Analisi Matematica

Teorema di esistenza del limite per funzioni monotone

Sia I intervallo, f: I -> R monotona, x₀ ∈ I.

Se x₀ è punto di accumulazione da destra per I, allora lim_{x -> x0⁺} f(x) ∈ R.

Inoltre lim_{x -> x0⁺} f(x) = { inf_{x ∈ I^{x > x0}} f(x) ≥ f(x₀) se f è crescente { sup_{x ∈ I^{x > x0}} f(x) ≤ f(x₀) se f è decrescente

Se x₀ è punto di accumulazione da sinistra per I, allora lim_{x -> x0^-} f(x) ∈ R.

Inoltre lim_{x -> x0^-} f(x) = { sup_{x ∈ I^{x < x0}} f(x) ≤ f(x₀) se f è crescente { inf_{x ∈ I^{x < x0}} f(x) ≥ f(x₀) se f è decrescente

Teorema di esistenza del limite per funzioni monotone

Sia I &subset; R intervallo, f: I → R monotona, x₀ ∈ I.

Se x₀ è punto di accumulazione da destra per I, allora ∃ lim_{x → x0⁺} f(x) ∈ R.

Inoltre lim_{x → x0⁺} f(x) = {inf_{x ∈ I} f(x) ≥ f(x₀) se f è crescente sup_{x ∈ I} f(x) ≤ f(x₀) se f è decrescente

Se x₀ è punto di accumulazione da sinistra per I, allora ∃ lim_{x → x0^-} f(x) ∈ R.

Inoltre lim_{x → x0^-} f(x) = {sup_{x ∈ I} f(x) ≤ f(x₀) se f è crescente inf_{x ∈ I} f(x) ≥ f(x₀) se f è decrescente f crescente f decrescente

Osservazione

Dai precedenti esempi si osserva che, in generale, se f è monotona non è detto che in un punto x₀ &in; I sia continua, né da destra né da sinistra.

Infatti nei grafici sopra si vede che potrebbe accadere nel caso di funzioni crescenti che lim_{x → x0^-} f(x) < f(x₀) < lim_{x → x0⁺} f(x).

A causa di questo salto, si ha anche che l'insieme delle immagini f(I) non è un intervallo, infatti tutti i valori fra lim_{x → x0^-} f(x) e lim_{x → x0⁺} f(x) non sono in f(I), fatta eccezione per f(x₀).

Criteri di continuità per funzioni monotone su intervalli

Sia I⊂ℝ intervallo ed f:I→ℝ

• F è monotona
• F(I) è un intervallo

Allora f è continua.

Dim. (facoltativa)

Supponiamo, per fissare le idee, f crescente in I.

Poniamo f(I)= che, per ipotesi, è un intervallo.

Proviamo che se x₀∈I è un punto di accumulazione sia da destra che da sinistra per I, allora ∃ lim_x→x0⁺ f(x)=f(x₀) ∧ ∃ lim_x→x0^- f(x)=f(x₀) cioè f è continua in x₀ sia da destra che da sinistra.

Siccome f è crescente, per il teorema di esistenza del limite per funzioni monotone, ∃ lim_x→x0⁺ f(x) ≥ f(x₀), inoltre lim_x→x0⁺ f(x)=inf_x∈I f(x). Poniamo l̅=lim_x→x0^- f(x).

Per assurdo _{x -> x₀ ⁺}lim f(x) > f(x₀), cioè l̅ = f(x₀). 204

Siccome l̅ = inf_{x ∈ I, x > x0} f(x), si ha che

• ∀ x ∈ I, x > x₀: l̅ ≤ f(x)
• ∀ ε > 0 ∃ x̅ ∈ I, x̅ > x₀ tale che f(x̅) < l̅ + ε.

Consideriamo x̃ ∈ I, x̃ > x₀. Per (2), l̅ ≤ f(x̃).

x₀ 0) x̃ ∈ I ⇒ f(x̃) ∈ f(I) = J

Per la caratterizzazione degli intervalli, siccome J è un intervallo e f(x₀) e f(x̃) sono due suoi punti, si ha [f(x₀), f(x̃)] ⊂ J (1)

Perché l̅ > f(x₀) e l̅ ≤ f(x̃), si ha che l̅ ∈ [f(x₀), f(x̃)] e quindi, per (1), l̅ ∈ J. Sempre per la caratterizzazione degli intervalli ∏f(x₀), l̅⌠ ⊂ J (2)

Considero y ∈ [f(x₀), l̅[, cioè f(x₀) (*) < l̅. Per (2), y ∈ J = f(I), dunque ∃ x < I tale che y = f(x).

Ci sono 2 possibilità

• X > x₀ ed allora, per 1), l ≤ f(x) = y che contraddice il fatto che per (#), y < l
• X ≤ x₀ ed allora, siccome f è costante, y = f(x) ≤ f(x₀) che