Analisi Matematica

Integrali definiti e calcolo di aree

Se f:[a, b] → ℝ è integrabile ed f(x) ≥ 0 ∀ x ∈ [a, b]

L'integrale definito ∫_a^b f(x) dx rappresenta l'area della regione R = { (x, y) ∈ ℝ × ℝ | a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f(x) }

Poiché Area(R) si approssima, da sotto, con l'area dei rettangoli che portano alla definizione di somma inferiore e si approssima, da sopra, con l'area dei rettangoli che portano alla definizione di somma superiore.

Quindi:

Se f ≥ 0 (cioè f(x) ≥ 0 ∀ x ∈ [a, b]) ⇒ ∫_a^b f(x) dx = Area(R)

Se f ≤ 0, l'integrale definito rappresenta l'area della regione R = { (x, y) ∈ ℝ × ℝ | a ≤ x ≤ b, f(x) ≤ y ≤ 0 }

Cambiata di segno

Quindi f ≤ 0 (cioè -f(x) ≤ 0 ∀ x ∈ [a, b]) ⇒ ∫_a^b f(x) dx = -Area(R)

Infatti f ≤ 0 ⇒ -f ≥ 0

Se R' = { (x, y) ∈ ℝ × ℝ | a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ -f(x) }

Allora ∫_a^b (-f)(x) dx = Area(R')

Lezione del 9/3/2017

Integrali definiti e calcolo di aree

Se f:[a,b]→R è integrabile ed f(x)≥0   ∀x∈[a,b]

L'integrale definito ∫f(x)dx=∫b=∫af⁢⁢x=&⃥&x=R(y)p rappresenta l'area della regione R = {(x,y)&isinR² | a≤q; x≤b, 0≤y≤f(x)}

Perché Area (R) si approssima, da sotto, con l’area dei rettangoli che portano alla definizione di somma inferiore e si approssima, da sopra, con l’area dei rettangoli che portano alla definizione di somma superiore.

Quindi:

Se f≥0 (cioè f(x)≥0   ∀x∈[a,b]) ⇒↵Area(ℒ)

Se f≤0, l’integrale definito rappresenta l’area della regione R = {(x,y)∈R² | a≤x≤b, f(x)≤y≤0 }

Cambiata di segno

Quindi: f≤0 (cioè f(x)≤0   ∀x∈[a,b]) ⃤= —

Infatti f≤0  ⇒  -f≥0

Se _R' R' = { (x,y) ∈ R² | x f(x)0≤y≤# −f(x)*&isnap;xf(x)dx=Area(R')

miltex

Per la proprietà dell'integrale, _a∫^b(-f)(x) dx = _a∫^b-f(x) dx = -_a∫^bf(x) dx

Quindi -_a∫^bf(x) dx = Area (R¹) ⇒ _a∫^bf(x) dx = - Area (R¹)

Ma R¹ ed R hanno la stessa area, in quanto sono regioni simmetriche rispetto all'asse x

Quindi _a∫^bf(x) dx = - Area(R¹) == - Area (R).

Se f non ha segno costante in [a,b], uno cambia segno negli intervalli I₁,..., I_k, allora l'integrale definito rappresenta la somma delle aree "con segno", pertanto

I₁=[a,x₁] I₂=[x₁,x₂] ... I_k=[x_k-1,b]

Allora per la proprietà additiva dell'integrale _a∫^bf(x) dx = _a∫^x₁f(x) dx + _x1∫^x₂f(x) dx + ... + _xk-1∫^bf(x) dx

Così, in figura: _a∫^bf(x) dx = _a∫^x₁f(x) dx + _x1∫^x₂f(x) dx + _x2∫^x₃f(x) dx + _x3∫^bf(x) dx = = Area R₁ - Area R₂ + Area R₃ - Area R₄

Esercizio

f: [-1,2,3] →ℝ 1 -1 ≤ x ≤ 0 f(x) = { 2 0

Calcolare ∫_-1² f(x) dx

f è letteralmente predetto costante a tratti (si vede il criterio di integrabilità). Per la proprietà additiva dell'integrale:

∫_-1² f(x) dx = ∫_-1⁰ f(x) dx + ∫₀¹ f(x) dx + ∫₁² f(x) dx == ∫_-1⁰ 1 dx + ∫₀¹ 2 dx + ∫₁² -2 dx == ∫_-1⁰ 1 dx + ∫₀¹ 2 dx - ∫₁² 2 dx == 1·(0-(-1))+2(1-0)-2(2-1)== 1 + 2 - 2 = 1

Concludiamo che Area R = ∫_-1² f(x) dx = 1

Esercizio

Dato f: [0,3] → R f(x) = { x    0 ≤ x ≤ 1           1    1

Calcolare ∫₀³ f(x) dx

Calcoliamo l'integrale in due modi:

1^o modo) Utilizzando le proprietà di linearità ed additività dell'integrale, lo dividiamo:

∫₀³ f(x) dx = ∫₀¹ x dx + ∫₁² 1 dx + ∫₂³ 3-x dx == ∫₀¹ x dx + ∫₁² 1 dx + ∫₂³ 3 dx - ∫₂³ x dx == 1/2 + 1(2-1) + 3(3-2) - ∫₂³ x dx = 1/2 + 1 + 3 - ∫₂³ x dx == 1/2 + 1 + 3 - [9/2 - 4] = 9/2 - 9/2