Analisi I e Analisi matematica 2

Analisi 1

Funzioni e proprietà

• Funzioni suriettive: : → () = Funzioni suriettive: una funzione è detta suriettiva se ∀ ∈ ∃ ∈ : () =
• Funzioni iniettive: : → Funzioni iniettive: una funzione è detta iniettiva se a valori distinti in A corrispondono valori distinti in B (, ∀ ∈ ∃! ∈ : ) ∈ ℝ
• Funzioni biunivoche: : → Funzioni biunivoche: una funzione è detta biunivoca se è sia iniettiva che suriettiva.

Elementi di una funzione

• Punto di accumulazione: ⊆ ℝ, Punto di accumulazione: dato un punto x si dice punto di accumulazione per l’insieme A se in ogni intorno di x vi sono infiniti elementi di A.
• Punto isolato: ∈ ⊆ ℝ Punto isolato: un qualunque elemento si dice punto isolato se esiste almeno un intorno di x che non contiene nessun elemento di A escluso x.
• Insieme chiuso: ⊆ ℝ, Insieme chiuso: dato A si dice insieme chiuso se contiene tutti i suoi punti di accumulazione e tutti i suoi punti isolati.
• Punto interno: ⊆ ℝ, ∈ Punto interno: dato un punto si dice punto interno di A se esiste un intorno di x tutto contenuto in A.
• Insieme aperto: ⊆ ℝ, Insieme aperto: dato A si dice insieme aperto se tutti i suoi punti sono punti interni ad A.
• Punto di frontiera: ∈ ℝ ⊆ ℝ Punto di frontiera: un elemento si dice punto di frontiera per l’insieme se in ogni intorno di x ci sono elementi di A e del complementare di A.
• Punto esterno: ∈ ℝ Punto esterno: un punto x si dice punto esterno di A se non è contenuto in A e non è un suo punto di frontiera.

Andamento delle funzioni

• Funzioni crescenti: : ⊆ ℝ → ℝ , ∈ < , Funzioni crescenti: una funzione è detta crescente in A se, per ogni con si () < () ha
• Funzioni decrescenti: : ⊆ ℝ → ℝ , ∈ < Funzioni decrescenti: una funzione è detta decrescente in A se, per ogni con, () > () si ha
• Funzioni limitate: : ⊆ ℝ → ℝ () Funzioni limitate: una funzione è detta superiormente limitata se la sua immagine è ℝ superiormente limitato. : ⊆ ℝ → ℝ un sottoinsieme di una funzione è detta inferiormente () ℝ inferiormente limitato. Limitata se la sua immagine è un sottoinsieme di
• Funzione continua: : ⊆ ℝ → ℝ ∈ Funzione continua: una funzione si dice continua in se: 0 |() | |)| ∀ > 0 ∃ > 0: − ( < , ∀ ∈ : − < 0 0

Teorema degli zeri

[,: ] → ℝ Sia continua (,()() < 0 ⇒ ∃ ∈ ): () = 0

Dim. () < 0 Supponiamo S= { [,∈ ]: () < 0} ⊆ ℝ S, ) = ( = 00 0 ) ) )( ≠ 0 ( < 0 ( > 0 Per assurdo se allora oppure 0 0 0 S)( < 0 ⇒ ∃ > 0: ( + ) < 0 = NO, poiché 0 0 0 S)( > 0 ⇒ ∃ > 0: ( − ) > 0 = NO, poiché 0 0 0)( = 0 Quindi 0

Teorema di Weierstrass

[,: ] → ℝ [, ] Sia una funzione continua, allora in esistono un punto di massimo e di minimo assoluti della funzione.

Dim. Una funzione continua è superiormente e inferiormente limitata (per un teorema dimostrato), quindi sappiamo che esiste [, {(): ∈ ℝ: () ≤ ∀ ∈ ]. ([, ]) = ∈ [, ]} M è l’estremo superiore dell’immagine [, [,∀ ∈ ] ∃ ∈ ]: = ( ) ≥ () Devo dimostrare che 1 1 [, ∈ ]: () = .

Supponiamo per assurdo che non esista nessun punto 1 [,ℎ() = ] Quindi la funzione è ben definita in ed è continua nell’intervallo. Essendo M l’estremo superiore −() 1 [,([, ]), ∀ > 0 ∃ ∈ ]: − () < , ℎ() > ℎ() dell’insieme si ha che ovvero , cioè la funzione non è limitata ma va in contraddizione con l’affermazione del teorema sopra citato.

Teorema di Fermat

(,: ) → ℝ ∈ (, ) . () sia e sia un punto di massimo (o di minimo) relativo per Allora se è derivabile in , 0 0 ′ ( ) = 0. si ha che 0

Dim. ( +ℎ)−( ) ( +ℎ)−( ) 0 0 0 0 lim lim Considerando i due limiti e , questi sono uguali per l’ipotesi che sia continua −ℎ ℎ+ ℎ→0 ℎ→0 ′( ). in e fanno Supponiamo il punto un punto di massimo relativo, quindi per ogni h abbastanza piccolo ma 0 0 0 ( +ℎ)−( ) ( +ℎ)−( ) 0 0 0 0 ( + ℎ) − ( ) ≤ 0, ≥ 0 ℎ < 0 ≤ 0 ℎ > 0. non 0 si avrà: quindi e 0 0 ℎ ℎ

Per il teorema della permanenza del segno abbiamo: ′ ′( ) ≤ 0 ( ) ≥ 0. 0 0 − + ′ ′ ′ ′ ′( ) ( ), ( ) ( ) ≤ 0, = ( ) = 0. Quindi le condizioni implicano necessariamente che 0 0 0 0 0 − + − +

Teorema di Rolle

(,: [, ] → ℝ [, ], ) () = (), Sia una funzione continua in derivabile in e tale che allora esiste (, ∈ ): ′() = 0

Dim. [, Essendo continua in ], per il teorema di Weierstrass esiste un punto di massimo assoluto e un punto 1 2 [, di minimo assoluto. Se = e = , allora, essendo () = (), la funzione è costante in ]. In questo 1 2 ′ () (, caso si ha = 0 ∀ ∈ ).

(, Se uno dei due punti è interno all’intervallo ), allora per il teorema di Fermat si ha che in uno dei due punti la derivata prima si annulla e il teorema è dimostrato.

Teorema di Lagrange (o valor medio)

()−() [, (,: ] → ℝ [, ] (, ). ∃ ∈ ): = ′(). sia una funzione continua in e derivabile in Allora −

Dim. ()−() (() = () − − ) . [, ] (, ). Consideriamo la funzione Questa è continua in e derivabile in Inoltre, −() = () = (). si ha ()−() ′ ′ ′(, () () () ∈ ): = 0, 0 = = − Per il teorema di Rolle si ha che esiste un punto quindi . −

Teorema di Cauchy

′ [, () (,, : ] → ℝ [, ] (, ), ≠ 0 ∀ ∈ ). Siano due funzioni continue in e derivabili in con allora esiste ′ () ()−() (, ∈ ): = . ′ () ()−()

Dim. ()−() () = () − (() − ()) . Consideriamo la funzione ()−() () ≠ () () ′() = 0 Abbiamo perché altrimenti per il teorema di Rolle applicato alla funzione si avrebbe il che va contro l’ipotesi del teorema che stiamo dimostrando.

Teorema de l’Hôpital

′ () ∈ (, ) , (, ), ≠ 0 ∀ ∈ (, ), Sia e siano due funzioni derivabili in escluso al più , con escluso al 0 0 più . 0 ′() () lim () = 0 lim = , lim = . Se allora anche ′() () → → → 0 0 0

Dim. ( ) = ( ) = 0 (, ). Ponendo possiamo estendere con continuità le due funzioni su 0 0 (, ∈ ) > [ , ] Sia . Applicando il teorema di Cauchy all’intervallo abbiamo: 0 0 () () − ( ) ′() 0 = = () () − ( ) ′() 0 + + ∈ ( , ). → → Con Quindi, se , anche . Poiché si avrà: 0 0 0 ′() ′() lim = ℎ lim = . ′() ′() + + → → 0 0

Quindi avremo: ′() () lim = lim = . ′() () + + → → 0 0

Definizione

: → ℝ ∈ . Sia una funzione e sia Si dice che la funzione è crescente (non decrescente) in se esiste un 0 0 ( ) intorno in cui si ha: 0 () − ( ) 0 ( ). > 0 ∀ ∈ ⋂ 0 − 0

Formula di Taylor e di Mac Laurin

(): Polinomio di Taylor con centro della funzione 0 () ( )"( ) ′ () ) ( )( ) = ( + − + ( − ) + ⋯ + ( − ) ! !

Resto nella forma di Peano: (+) ( ) ) + ( , − +( ) ( ) , − = − ( + )! ( , − ) = →

Formula di Mac Laurin: () ()"() ′ ()() = () + + + ⋯+ + (, )! !

Teorema della formula di Taylor

() (+1)(, (, () (,: ) → ℝ ∈ ). ∀ ∈ ) ( ) Sia data la funzione e sia Supponiamo che esista allora si 0 0 avrà: ()() = + ( , − ) 0 0

Dim. ()()− lim . Consideriamo il limite +1 (− ) → 00 Applicando n volte la regola de l’Hôpital, ci si riconduce al seguente limite: () () (+1)() − ( ) ( ) 0 0 lim = ,( (+ 1)! ( − ) + 1)! → 0 0 (+1) ( ). poiché per ipotesi esiste 0

Quindi si avrà: (+1)() ( )() − 0 lim = , +1 ( ) (− + 1)! → 0 0 da cui si ottiene: ()() − (+1)( ( ) )+ 1)! = + ( , − lim ( , − ) = 0. 0 0 0 0 0 +1 ( )− → 00

Dalla formula precedente otteniamo: (+1) ( ) ) + ( , − 0 0 0 +1 () ( )() = + − . 0 ( + 1)!

Teorema della formula di Taylor con il resto di Lagrange

() (,: ) → ℝ; ∈ (, ) () (, ) Sia data una funzione sia e supponiamo che la derivata sia continua in e che 0 (+1) () ∀ ∈ (, ), esista escluso al più allora si ha: 0 () ( )"( ) 0 0 ′ 2 ) ( )( ) ( ) ( ), () = ( + − + ( − ) + ⋯ + − + , − 0 0 0 0 0 0 0 2! ! (+1) (̅ ) +1 ( ) ( ) , − = − 0 0 0 ( + 1)!), ̅ = + ( − 0 < < 1. Dove 0 0

Dim. [ , ] > Applichiamo il teorema di Cauchy alle funzioni della variabile y nell’intervallo ; quindi: 0 0 () () +1 () = ∑ ( − ) , () = ( − )! =0 (̅ ∈ , ) > Esiste allora, per il teorema di Cauchy, , tale che: 0 0 () − ( ) ′( ̅ ) 0 = () − ( ) ′( ̅ ) 0

Da cui: () ( ) 10 =0 (+1) ∑ ( (̅ )( )() − − ) − ̅! !=+1 ) )−( − −( + 1)( − ̅0 Semplificando: () (+1)( ) (̅ ) 0 +1 ( ( )() = ∑ − ) + − . 0 (! + 1)!=0

Definizione di funzione convessa e concava

(,: ) → ℝ, (, ). Sia data una funzione derivabile in Diciamo che la funzione è convessa nell’intervallo in cui la si ∀ ∈ (, ) ( , ( )) considera se il grafico della funzione sta al di sopra della retta tangente nel punto al grafico 0 0 0 della funzione. Diciamo che è concava quando sta al di sotto della retta tangente.

Definizione di punto di flesso

∈ (, ) > 0 , (, ), Un punto si dice punto di flesso per la funzione se esiste tale che la funzione derivabile in 0 ( , + ) ( , − ) è convessa in ed è concava in (o viceversa). 0 0 0 0

Teorema (crescenza e decrescenza)

(,: ) → ℝ ∈ (, ) Sia data la funzione derivabile in se: 0 ′ ( ) > 0 ⇒ 0 0 ′ ( ) < 0 ⇒ 0 0

Dim: )() − (0 lim =>0 − → 0 0 ′(, (, () (,: ) → ℝ ∀ ∈ ) > 0 ∀ ∈ ) ⇒ è (, )

Definizione di integrale

[,: ] → ℝ , () > 0 ∀ ∈ [, ] Data una funzione continua limitata e data [, () = ({(, ) ∈ ] × ℝ ∶ 0 ≤ ≤ ()}) ∈ [, ] con { } [, = , , ⋯ , ⊆ ] 0 1 = < < ⋯ < = 0 1

Si definisce somma integrale superiore relativa alla partizione P: ( ) = (, ) = ∑ (()) ∙ − ] ∈[ ; −1−1 =1

Si definisce somma integrale inferiore relativa alla partizione P: ( ) = (, ) = ∑ (()) ∙ − ] ∈[ ; −1−1 =1

Per ogni partizione P si ha che: (, ) < (, ); in particolare: ( − ) ≤ (, ) ≤ (, ) ≤ ( − ) Dove: [, = inf{(), ∈ ]} = sup {(), ∈ [, ]} [, ]

Prese due partizioni di si ha che: 1 2 ) ); (, < (, 1 2 quindi si ottiene: (, ) ≤ inf {(, ), [, ]} E [, sup{(, ), ]} ≤ (, ).

Al variare delle partizioni avremo dunque: () = sup{(, ), } ≤ inf{(, ), } = ()

Definizione di funzione integrabile

() [, ] [, ] Una funzione si dice integrabile su se: () = () = ∫ ()

Teorema di integrabilità

[, [, ], [, ] ∀ > 0 ∃ ∈ ]: |(, ) − (, )| < Data limitata in essa è integrabile su se e solo se

Teorema: funzione monotona

[, ] → ℝ , ∈ ℝ Sia una funzione monotona. Allora essa è integrabile:

Dim. ) > 0 () = ( = ( ). Fissiamo e sia non decrescente. In questo caso si ha Se P è una partizione di −1, modulo si avrà: )( ) )(, ) − (, ) = ∑( − − &l