 1) x A
• ≤ ∀ ∈ 2) x A

Unicità del massimo e del minimo

8 Indice

Teorema

Se A ha massimo, allora questo è unico.

Se A ha minimo, allora questo è unico.

Notazione

Massimo di A max A = A

Minimo di A min A = A

Siano entrambi minimi di A, dimostriamo che 0 ∈ x, x A x =

Dimostrazione. R 0x

Infatti: , dove sono maggioranti allora 0 0 0 0 ≥ ∈ ≥ ∈ x x A x x A x, x x = x

Definizione (estremo superiore, estremo inferiore)

Sia A un sottoinsieme di R e sia ∈ A λ λ R R.

Si dice che λ è l'estremo superiore di A se è un maggiorante di A ed è il minimo dei maggioranti di A.

In altri termini: λ := sup A

• ≥ ∀ x ∈ 1) λ x A
• ∈ ≥ ∀ x ∈ ≥ 2) µ µ x, A => µ λ R,

Analogamente, un numero reale λ si dirà estremo inferiore di A:

λ := inf A

• ≤ ∀ x ∈ 1) λ x A
• ∈ ≤ ∀ x ∈ ≤ 2) µ µ x, A => µ λ R,

Osservazione:

Sia A un sottoinsieme di R dotato di massimo. Allora il massimo di A = sup A.

Sia A un sottoinsieme di R dotato di minimo. Allora il minimo di A = inf A.

Infatti: sia ∈ λ = max A 1) λ A allora: ≥ ∀ x ∈ 2) λ x A

Sia ora ne verrà che ∈ ≥ ∀ x ∈ ∈ ≥ µ µ x A, λ A, µ λ R,

In definitiva λ è un maggiorante e tra i maggioranti il più piccolo ⊆ ∈ A λ = sup A, λ A => λ = max A R,

Definizione (insiemi limitati superiormente o inferiormente)

Sia A ⊆ R. Si dice che A è limitato superiormente se ha almeno un maggiorante, precisamente se ∃ x ∈ R : x ≥ a ∀ a ∈ A.

Sia A ⊆ R. Si dice che A è limitato inferiormente se ha almeno un minorante, precisamente se ∃ x ∈ R : x ≤ a ∀ a ∈ A.

Proprietà di completezza di R

Differenza tra R e Q.

Ogni sottoinsieme di R limitato superiormente ha estremo superiore.

Ogni sottoinsieme di R limitato inferiormente ha estremo inferiore.

0.3 Insiemi numerici

Notazione

Insieme numeri naturali = N

Insieme numeri interi = Z

Insieme numeri razionali = Q

Insieme numeri reali = R

⊆ ⊆ ⊆ N Z Q R

6 6 6 = = =

0.3.1 Numeri naturali

Definizione (insieme induttivo)

Sia I un sottoinsieme di N, si dice che I è induttivo se:

• ∈ 1) 1 I
• ∈ ∈ 2) x I => x + 1 I

10 Indice

Osservazione cruciale: N è induttivo.

Infatti: allora induttivo ∈ ∈ ∈ 1 1 <=> 1 I ∀ I N N

∈ ∈ x => x + 1 N N

Induttivo induttivo ∈ ∈ ∀ I ∈ ∀ I ∈ x => x I, => x + 1 I, => x + 1 N N

N è un insieme induttivo ed è contenuto in ogni altro insieme induttivo.

Osservazione: fra 1 e 2 non vi sono altri numeri naturali.

Perché 6 ∈ 6 ∈ 6 ∈ 0 0 I => 0 N N

1 \= I N I induttivo

Osservazione: sia M ⊆ N tale che ∈ ∈ ∈ ⊇ M 1 M n M n + 1 M M N = M N

Principio d'induzione matematica

Disuguaglianza di Bernoulli

Dimostrare che n ≥ ∀ x ∈ ≥ −1, ∀ n ∈ D(n) = (1 + x) 1 + nx x R, N vera

≥ N = 1 => 1 + x 1 + x

Dimostrazione. 2 ≥ ≥ −1 N = 2 => (1 + x) 1 + 2x ∀ x

Allora quindi è vera 2 ≥ x 0

Uso il principio d'induzione matematica, quindi se D(n) è vera allora D(n+1) è vera.

n+1 ≥ ∀ x −1 (1 + x) 1 + (n + 1)x

>n+1 n 2 ≥ ≥ (1+x) = (1+x) (1+x) (1+nx)(1+x) = 1+(n+1)x+nx 1+(n+1)x

0.4 Insieme dei numeri interi

11

Allora: n+1 ≥ (1 + x) 1 + (n + 1)x

Poniamo: n ∈ ≥ −1 M = n + x) 1 + nx ∀ x > N |(1, inoltre ⊆ ∈ M I M N

Se allora allora insieme per cui la disuguaglianza ∈ ∈ n M (n + 1) M M = N è vera.

Principio d'induzione matematica

\ ∈ ∈ ∀ I ∈ := I|x <=> x I, µ N N I

∈ µ {1, = 2, 3, ..., n, n + 1, ...} N famiglia di tutti gli'insiemi induttivi µ =

Osservazione: è induttivo perché contenuto in tutti gli insiemi ⊆ M M => M = N, N induttivi.

Sia P(n) una proprietà significativa in N, supponiamo: P(1) è vera.

Allora l'affermazione P(n) è vera ∀ n ∈ N se:

• P(1) è vera.
• P(n) => P(n + 1)

Poniamo {n ∈ N | P(n) è vera} M =

Dimostrazione. N

Allora: inoltre: (è vera) ⊆ ∈ M 1 M P(1) N;

(è vera) allora è vera ∈ ∈ n M P(n) P(n + 1) => n + 1 M

Per il teorema precedente M = N.

0.4 Insieme dei numeri interi

∪ {0} ∪ := (−N) Z N

12 Indice

−N {−n|n ∈ N} :=

{0, ±1, ±2, ±n} = ..., Z

0.5 Insieme dei numeri razionali

¨ «p |p ∈ ∈ := Q Z, Q N q

Teorema

( )( ) 6 − 6 ∅ = = Q R R Q

∃ ∈ 1) x > 0 : x = 2 R, 2

∈ 6 ∈ 2) x > 0, x = 2 => x R. x Q

Dimostrazione.

Ragioniamo per assurdo 2 ∃ x ∈ => x > 0 : x = 2 Q,

Allora esistono p q ∈ p, q : x = p q N xzx ∀ z = > 0 y yz

Allora: ‚ Œ 2 2 p p 0 2 2 2 x = 2 => = 2 => = 2 => p = 2q allora p è pari 2q q2 2 2

− − − p = 2k 1 => p = 4k + 1 4k = 4k 4k + 1

Pertanto 2p è pari (p è pari).

In altri termini (k opportuno) ∈ p = 2k k N

Ne viene che q è pari 2 2 2 2 2 4k = 2q => 2k = q => q => q

Ma questo è assurdo perché p e q devono essere pari, ma sono primi tra loro, quindi è impossibile nessun numero razionale al quadrato da 2.

=> 2 1)

Dimostrazione. 2 ∃ λ ∈ λ > 0 : λ = 2 R,

0.5 Insieme dei numeri razionali

13

Poniamo 2 {x ∈ A = > 0, x < 2} R |x

( ) 6 ∅ ∈ 1) A = <= 1 A

è limitato superiormente (ha almeno un maggiorante ∃ y ∈ ≥ 2) A => : y R)

∈ x ∀ x A 2 2 2 2

∈ x A => x > 0, x < 2 < 4 = 2 => x > 0, x < 2 => x < 2

∈ x < 2 ∀ x A 2 2

∈ a, b a, b > 0, a < b <=> a < b R,

2 2 2 2 − − − a < b <=> b a > 0 <=> (b a)(b + a) > 0 <=> b a > 0 <=> b > a

Essendo limitato superiormente, per l'assioma di completezza di R, A ⊂ 6 ∅, A A = A R, ≤) (R, sup A R esiste estremo in R.

Poniamo λ = sup A.

Dimostriamo: siccome λ è un maggiorante di A, allora ≥ 1) λ > 0 => λ A λ 1 ∈ 1 A => λ > 0

Per assurdo oppure 2 2 2 26 2) λ = 2 => λ = 2 => λ < 2 λ > 2

Se tale che 2 2 ∃ λ < 2 => > 0 (λ + ) < 2

Se tale che 2 2 ∃ −λ > 2 => > 0 < λ : (λ ) > 2

Ne viene che : 2 ∈ ≤ ≤ ≤ λ+ > 0, (λ+) < 2 => λ+ A => λ+ sup A = λ => λ+ λ => 0

2 2 2 2 ∀ x ∈ ∀ x ∈ λ− > 0, (λ−) > 2 > x A => λ− > 0, x > 0, (λ−) > x => (λ− > x, A

− ≥ − ≥ − ≥ ≤ => λ sup A = λ => λ λ => 0 => 0)

√2 6 ∈ 2 => λ λ = 2 => λ = Q

2 2 ∃ λ < 2 => > 0 : (λ + ) < 2

2λ > 0; > 0; < 1 => < 2 2 2 2

(λ + ) = λ + + 2λ < λ + + 2λ < 2

14 Indice

2 −2 λ 2 2λ + + 2λ < 2 => λ + (1 + 2λ) < 2 <=> (1 + 2λ) < 2 <=> < 1 + 2λ

Scegliamo: ¨ « 22 −− 2 λ 2 λ > 0 0 < < min 1, > 0, < 1, < 1 + 2λ 1 + 2λ

2 2 ∃ −λ > 2 => > 0, < λ, (λ ) > 2

2 2 2 2 − − ≥ − (λ ) = λ + 2λ λ 2λ > 2 2 −λ 2

2 − −λ 2λ > 2 <=> λ 2 > 2λ <=> (λ > 0) => < 2λ

Allora basta scegliere tale che 2