Analisi II: integrali generalizzati
Se (c ∈ c, b] = ∫∫ac f(x)dx = ∫ab f(x)dx Spostando il punto e l'area non cambia perché sotto le punti orizzontale è nulla.
Se f ha un numero finito di discontinuità eliminabile o di salto allora f è integrabile ∈ [c, b] con c > -∞ lim f(x) = ∞ la funzione è facilmente integrabile in [0 Ma quando ε = 0?
∫0ε senx dx?
∫0ε 1/x sen1/x dx?
∫0 sen1/x dx = ∫ε sen1/x dx + ∫εx sen1/x dx
∫0ε 1 dx = ∫ε dx ≤ ∫εε sen1/x dx ≤ ∫01 dx - ε < ∫0ε sen1/x dx < ε → e è una variabile che tende a zero
La funzione è infatti annullata.
Analisi II: integrali generalizzati
Se f ∈ C [(a, b] → f ∈ integrabile in [a, b]
∫ab f(x)dx = ∫ac f(x)dx + ∫cb f(x)dx
Spostando il punto c l'area non cambia perché sotto il punto l'area è nulla: (discontinuo eliminabile o di tipo salto)
Se f ha un numero finito di discontinuità eliminabile o di salto allora f è integrabile ∫c ∈ (a, b] con c → 0 lim f(x) = ∞ x → 0
La funzione è facilmente integrabile in (∗ , e], b. Ma quando ε → 0?
Se ε → 0 è come se avessimo un rettangolo con base nulla e altezza infinita: è una forma indeterminata.
∃ ∫0∞ sen 1/x dx?
∃ ∫0∞ 1/x sen 1/x dx?
∫0 sen 1/x dx - ∫ε sen 1/x dx + ∫ε sen 1/x dx = -∫ε -∫ε[∫ε sen 1/x dx ≤ ∫0ε dx] - ε ≤ ∫ε sen 1/x dx ≤ ε ⇒ è una variabile che tende a zero
La funzione è infatti annullata.
Integrabilità impropria
Se f ∈ C0(a, b] → -∞ (luogo f(x) ≠ 0) allora f è integrabile su I α &subepsilon; (a, b], V &subepsilon; > 0. Se esiste finito, lim ∫εb f(x)dx ε → 0+ ∫εb g(x)dx diremo che ∫ab f converge e che f è integrabile in senso improprio (generalizzato) su (a, b].
Es. xα è integrabile su (0,1].
Es. | dx | ci permette di visualizzare con che velocità ∫01 tendente ad infinito (ε → 0)
∫01 dx = lim ∫ε1 dx α > 1
∫01 xα(3) α = 1
∫ε1 | log x |1ε = log ε → +∞
Quindi
- ∫01 dx < +∞ Se ϵ ε &se; 0 < α < 1 (converge)
- ∫01 dx = +∞ Se ε &se; ε α ≥ 1 (diverge)
Non possiamo integrare un α di grado ≥ 1.
Criterio del confronto
Se f, g ∈ C0(a, b], 0 ≤ f ≤ g, in (a, b], allora
∫ab g(x)dx < +∞ ⟹ ∫ab f(x)dx < +∞
∫ab f(x)dx = +∞ ⟹ ∫ab g(x)dx = +∞
Criterio dell'asintotico
Se f,g ∈ C⁰(0;b] f,g > 0 in (0;b] e f(x) ~ g(x) per x -> a⁺ allora
∫0b f(x) dx 0b g(x) dx
∫0ε dx/senx = +∞ perché senx ~ x per x -> 0⁺ 1/senx ~ 1/x p
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