Analisi matematica

Massimi e minimi vincolati

Consideriamo una funzione definita su tutto ℝ²: T = {(x,y); 0 ≤ x ≤ z, 0 ≤ y ≤ z} (chiuso, limitato e compatto).

f(x,y) = x² - x*y

Per il teorema di Weierstrass ho che ∃ max f, ∃ min f. Più in là scopriremo come si calcolano questi punti.

Definizione

Sia f: X ⊆ ℝ^r → ℝ | S ⊆ X → vincolo

1. x₀ ∈ S è punto di minimo relativo vincolato per f⇢S ↔ ∃ r > 0; ∀ x ∈ B_r(x₀) ∩ S: f(x₀) ≤ f(x)
2. x₀ ∈ S è punto di massimo relativo vincolato per f⇢S ↔ ∃ r > 0; ∀ x ∈ B_r(x₀) ∩ S: f(x₀) ≥ f(x)

Sia f: A ⊆ ℝ^r → ℝ A aperto, f ∈ C(A) → derivate parziali continue.

Tipi di vincoli

• Vincolo cartesiano (S è il grafico di una funzione m x reagibili)
• Vincolo parametro B = ℝ^r {1 ≤ x ≤ m-1} e aperto, e B → ℝ^m di classe C⁰(B, ℝⁿ)
• Esempio: c(t) = (cost, sin⁢, t) ∈ (q, 2π] circumferenza di raggio 0 e raggio
• Vincolo implicito Il vincolo è l'insieme delle soluzioni di un'equazione o di un sistema. Ad esempio: S = {(x1,t) ∈ ℝ^r; x² + y⁴⁷ = a}

Massimi e minimi vincolati

Consideriamo una funzione definita su tutto R²: T = {(x,y); 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ x} (Chiuso, limitato e compatto).

f(x,y) = x² - xy

Per il teorema di Weierstrass ho che max f, min f.

Calcolo di questi punti

Definizione: Sia f: X ⊆ Rⁿ → R | S ⊆ X vincolo

1. x₀ ∈ S è punto di minimo relativo vincolato per f|_S
2. ⇔ ∃r>0, ∀x ∈ B_r(x₀) ∩ S: f(x₀) ≤ f(x)
3. x₀ ∈ S è punto di massimo relativo vincolato per f|_S
4. ⇔ ∃r>0, ∀x ∈ B_r(x₀) ∩ S: f(x₀) ≥ f(x)

Sia f: A ⊆ Rⁿ → R. A aperto f ∈ C^(A) → derivate parziali continue.

Tipi di vincoli

• Vincolo cartesiano (S è il grafico di una funzione m variabili)
• Vincolo parametrico B ⊆ R^k (1 ≤ k ≤ m-n) e aperto, e B → R^m di classe C^1(B,R) (Applicazione vettoriale)
• Esempio: c(t)=(cost, sint), t ∈ (0,2π] (Circumferenza di raggio 1)
• Vincolo implicito Il vincolo è l'insieme delle soluzioni di m equazioni o di m sistemi. Ad esempio: S = {(x,1) ∈ R²; x²+y² = a}

Teorema: Moltiplicatori di Lagrange

Sia A un sottoinsieme di ℝⁿ aperto, f: A → ℝ di classe C¹ (A):

Sia F: A → ℝ^m di classe C¹(A, ℝ^m) e sia S = {x ∈ A, F(x) = 0̅}. Se x₀ ∈ S è un punto di estremo relativo vincolato per f su S e x ∈ D(F(x)) ha rango massimo m - k allora esistono c₁, ..., c_m ∈ ℝ con (c₁, ..., c_m) ≠ 0 e t.c. ∇f(x₀) = ∑_i=1^m c_i∇F_i(x₀).

Dimostrazione (m = 2, k = 1)

Indichiamo con (x, y) il generico punto di A. Sia (x₀, y₀) ∈ S un punto di estremo relativo. F : A → ℝ ≤ ∑¹): ∇F(x₀, y₀) ̸= 0, F₁(x₀, y₀) ̸= 0.

Possiamo supporre F₁(x₀, y₀) ̸= 0, per il teorema del Dim. ∃ r₀ e ∋ ∈ x₀ + (y = y - r) x₀ r) F₁(x₀) ̸= 0.

F₁+ (x₀ + (∃ ∈)) → y₀ = f(x) come h ∼ C.

Allora le funzioni di g: (x₀, y, x₀ + r) → (y₀ - r₀) dato da g(x) ∈ (x₀) - x ̸= un punto di estremo relativo g(x) = 0 per l'estremo sulle derivate.