Analisi e geometria 2, Teoria

Name: Analisi e geometria 2, Teoria
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Author: alidott

Revisionato il 03/09/2026

di alidott

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Appunti riassuntivi del corso di "Analisi e geometria 2" al Polimi. Contengono le nozioni teoriche per affrontare la parte orale dell'esame con enunciati, teoremi e dimostrazioni. Comprendono …

Esame Analisi e geometria II

Facoltà Ingegneria industriale

Dal corso del Prof. Rodaro Emanuele

Università Politecnico di Milano

A.A. 2016-2017

63 pagine

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Appunto

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Estratto del documento

Algebra lineare

Introduzione all'algebra lineare

Def relazioni

Una relazione (binaria) R dell'insieme A all'insieme B è una sottinsieme R ⊂ A x B

Def funzioni

Una funzione F: A→B è una relazione F ⊂ A x B t.c. ∀ x ∈ A, ∃!b (a,b) ∈ F → F(a)=b

Kernel di una funzione

Ricerco C ⊂ A x A se F(x) = F(y)

Def spazi vettoriali

Uno spazio vettoriale su un campo K consiste di un insieme V dotato di due operazioni:

Somme (interna) ∀ v, x ∈ V ∃! y, v ∈ V associ a v+w
Prodotto per scalare (esterna) ∃! k, v → kv ∈ V che associa ad ogni k∈K e v∈V il prodotto k•v

Con le seguenti proprietà:

Associatività delle somme ∀ u, v, w ∈ V (v+w)+u = v+(w+u)
Commutatività della somma ∀ v, w ∈ V v + w = w + v
Elemento neutro ∃!e∈V tc ∀v∈V v+0 = v
Elemento inverso ∀ v ∈ V (-v)∈V t.c. v+(-v)=0
∀ v ∈ V 1•v = v
∀ v ∈ V, h, k ∈ K s: (hk)v = h(kv)
Distributività ∀ v, w, ∈ V, k ∈ K s: k(x+y)= kv + kx
∀ v; w∈ V, h, k ∈ K s: h(v+k) = kv + hv

ℝⁿ {^{l x₀ `}} x₀: x∈ℝ, i: ℚ-uple ordinate di numeri reali

ℝ^l[x] spazio dei polinomi a coeff reale

M(m, n, IK) spazio delle matrici su IK

Algebra lineare

Introduzione all'algebra lineare

Def relazioni

Una relazione (binaria) R degli insiemi A e B è una sottoinsieme R⊆A×B.

Def funzioni

Una funzione F: A→B è una relazione F⊆A×B t.c. ∀a∈A, ∃!b (a,b)∈F ⟶ F(a)=b

Kernel di una funzione

Ricerco S⊆A×A se F(x)=F(y)

Def spazi vettoriali

Uno spazio vettoriale su un campo K consiste di un insieme V dotato di due operazioni:

Somma (interna), ∀v₁ v₂∈V, v₁+v₂ associata v⊕v
Prodotto per scalare (esterno), ∀k∈K, v∈V che associa ad ogni k∈K e v∈V il prodotto k⋅v

Con le seguenti proprietà:

Associatività della somma: ∀u v w∈V, (v+w)+u = v+(w+u)
Commutatività della somma: ∀v w∈V, v+w = w+v
Elemento neutro: ∃ 0∈V t.c. ∀v∈V v+0=v
Elemento inverso: ∀v∈V ∃ (-v)∈V t.c. v+(-v)=0
∀v∈V v⋅1 = v
∀v∈V, h k∈K, s.h. (hk)v = h(kv)
Distributività: - ∀v w∈V, k∈K, s.h. k(v+w) = kv+kw
- ∀v∈V, h k∈K, s.h. (k+h)v = kv+hv

Rⁿ {x | xᵢ∈ℝ, i=1..n} - uple ordinate di numeri reali

ℝ[x] - spazio dei polinomi a coeff. reali

M (m x n, ℝ) - spazio delle matrici su ℝ

Def - Sottospazi vettoriali

Un sottospazio vettoriale \( U \) di uno spazio vettoriale \( V \) e un sottinsieme di \( V \) tale per cui le operazioni di somma e prodotto per scalare ristrette ad \( U \) soddisfano gli assiomi di spazio vettoriale.

Propi

Il sottinsieme \( W \subset V \) e un sottospazio vettoriale di \( V \) se e solo se \(\ \forall k \in \mathbb{K} \ e \ \forall v, w \in W \) allora \(\ kv + w \in W \).

Dim La stagione \( W\setminus W = O \ , \ W\setminus W \) ben definiti. Associativa somm. e distr. sono ereditarie in \( W \).

Anche \( O + l = l \ , \ (-v) = (-v) \ ) \Rightarrow 0 \subset W \ e \ (-v) \subset W \ cn def.

ES\( W \subset \mathbb{R}^3 \) U1:= \((x,k,k)\,\, k \in \mathbb{R}^{3}\) \(U, W \subset V \Rightarrow (U \cup W) \subset V\) è sottospazio.

Def applicazioni lineari

Una funzione \(f : V \to W\) tra due spazi vettoriali \(V,W\) e detta l'applicazione (o mappa) Lineare quando:

Preserva la somma \(\ f(u+v) = f(u) + f(v) \)
Preserva il prodotto per scalare \(\ f(xv) = k f(v) \)

\(\frac{d}{dx} \, C^1([a,b]) = C^0([a,b])\)

\(\int_a^b f \, dx \, C^0([a,b]) = C^1([a,b])\)

Spazi vettoriali

Def generatori di un sottospazio

Un insieme G ⊂ V è detto un insieme di generatori per V.

Se qualunque v ∈ V ammette una combinazione lineare di qualche u₁, u_m ∈ G

v = k₁u₁ + ... + k_mu_m ⇒ G genera V.

Def dipendenza ed indipendenza lineare

Un insieme di vettori {v₁, v_n} si dice linearmente indipendente se esiste una combinazione non banale uguale al vettore nullo:

k₁v₁ + ... + k_nv_n = 0 con k₁, k_n non tutti nulli.

{v₁, v_n} linearmente dipendenti ⇒ uno dei vettori è combinazione lineare degli altri.

{v₁, v_n} linearmente indipendenti se k₁v₁ + ... + k_nv_n = 0 ⇒ k₁

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