Analisi matematica

Calcolo dei limiti

Siano a_n → l, b_n → m, l, m ∈ R.

Valgono le seguenti regole di calcolo:

a_n ± b_n → l ± m

a_n ⋅ b_n → l ⋅ m

a_n / b_n → l / m, con m  0

(b_n)^a_n → m^l, con m > 0, b_n > 0

Casi in cui l o m siano ±∞

l + ∞ → +∞

l − ∞ → −∞

+∞ + ∞ → +∞

−∞ − ∞ → −∞

+∞ − ∞ → forma indeterminata

l ⋅ ±∞ → ±∞

l / ±∞ → 0

±∞ / l → ±∞, l  0

0 / l

Successione esponenziale

Successione esponenziale aⁿ:

lim_n→+∞ aⁿ = +∞ se a > 1

lim_n→+∞ aⁿ = 0 se ∣a∣ < 1

∃ lim se a ≤ 1

Calcolo dei limiti 1

Con a > 1, a = 1 + h con h > 0.

aⁿ = (1 + h)ⁿ ≥ 1 + nh, diseguaglianza di Bernoulli.

Poiché b_n = 1 + nh → +∞, allora, per il teorema del confronto, aⁿ → +∞.

Forme indeterminate

Richiamando il caso a_n → l ∈ R ∖ {0}, siano b_n → 0.

1. Se ∃m ∈ N t.c. ∀n ≥ m, a_n / b_n > 0 ⇒ a_n / b_n → +∞.

2. Se ∃m ∈ N t.c. ∀n ≥ m, a_n / b_n < 0 ⇒ a_n / b_n → −∞.

Calcolo dei limiti 2

Regola generale

Siano:

a_n = ∑_j=0^p a_j n^j = a₀ + a₁n + a₂n² + ... + a_pn^p con a_p  0.

b_n = ∑_j=0^q b_j n^j = b₀ + b₁n + b₂n² + ... + b_qn^q con b_q  0.

Allora:

lim_n→+∞ a_n / b_n = ±∞ se p > q

lim_n→+∞ a_n / b_n = a_p / b_q se p = q

lim_n→+∞ a_n / b_n = 0 se p < q

Calcolo dei limiti 3

Se a_n → 0 e b_n è limitata, a_n ⋅ b_n = 0.

Calcolo dei limiti 4

a denominatore ed esponente n: (1 + 1/n)ⁿ = e

Dimostrazione wip: (1 + 2/n)²ⁿ = e²

Gerarchia degli infiniti

• N
• N!, aⁿ, a > 1
• N^k, k > 1

Calcolo dei limiti 5

Calcolo delle derivate

Definizione di differenziale

✒ Definizione

Sia f: R² → R, (x₀, y₀) ∈ R².

Diciamo che f è differenziabile in (x₀, y₀) se:

f(x₀ + h, y₀ + k) = f(x₀, y₀) + ∂_xf(x₀, y₀) ⋅ h + ∂_yf(x₀, y₀) ⋅ k + o(∣(h,k)∣)

Dunque:

[f(x, y) = f(x₀, y₀) + ∂_xf(x₀, y₀)(x − x₀) + ∂_yf(x₀, y₀)(y − y₀) + o(√((x − x₀)² + (y − y₀)²))]

✒ Definizione

La funzione lineare:

df(x₀, y₀) : (h, k) ↦ ∂_xf(x₀, y₀) ⋅ h + ∂_yf(x₀, y₀) ⋅ k

∇f(x₀, y₀) ⋅ (h,k)

si chiama differenziale di f in (x₀, y₀).

Calcolo delle derivate 1

Osservazioni sul piano tangente

Osservazione

Se f è differenziabile in (x₀, y₀) allora il piano tangente al grafico di f nel punto (x₀, y₀, f(x₀, y₀)) è dato da:

z = f(x₀, y₀) + ∂_xf(x₀, y₀)(x − x₀) + ∂_yf(x₀, y₀)(y − y₀)

Se non è differenziabile, non ammette un piano tangente.

Osservazione

Se f è differenziabile in (x₀, y₀) allora f è continua in (x₀, y₀) (dimostrazione diretta dalla definizione di differenziabilità).

Teorema

Sia A ⊆ R² aperto, f: A → R.

Se f ∈ C¹(A) ⇒ f è differenziabile.

Derivata direzionale

Sia (x₀, y₀) ∈ R², V = (cos θ, sin θ).

La retta passante per (x₀, y₀) e con direzione V è data da:

{ x = x₀ + t cos θ

y = y₀ + t sin θ

Calcolo delle derivate 2

✒ Definizione

Sia f: R² → R, (x₀, y₀) ∈ R², V = (cos θ, sin θ).

Chiamiamo derivata direzionale di f nel punto (x₀, y₀) lungo la direzione V:

lim_t→0 [f(x₀ + t cos θ, y₀ + t sin θ) − f(x₀, y₀)] / t ∈ R

e la denotiamo con ∂_Vf o D_Vf.

Osservazione

Se V = (1, 0) ⇒ ∂_Vf(−) = ∂_xf(−)

Se V = (0, 1) ⇒ ∂_Vf(−) = ∂_yf(−)

Osservazione

g(t) = f(x₀ + t cos θ, y₀ + t sin θ)

⇒ ∂_Vf(x₀, y₀) = g′(0)

perché lim_t→0 [g(t) − g(0)] / t

✏ Esempio

f(x, y) = cos(x² + y²)

V = (cos θ, sin θ), P = (0, 0)

g(t) = f(x₀ + t cos θ, y₀ + t sin θ)

= f(t cos θ, t sin θ)

= cos(t² ⋅ cos² θ)

g′(t) = cos² θ ⋅ cos(t²) − 2t cos² θ sin(t²)

g′(0) = cos θ

Calcolo delle derivate 3

Teorema: formula del gradiente

Sia A ⊆ R² aperto, f: A → R differenziabile in (x₀, y₀) ∈ A.

Sia V = (cos θ, sin θ).

Allora: ∂_Vf(x₀, y₀) = ∇f(x₀, y₀) ⋅ V.

Dimostrazione

[f(x₀ + t cos θ, y₀ + t sin θ) − f(x₀, y₀)] / t

= [∂_xf(x₀, y₀) ⋅ t cos θ + ∂_yf(x₀, y₀) ⋅ t sin θ + o(t)] / t → 0 per t → 0

∂_Vf(x₀, y₀) = ∂_xf(x₀, y₀) cos θ + ∂_yf(x₀, y₀) sin θ

= ∇f(x₀, y₀) ⋅ (cos θ, sin θ) = V.

Osservazione

Supponiamo f differenziabile in (x₀, y₀).

Poiché ∂_Vf(x₀, y₀) = ∇f(x₀, y₀) ⋅ V, si ha che la direzione di massima crescita è data da ∇f(x₀, y₀).

Osservazione

∇f(x₀, y₀) è ortogonale alla linea di livello perché ∇f ⋅ V = 0.

Calcolo delle derivate 4

Collezioni

Insiemi maggiori

N = numeri naturali = {0, 1, 2, 3, 4, ...}

Z = numeri interi = {..., −2, −1, 0, 1, 2, ...}

Q = numeri razionali = {q = m/n, m, n ∈ Z ∧ n  0}

R = numeri reali = Q + valori che Q non copre (es. √2) + numeri trascendenti (es. π)

Teorema

√2 ∈ Q ⇒ q² = 2

Dimostrazione

Supponiamo per assurdo che q² = 2.

Per ipotesi q = m/n, m, n ∈ Z e n  0, possiamo supporre che sia ridotta ai minimi termini.

{ q² = 2

⇒ m² / n² = 2 ⟺ m² = 2n²

⇒ m² è pari ⇒ m è pari ⇒ m = 2p, p ∈ Z ⇒ n² è pari ⇒ n è pari ed m, n hanno il fattore 2 in comune.

Assurdo perché m/n era ridotta ai minimi termini.

Assiomi di R

R è un campo, cioè un insieme su cui sono definite due operazioni (+ e ⋅) che gode delle seguenti proprietà:

Collezioni 1

Proprietà associativa

∀x, y, z ∈ R

(x + y) + z = x + (y + z)

(x ⋅ y) ⋅ z = x ⋅ (y ⋅ z)

Proprietà commutativa

∀x, y ∈ R

x + y = y + x

x ⋅ y = y ⋅ x

Proprietà distributiva

∀x, y, z ∈ R, x ⋅ (y + z) = x ⋅ y + x ⋅ z

Elemento neutro

∃ elemento neutro

0 + x = x ∀x

1 ⋅ x = x ∀x

Opposto e reciproco

∃ opposto

∀x ∈ R, ∃y ∈ R t.c. x + y = 0

∃ reciproco o inverso

∀x ∈ R, x  0, ∃y ∈ R t.c. x ⋅ y = 1

Assioma d'ordine

È sempre possibile dire se un numero è maggiore o minore di un altro. R è un campo totalmente ordinato.

Assioma di completezza che distingue R da Q

Collezioni 2

Siano A e B due sottoinsiemi separati, cioè ∀a ∈ A ∀b ∈ B si ha a ≤ b, allora ∃c ∈ R t.c. a ≤ c ≤ b ∀a ∈ A, b ∈ B.

In sostanza, tra due numeri reali esistono infiniti numeri reali.

Cardinalità

Contare gli elementi di un insieme significa stabilire una corrispondenza iniettiva con un sottoinsieme di N.

✏ Esempio

A = {∙, ∙, ∙} ha 3 elementi.

Se A ha infiniti elementi e può essere messo in corrispondenza biunivoca con N, A si dice numerabile.

✏ Esempio

A = {n ∈ N ∣ n è pari}

A è equipotente a N.

Q è numerabile.

R non è numerabile.

Proprietà di densità

Q e R ∖ Q sono densi su R.

Collezioni 3

Notazioni

R∗ = R ∖ {0}

R₊ = {x ∈ R ∣ x ≥ 0}

R₊∗ = {x ∈ R ∣ x > 0}

Max/min

✒ Definizione

Sia A ⊆ R, A  ∅, un numero reale λ si dice massimo di A se:

λ ∈ A, λ ≥ x ∀x ∈ A

✒ Definizione

Sia A ⊆ R, A  ∅, un numero reale μ si dice minimo di A se:

μ ∈ A, μ ≤ x ∀x ∈ A

✏ Esempio

A = R₊

∃ min A = 0, ∄ max A

✏ Esempio

A = {1/n ∣ n ∈ N ∖ {0}}

∃ max A = 1, ∄ min A

infatti 1/(n+1) < 1/n

Collezioni 4

✏ Esempio

A = R₊∗

∄ min A, ∄ max A

infatti se x ∈ A si ha che x/2 ∈ A, e x/2 < x.

Inf/sup

✒ Definizione

Sia A ⊆ R, A  ∅, λ ∈ R, diciamo che λ è un maggiorante di A se:

λ ≥ x ∀x ∈ A

✒ Definizione

Sia A ⊆ R, A  ∅, μ ∈ R, diciamo che μ è un minorante di A se:

μ ≤ x ∀x ∈ A

✒ Definizione

Se A ammette un maggiorante si dice superiormente limitato, se A ammette un minorante si dice inferiormente limitato. Se entrambi, A si dice limitato.

Osservazione

finito ⇒ limitato, limitato  finito

Collezioni 5

Teorema

Sia A ⊆ R, A  ∅.

Sia A sup. limitato ⇒ l'insieme dei maggioranti ammette minimo.

Sia A inf. limitato ⇒ l'insieme dei minoranti ammette massimo.

Osservazione

Se un insieme ammette massimo o minimo, esso è unico.

✒ Definizione

Se A è sup. limitato chiamo estremo superiore di A (sup.A) il minimo dell'insieme dei maggioranti, e viceversa (inf.A).

Se A non è sup. limitato, poniamo sup.A = +∞ e analogamente inf.A = −∞ se non è inf. limitato.

✏ Esempio

A = {x ∈ R ∣ 0 ≤ x < 3}

inf.A = min A = 0

sup.A = 3, ∄ max A

Intervalli di R

(a, b) = ]a, b[ = {x ∈ R ∣ a < x < b}

[a, b] = {x ∈ R ∣ a ≤ x ≤ b}

(a, b] = {x ∈ R ∣ a < x ≤ b}

(a, +∞) = {x ∈ R ∣ x > a}

(−∞, b) = {x ∈ R ∣ x < b}

Collezioni 6

Questi insiemi sono intervalli, cioè soddisfano la proprietà:

✒ Definizione

Sia A ⊆ R, diciamo che A è un intervallo se ∀c, d ∈ A, ∀h ∈ R t.c. c ≤ h ≤ d, allora h ∈ A.

✏ Esempio

(2, 3) è un intervallo, (2, 3) ∪ (4, 5) non è un intervallo perché non appartengono i valori tra 3 e 4.

Punto interno di un intervallo

✒ Definizione

Sia I intervallo di R, diciamo che c ∈ I è un punto interno di I quando c ∈ I ma non è estremo, cioè c ∖ {inf I, sup I}.

I = (a, b) = [a, b] ∖ {a, b}

L'insieme dei punti interni si definisce I˚.

Tipi di intervalli

Limitato se sono presenti maggiorante e minorante.

✏ Esempio

(a, b) è limitato, (a, +∞) non è limitato perché non ha maggiorante.

Aperto se I˚ = I

Collezioni 7

✏ Esempi

(a, b)

(a, +∞)

R ∖ {−∞, +∞}

Chiuso

✏ Esempio

[a, b]

Simmetria

✒ Definizione

A ⊆ R è simmetrico rispetto all'origine se x ∈ A ⇒ −x ∈ A.

✏ Esempio

(−a, a)

Periodicità

✒ Definizione

Sia A ⊆ R, sia T ⊆ R∗, diciamo che A è T-periodico se ∀x ∈ A, ∀k ∈ Z ⇒ x + kT ∈ A.

Collezioni 8

Derivate parziali

Definizione di derivata parziale

✒ Definizione

Sia f definita in un intorno di (x₀, y₀) ∈ R². Diciamo che f è derivabile rispetto a x nel punto (x₀, y₀) se:

∃ lim_h→0 [f(x₀ + h, y₀) − f(x₀, y₀)] / h ∈ R

In tal caso lo indichiamo con ∂_xf(x₀, y₀) o ∂f/∂x.

Analogamente, ∂_yf(x₀, y₀) equivale a:

∃ lim_h→0 [f(x₀, y₀ + h) − f(x₀, y₀)] / h ∈ R

Gradiente

∇f(x₀, y₀) = (∂_xf(x₀, y₀), ∂_yf(x₀, y₀))

Il gradiente di f è un vettore con componenti le derivate parziali in x e y.

Derivate parziali 1

✏ Esempio

f(x, y) = 6xy² − 7x²

∂_xf(x, y) = 6y² − 14x

∂_yf(x, y) = 12xy

∇f(x, y) = (6y² − 14x, 12xy)

f(x, y) = x sin(x + y)

∂_xf(x, y) = sin(x + y) + x cos(x + y)

∂_yf(x, y) = x cos(x + y)

∇f(x, y) = (sin(x + y) + x cos(x + y), x cos(x + y))

Osservazione

Se f ammette derivate parziali in (x₀, y₀) non è detto che f sia continua in (x₀, y₀).

✏ Esempio

f(x, y) = {0 se xy = 0; 1 se xy  0}

∂_xf = ∂_yf = 0 in (0, 0), ma f non è continua.

Piano tangente

1. Seziono il grafico di f con il piano y = y₀ e individuo la curva z = f(x, y₀).

2. Seziono il grafico di f con il piano x = x₀ e individuo la curva z = f(x₀, y).

Derivate parziali 2

Se f è derivabile (ammette le derivate parziali) nel punto P = (x₀, y₀):

La retta tangente alla curva 1 è:

{ z = f(x₀, y₀) + ∂_xf(x₀, y₀)(x − x₀); y = y₀

La retta tangente alla curva 2 è:

{ z = f(x₀, y₀) + ∂_yf(x₀, y₀)(y − y₀); x = x₀

Il piano z = f(x₀, y₀) + ∂_xf(x₀, y₀)(x − x₀) + ∂_yf(x₀, y₀)(y − y₀) contiene entrambe le rette.

Differenziabilità

Differenziabilità 1

Derivate seconde

Sia f: R² → R.

Se ∂_xf e ∂_yf sono derivabili, allora diciamo che f è derivabile due volte.

Se le derivate seconde di f sono continue, diciamo che f è di classe C².

∂²f/∂x² oppure f_xx = ∂_x(∂_xf)

Derivate parziali 3

∂²f/∂y² oppure f_yy = ∂_y(∂_yf)

✏ Esempio

f(x, y) = xy e^xy

∂_xf(x, y) = 2xy + xy e^xy = (2 + xy) xy e^xy

∂_yf(x, y) = x e^xy + x²y e^xy = (1 + xy)x e^xy

∂_xxf(x, y) = (2 + xy) y e^xy + xy e^xy + (2 + xy) xy e^xy

Matrice Hessiana

H_f(x, y) = (∂_xxf(x, y), ∂_xyf(x, y); ∂_yxf(x, y), ∂_yyf(x, y))

Teorema di Schwarz

Sia f ∈ C²(R², R) ⇒ ∂_xyf(x, y) = ∂_yxf(x, y).

Calcolo delle derivate

Calcolo delle derivate 1

Forme quadratiche

Forme quadratiche 1

Derivate parziali 4

Differenziabilità

Definizione di differenziale

✒ Definizione

Sia f: R² → R, (x₀, y₀) ∈ R².

Diciamo che f è differenziabile in (x₀, y₀) se:

f(x₀ + h, y₀ + k) = f(x₀, y₀) + ∂_xf(x₀, y₀) ⋅ h + ∂_yf(x₀, y₀) ⋅ k + o(∣(h,k)∣)

Dunque:

[f(x, y) = f(x₀, y₀) + ∂_xf(x₀, y₀)(x − x₀) + ∂_yf(x₀, y₀)(y − y₀) + o(√((x − x₀)² + (y − y₀)²))]

✒ Definizione

La funzione lineare:

df(x₀, y₀) : (h, k) ↦ ∂_xf(x₀, y₀) ⋅ h + ∂_yf(x₀, y₀) ⋅ k

∇f(x₀, y₀) ⋅ (h,k)

si chiama differenziale di f in (x₀, y₀).

Differenziabilità 1

Osservazione

Se f è differenziabile in allora