Analisi matematica – calcolo differenziale – Appunti

Indice II

• Coseguenze del teorema di Lagrange
• Teoremi di de l’Hospital
• Calcolo differenziale
• La formula di Taylor

Matematica Generale, a.a. 2008/09

• Natura dei punti stazionari

Michele Longo

• Funzioni concave e convesse
• Punti di flesso

Università Cattolica di Milano

Facoltà di Economia

• Primitive
• Metodi di integrazione
• Integrazione per scomposizione
• Integrazione per parti
• Integrazione per sostituzione
• Integrazione di alcune funzioni razionali

Indice I

• Derivata
• Rapporto incrementale
• Funzione derivabile
• Interpretazione geometrica della derivata
• Continuità e derivabilità
• Derivata destra e sinistra
• Punti di non derivabilità
• Funzione derivata e derivate successive
• Algebra delle derivate
• Derivata della funzione composta
• Derivata della funzione inversa
• Differenziale
• Teoremi fondamentali del calcolo differenziale
• Teorema di Fermat
• Teorema di Rolle
• Teorema di Lagrange
• Teorema di Cauchy

Derivata

Definiamo Δx := h l’incremento della variabile indipendente; mentre, la quantità, −h) := f (x + h) f (x )Δf (x 0 0 0 rappresenta l’incremento di f (x) corrispondente ad un incremento Δx = h della variabile indipendente.

Osservazione

Se poniamo x := x + h, il rapporto incrementale (*) può anche 0 scriversi −f (x) f (x )0 (**)−x x 0

Rapporto incrementale

Esempio ⎧ Sia x < Definizione ⎨ se x 22→ R, . Sia f : (a, b) chiamiamo rapporto incrementale di f in 5 se x = 2 f (x) = ⎩∈ − >(a, b) la quantità x 3 x se x 2 x0 − = 2 è: Allora il rapporto incrementale di f in x+ h) f (x )f (x 00 0 , (*)h∈ + h (a, b). con h = 0 e tale che x 0

Per esempio, il rapporto incrementale della funzione √ 2f (x) = x + 1 nel punto x = 3 è dato da: 0

Funzione derivabile

f (x +h)−f (x )0 0 Se ora facciamo tendere h a 0, il coefficiente angolare Definizione h→ R ∈ di r tenderà, se f è derivabile in x , a f (x ). Diremo anche che la Sia f : (a, b) e x (a, b). Diciamo che la funzione f è h 0 00 “tende” alla “retta limite” r di equazione retta secante r se esiste, finito, il limite derivabile in x h0 − − −f (x + h) f (x ) f (x) f (x ) ) + f (x ) (x x )y = f (x 0 0 0 . 0 0 0(x ) := lim = limf 0 −x→xh x xh→0 00 (x ) si chiama derivata di f in x . Il numero f 0 0

Diciamo che f è derivabile in (a, b) se lo è in ogni punto ∈x (a, b). si indica anche con i simboli La derivata di f in x 0 df, .) )Df (x (x0 0dx

Interpretazione geometrica della derivata

Retta tangente Il rapporto incrementale rappresenta il coefficiente angolare della, secante il grafico di f nei punti (x f (x )) e retta rh 0 0 Definizione + h, f (x + h)). L’equazione di r è (x h0 0 Se f è derivabile in x , la retta di equazione 0−f (x + h) f (x )0 0 .− −) + )(x xy = f (x ) + f (x ) (x x )y = f (x0 0 0 0 0h ,è detta retta tangente al grafico di f nel punto (x f (x )).0 0

Osservazione

Abbiamo definito la retta tangente usando la derivata. Perciò, è il coefficiente angolare della l’affermazione “la derivata di f in x 0 , f (x ))” è vera, ma retta tangente al grafico di f nel punto (x 0 0 non è la definizione di derivata bensì un modo di interpretarla geometricamente.

Significato geometrico del segno della derivata

x x→3. f (x) = e f (x) = ex+h x h− −e e e 1x xlim e= lim = eh hh→0 h→0 1→ >4. f (x) = ln x f (x) = , x 0x x+h− lnln (x + h) ln x xlim = limh hh→0 h→0 hln 1 + 1 1x= lim =h x xh→0 x

Derivate di alcune funzioni elementari

→5. f (x) = sin x f (x) = cos x Le formule di prostafèresi permettono di scrivere →1. f (x) = c f (x) = 0 (c funzione costante) − hsin (x + h) sin x 1 h2 sin= cos x +− −f (x + h) f (x) c c h h 2 2lim 0 = 0= lim = lim h hh→0 h→0 h→0 sin (h/2) h= cos x +h/2 2

e quindi →2. f (x) = ax + b f (x) = a (retta) −sin (x + h) sin x sin (h/2) h− − lim = lim cos x +f (x + h) f (x) a (x + h) + b (ax + b) h h/2 2h→0 h→0 lim = limh hh→0 h→0 = cos xah= lim = ahh→0 → −6. f (x) = cos x f (x) = sin x

Esempio (retta tangente)

Calcoliamo la retta tangente al grafico di f (x) = ln x nel punto di = 1. Allora, ascissa x 0 Una funzione può essere continua in un punto senza essere ivi f (x ) = ln 1 = 0 |x| derivabile. Per esempio, la funzione f (x) = è continua ma non 0 1 = 0. derivabile in x ⇒ 0 f (x) = (x ) = 1f 0x

e dunque −) + f (x ) (x x ) =y = f (x 0 0 0⇒

Derivabilità e continuità

Derivata destra e sinistra

Definizione Teorema → R ∈ Se f : (a, b) è derivabile in x (a, b) allora è continua in x . 1. Diciamo che la funzione f è derivabile da destra in x se 0 0 0 esiste, finito, il limite

Dimostrazione. −f (x + h) f (x ) 0 0f (x ) := lim0+ hh→0 +−lim f (x) = lim f (x) f (x ) + f (x )0 0x→x x→x0 0 se2. Diciamo che la funzione f è derivabile da sinistra in x 0−f (x) f (x )0 − esiste, finito, il limite(x x ) + f (x ) = f (x )= lim 0 0 0−x→x x x 00 −f (x + h) f (x ) 0 0f (x ) := limpoiché − 0 h−h→0−f (x) f (x ) 0 .lim = f (x )0− x→x x x (x ) e f (x ) si chiamano, rispettivamente, derivata Il numeri f00 −0 0+ .destra e sinistra di f in x 0

Punti di non derivabilità

Proposizione Se la funzione f è continua ma non derivabile in x , il limite, finito 0→ R ∈ La funzione f : (a, b) è derivabile in x (a, b) se e solo se è 0 o infinito, (eventualmente da destra e/o da sinistra) del rapporto (x ) = f (x ). In tal caso ivi derivabile da destra e da sinistra e f −0 0 può darci delle informazioni sul incrementale di f in x+ 0 si ha comportamento della funzione (e del suo grafico) in un intorno di .(x ) = f (x ) = f (x )f −0 0 0 .x+ 0

Definizione

Se f è definita nell’intervallo chiuso e limitato [a, b], la derivata di f in x = a è la derivata destra, mentre la derivata di f in x = b è la derivata sinistra.

Derivata infinita

Esempio (tangente verticale)

√La funzione f (x) = x non è derivabile (da destra) in x = 0.0 Infatti, −f (x + h) f (x ) 0 0(x ) = limf 0+

Introduciamo le seguenti convenzioni: se f è continua in x e hh→0 +0 √√ −0+ h 0 1− √f (x + h) f (x ) = +∞= lim = lim0 0 − ∞)lim = +∞ (oppure hh→0 h→0+ + hhh→0 Tuttavia, la retta r secante il grafico di f nei punti (0, 0) e h−∞) √è +∞ (oppure e scriviamo diciamo che la derivata di f in x 0 h, h “tende” alla “retta limite” x = 0 parallela all’asse delle − ∞)(x ) = +∞ (oppure f ordinate (parliamo di punti con tangente verticale)0 Analoghe convenzioni valgono per le derivate destra e sinistra

Punti angolosi

Flessi a tangente verticale

Diciamo che (x f (x )) è un punto di flesso a tangente verticale 0 0 e per il grafico della funzione f se essa è continua in x 0, Diciamo che (x f (x )) è un punto angoloso per il grafico della 0 0 (x ) = f (x ) = +∞ (cioè f (x ) = +∞)f, esistono le derivate destra e funzione f se essa è continua in x − 0 0 00 + e sinistra di f in x 0 oppure (x ) = f (x )f− 0 0+ −∞ −∞ −∞)Una delle derivate può anche essere +∞ o (x ) = f (x ) = (cioè f (x ) =f− 0 0 0+

Cuspidi

Esempio

Infine, sono punti di non derivabilità quelli in cui almeno una delle derivate destra o sinistra non esiste. Per esempio,, Diciamo che (x f (x )) è una cuspide per il grafico della funzione 0 0 ⎧e f se essa è continua in x ⎨ 10 ⎩ x cos se x = 0xf (x) = −∞ ⎨(x ) = +∞ e f (x ) =f ⎩− 0 0+ 0 se x = 0 oppure = 0 poiché non è derivabile in x 0−∞ (x ) = +∞(x ) = e ff− 0 0+ 1 −h cos 0 1 h (0) = lim cos= lim =f h hh→0 h→0k

Funzione derivata

Funzioni di classe C

Definizione Definizione (funzione derivata) k∈ N.Sia I un intervallo e k Indichiamo con C (I ) l’insieme (o la → RSe f : (a, b) è derivabile in (a, b), la funzione che associa ad classe) di tutte le funzioni derivabili k volte in I con derivata ∈ (x), viene detta ogni x (a, b) la derivata di f in x, cioè f k-esima continua; più brevemente diremo l’insieme delle funzioni k .funzione derivata di f e si indica con il simbolo f volte derivabili con continuità.

Derivate successive

Algebra delle derivate

Definizione (derivate successive) Teorema → RSe f : (a, b) è derivabile in (a, b) e la funzione derivata f è a , → R ∈ Siano f g : (a, b) derivabili in x (a, b). Allora le funzioni ∈ f sua volta derivabile in un punto x (a, b), chiamiamo derivata ± (g (x) = 0) sono derivabili in x e si ha: f g , fg e g in x e la indichiamo con uno dei seguenti simboli: ±± (x) = f (x) g (x)1. (f g )2d f , , .2 2. (fg ) (x) = f (x) g (x) + f (x) g (x)(x) D f (x) (x)f 2dx −f (x) g (x) f (x) g (x)f Si può ripetere il ragionamento sulla funzione derivata seconda e , (g (x) = 0)(x) =3. 2g [g (x)] parlare di derivata terza e così via. In questo modo si definisce il concetto di derivata n-esima e di funzioni derivabili n volte in un punto. La notazione per la derivata n-esima è la seguente: ∈ RIn particolare, se c è una costante e f è derivabile allora n fd , , .(n) (n)(x) D f (x) (x)f (x)D (cf (x)) = cfndx

Derivata della funzione composta

Regola della catena

Esempio n n−1→ , ∈ Z1. f (x) = x f (x) = nx n Teorema → R, → R ∈Siano f : (a, b) g : (c, d) e g (x) (a, b) per ogni Applichiamo ripetutamente la 1 e la 2 del teorema precedente. ∈ ∈x (c, d). Se g è derivabile in x (c, d) e f è derivabile in ∈g (x) (a, b), allora la funzione composta 1→ , > >2. f (x) = log x f (x) = a 0, a = 1, x 0 ◦a (f g ) (x) := f (g (x))x ln a è derivabile in x e si ha Basta applicare la regola 2 del teorema precedente all’identità ◦ln x (x) = f (g (x)) g (x)(f g )x =log a ln a1

Esempio

2→3. f (x) = tan x f (x) = = 1 + (tan x)2(cos x) x x→ > 1. f (x) = a f (x) = a ln a, a 0, a = 1xsin Se poniamo f (x) = tan x = , allora xcos xx a x aln lnL’identità f (x) = a = e = e e il teorema precedente −cos x cos x sin x (− sin x) implicano f (x) = 2 x a x(cos x) ln(x) = e ln a = a ln af1 2= = 1 + (tan x)2(cos x) α α−1→ αx , α ∈ Rf (x) =2. f (x) = x αα x α xln lnL’identità f (x) = x = e = e e il teorema precedente

Esercizio

Implicano Calcolare le funzioni derivate delle seguenti funzioni: x α αsin x1. f (x) = 2x + e α x α α−1αxlnf (x) = e = x =x cos x x x2. f (x) = xe

Esempio

−1La continuità di f implica che x +1 . Allora Sia f (x) = ln 2x + 3 −1 −1→ →(y ) f (y ) = x se (e solo se) y yx = f 0 0 0× − ×1 1 (2x + 3) (x + 1) 2 × e dunque f (x) = x+1 2(2x + 3)2x+3 −1 −1−f (y ) f (y )2x + 3 11 −1 0× f (y ) := lim= = 0 −y→y2 y yx +1 (2x + 3) (x + 1)(2x + 3) 00 11= lim =− x→x f (x) f (x ) f (x )0 00

Esercizio

−x x 0Calcolare le funzioni derivate delle seguenti funzioni: −1 in y := f (x ) è il reciproco della derivata Cioè, la derivata di fx 0 0sin1. f (x) = e di f in xx 0cos f2 ln (x)2. f (x) = 1 + x (si usi l’identità f (x) = e )

Derivata della funzione inversa

Derivata della funzione inversa Se f è una funzione continua e invertibile nell’intervallo I , allora−1 è continua nell’intervallo J := f (I ). Se poniamo y := f (x),f −1 −1(y ) e il rapporto incrementale di f in y := f (x ) allora x = f 0 0 può essere scritto come segue:−1 −1 −1 −1− −ff (y ) f (y ) (f (x)) f (f (x ))0 0=− −y y f (x) f (x )0 0−x x 10= = −− f (x) f (x )f (x) f (x ) 00 −x x 0

Teorema

Se poi vogliamo la stessa variabile indipendente in ambo i membri → RSia f : (a, b) continua e invertibile. Se f è derivabile in −1∈ (a, b) e f (x ) = 0, allora la funzione inversa f è derivabilex 1. sostituiamo la y con f (x) e otteniamo0 0= f (x ) e si ha in y 0 0 1−1 (f (x)) = ;f f (x)1−1 (y ) = (*)f 0 f (x ) −10 (y ) e otteniamo2. sostituiamo la x con f

Osservazione

−1 ,(y ) =f −1 f (f (y ))−1 Nella formula (*), gli argomenti delle funzioni f e f sono −1 ovvero, usando la sol