Analisi matematica - Appunti

Riepilogo concetti teorici e pratici

7) Obiettività

Se: 1) S<=alpha per ogni alpha appart.

1) Teorema sulla continuità

Sia ha quando una funzione è a R; 2) per ogni eps. >0 esiste alpha.

Contemporaneamente iniettiva e appart. a A tale che (da adesso lo f:XR, XcR, x°cX° (ovvero punto suriettiva indico con :) A<=alpha<s+eps.

Interno al dominio), f derivabile. L'estremo inferiore non è altro che il ovvero fcC^1(X) allora f è anche massimo dei maggioranti.

Continua ed anche la sua derivata prima è continua.

8) Definizione di successione

f: NR, NcR.

11) Insieme limitato: L'unico limite che posso calcolare è se un insieme A è lim. sia inf. che

2) Derivabilità: per n+ inf. sup. ed un n° reale a appartenente a.

Se fcC^1(X) allora f è continua e la in Z " " " " " " " tale insieme allora è di massimo o f'(x): l'unico punto di discontinuità n+/-inf. minimo allora ci si rifà al teorema di Weierstrass ipotizzando che la può essere quello di seconda specie.

In Z gli unici punti di accumulazione Weielstrass ipotizzando che la sono +/- inf. funzione si continua ovvero fcC°(A).

3) Intorno

Sia N sia Z sono radi ovvero formati e che la funzione sia definita su un.

Si chiama intorno di un numero reale da tutti punti isolati dunque per compatto o intervallo chiuso o finito a un qualunque intervallo (a-r, definizione in un punto isolato la restrizione di R.

a+r) di centro a e semi ampiezza r e si funzione è continua.

Indica con U(a). Le successioni sono un caso.

12) Maggiorante

Gli intorni godono della proprietà di particolare di funzione reale di KcR e K>=X dove XcR allora K è separazione degli intorni stessi dunque variabile reale in quanto ci si maggiorante se >= di qualsiasi l'intorno di x° intersecato l'intorno di comporta come con esse, tranne elemento dell'insiem XcR.

x1 è uguale all'insieme vuoto. tranne che nel calcolo dei limiti.

Se trovo un maggiorante ne trovo ciò suddetto è alla base della le successioni sono definite in N ed infiniti.

Dimostrazione del teorema di unicità hanno valori in R.

Del limite. Le funzioni reali sono definite in R (se

13) Minorante

a due variabili in R^2R) ad hanno KcR e k<=0 e XcR allora K è.

4) Intervallo

Ve ne sono di 4 tipi, aperti, chiusi, aperti a destra e chiusi a sinistra, aperti a sinistra e chiusi a destra.

L'intervallo è un segmento di retta R.

Che varia è dovuto al fatto che l'unico minorante <= di qualsiasi elemento dell'insieme XcR.

Se trovo un minorante ne trovo infiniti.

5) Iniettività

Si verifica con il test di iniettività: tali funzioni sono tutte iniettive: y=x, y=e^x, y=x^3, y=src(scr vuol dire sotto radice cubica e srq vuol dire sotto radice quadrata) x^2,;

Iniettività: se x1 è diverso da x2 allora f(1) è diverso da f(2) ovvero a punti distinti presi sul dominio dunque non ha senso parlare di intorno corrispondono immagini distinte nel codominio.

Iniettività: se f(x1)=f(x2) allora x1 è uguale a x2.

Una funzione iniettiva è: la funzione identità ovvero f(x)=x.

9) Estrema superiore

Sia a un insieme di numeri reali non vuoto e limitato tale cioè che esista un beta appartenente a R maggiore di tutti gli elementi di A. il valore S superiore del'ins. X se è il minimo dei appartenente a R si dice estremo superiore di A(S=Sup A) se: 1) s>= alpha per ogni alpha appartenente ad nell'ins. X è massimo assoluto e ci A; 2) per epsilon strettam. Maggiore di si rifa sempre al teorema di 0 esiste alpha appart. ad A: S-eps<alpha<S.

Estremo superiore non è altro che il minimo dei maggioranti.

14) Insieme superiormente limitato

Si ha quando l'ins. XcR ammette almeno un maggiornate;

15) Insieme inferiormente limitato

Si ha quando l'ins. XcR ammette almeno un minorante.

16) Insieme limitato

Si ha quando l'ins. XcR ammette almeno un maggiorante e un minorante.

17) Estremo superiore

Date le condizioni: 1)XcR, 2)x diverso da ins. Vuoto; 3) X lim. superiorm. Allora ScR si dice estremo superiore del'ins. X se è il minimo dei maggiorantis=Sup X se poi l'estremo superiore è compreso nell'ins. X è massimo assoluto e ci si rifa sempre al teorema di Weielstrass (sempre sotto le sue condizioni).

18) Estremo inferiore

Date le stesse condizioni che valgono per l'estremo superiore ScR si dice estremo inferiore dell'ins. X se è il massimo dei minoranti S=inf X se poi l'estremo superiore è compreso nell'ins. X è minimo assoluto.

6) Suriettività

La ottengo se x1 è diverso da x2 allora f(x1)= (fx2) ovvero presi punti distinti sul dominio ottengo immagini uguali.

Tramite il test di iniettività verifico che una funzione è suriettiva se tracciando delle rette parallele all'asse delle ascisse (ovvero il test di iniettività) ottengo che queste intersecano il grafico (che si indica con G(f)) della funzione almeno in due punti.

Una funzione suriettiva esaurisce l'insieme immagine infatti vale la seguente: a incluso deb(lo indico con e lim. inferiormente tale cioè che massimo dei minoranti S=inf X se c)in R e non a=R.

Una funzione suriettiva è: f(x)=x^2.

10) Estremo inferiore

Sia A un insieme di n° reali non vuoto esista un elemento minore di tutti gli poi l'estremo superiore è compreso elementi di A. il valore S appart. a R si nell'ins. X è minimo assoluto.

Dice estremo inferiore di A(S=infA).

19) Insieme illimitato superiormente

Esso si indica nel seguente modo: S Sup X=+ inf.

20) Insieme illimitato inferiormente

Esso si indica nel seguente modo: S inf X=-inf.

21) Definizione di estremo superiore

Dato ScR e S>=x, per ogni x appart. X per ogni eps. >0 esiste x* appart. a X: s-eps.<x*, ovvero se tolgo qualcosa (eps.) non è più maggiornate.

22) Equipotenza o uguale cardinalità

Se ad ogni elemento di N corrisponde sempre un elemento di Z i due insiemi hanno uguale cardinalità.

N,Z,Q, sono tutti è tre numerabili dunque hanno uguale cardinalità.

R non è numerabile.

23) Potenza del continuo

Se preso un qualsiasi insieme esso ha la stessa numerabilità di R.

24) Permutazioni semplici

Pn,k=n!

25) Permutazioni con ripetizione

P*n,k: n!/k1!*k2!*…

Si utilizza tale formula, tra le altre cosa, per calcolare il numero degli anagrammi di una parola in cui si ripetono una o più lettere.

26) Completezza di R

Ogni insieme non vuoto e limitato superiorm. Ammette in R estremo superiore e se non vuoto e lim. inf. ammette in R estremo inf; allora se l'insime è lim. sup. e lim. inf. l'insieme è limitato mentre se è lim. solo inf o solo sup quindi ho estremo sup e non inf o viceversa allora l'insieme è illimitato o limitato a destra e non a sinistra e viceversa lim a sinistra e non

27) Punto interno

Appart. ad A ed inoltre esiste un suo intorno contenuto in A.

28) Punto esterno

Un p.to a dell'ins. AcR si dice esterno ad A se non appartiene ad A ed esiste un suo intorno U(a) tale che U(a) intersecato A è diverso dall'ins. Vuoto.

29) Punto isolato

Il contrario di punto isolato è punto di accumulazione.

Un p.to a appart. ad un insieme AcR è detto isolato di A se esiste un intorno al quale non appartiene alcun elemento di A distinto da a(come per esempio in N, Z, Q e non in R).

30) Punto di frontiera

Un p.to a si dice di frontiera per l'ins. AcR se rispetto a tale ins. Non è né interno né esterno ovvero appartenga o meno ad A; ogni suo intorno contiene almeno un punto di A e un punto di R\A ……………

31) Insieme aperto

Un ins. Si dice aperto se ogni suo p.to è p.to interno.

32) Insieme chiuso

Un ins. Si dice chiuso se il complementare è aperto.

33) Insiemi sia aperti sia chiusi

Essi sono rispettivamente R e l'ins. Vuoto.

34) Punto di accumulazione

Un p.to a appart. a R è di accumulazione per l'ins. AcR se ogni suo intorno contiene almeno un p.to di A distinto da a.

Non si considera il centro dell'intorno per il calcolo dei limiti, mentre lo si considera per la studio della continuità.

Ogni p.to interno è anche di accumulazione.

37) Serie armonica

Somme da 0 a + inf di 1/(n)^alpha.

Se alpha<=1serie divergente positivamente a + inf.

Se alpha >1serie convergente.

38) Combinazioni semplici

Dn,k /K != n(n-1)……..(n-k+1)/K!=al *(n-k)! binomio di Newton.

39) Binomio di Newton

(a+b)^n=somme con n da 0 a n di ( n su k)a^k*b^n-ka

40) Coefficiente binomiale di Newton

(n su 0)b^n+(n su 1)ab^n-1+(n su 2)a^2b^n-2……….(n su n)^a^n

41) Triangolo di Tartaglia

(a+b)^n=

• n=0------------1
• n=1------- 1 1
• n=2---- 1 2 1

42) Coefficiente binomiale

(n su k)=n!/k!*(n-k)!=(n /0)= n!/n!

Per convenzione si pone 0!=1

43) Legge di evoluzione o modello ricorsivo o sistema dinamico discreto

1+2+2^2+……..2^62= somme con k da 1 a 63 di 2^k=1-2^64/1-2=(2^64-1)= progressione geometricaquando il rapporto tra i ternimi consecutivi è sempre costante il rapporto prende il nome di ragione della progressione.

44) Definizione di funzione

f(x)=y

Ovvero legame tramite la f che ad un punto preso sulle ascisse o dominio associa uno e un solo valore sulle ordinate o codominio.

Vi è dunque una relazione biunivoca.

45) Codominio

E' uguale all'insieme delle immagini;