Analisi e Geometria 2

Politecnico di Milano

Analisi e Geometria 2

Docente: Boella Marco Ugo Claudio

Anno accademico 2012/13 – Ingegneria Industriale

Boella Marco Ugo Claudio A.A. 2012/2013

Indice generale

CAPITOLO PARAGRAFO PAG.

21 1.1 Funzioni in R. 12

Funzioni in R e 1.2 Dominio e codominio. 1

insiemi di 1.3 Curve di Livello. 3

definizione 1.4 Insiemi aperti, chiusi, connessi, limitati. 5

2 2.1 Continuità di una funzione f(x,y) 7

Limiti e continuità 2.2 Limiti e Prolungabilità. 9

3 3.1 Derivate parziali, definizione. 12

Derivabilità e 3.2 Derivata direzionale. 13

Differenziabilità 3.3 Differenziabilità. 16

3.4 Gradiente. 17

24 4.1 Massimi e minimi in R. 21

Punti stazionari 4.2 Massimi e minimi vincolati ad una frontiera. 27

4.3 Massimi e minimi di una funzione f(x,y), 33

vincolata a una curva g(x,y). Lagrange.

5 5.1 Integrali doppi, definizione. 42

Integrali doppi 5.2 Domini xy semplice. 43

5.3 Simmetrie di domini. 47

5.4 Integrali per sostituzione. 49

6 6.1 Lavoro di un campo vettoriale. 54

Campi vettoriali 6.2 Campi vettoriali conservativi. 56

6.3 Calcolo del potenziale. 58

6.4 Flussi di campi vettoriali. 60

6.5 Calcolo del flusso, vettore normale. 60

6.6 Teoremi sui flussi: divergenza e rotore. 62

6.7 Formula di Gauss-Green per aree e lavori. 66

7 7.1 Prima prova in itinere: 6 Maggio 2013 69

Esami 7.2 Seconda prova in itinere: 1 Luglio 2013 70

7.3 Esame risolto del 15 Luglio 2013 71

Capitolo 1

Funzioni in R e insiemi di definizione

21.1 Funzioni in R. 1

1.2 Dominio e codominio. 1

1.3 Curve di Livello. 3

1.4 Insiemi aperti, chiusi, connessi, limitati. 5

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1.1 - Funzioni in R

La definizione di funzione che viene riportata dall’analisi 1 è: una funzione è una legge che associa ad un elemento del primo insieme uno ed un solo elemento del secondo insieme. Essa è una definizione che vale per tutti i tipi di leggi matematiche e in tutti i tipi di piano. Una funzione in R, f(x), associa un elemento un elemento tramite f(x).

Nel piano tutto questo è assolutamente identico. Presa infatti una coppia di numeri reali (x,y), la funzione associa questa coppia ad un altro valore z = f(x,y). La rappresentazione geometrica di queste due definizioni è facilmente intuibile. Trovandoci su una retta reale e associando otteniamo una curva generica, mentre nel caso del piano, sappiamo che ad ogni punto del piano (x,y) corrisponde una coordinata ortogonale alle prime due. In R³, quindi, abbiamo la rappresentazione di superfici.

Esempio 2: z² = x² + y² = x + 1.

1.2 - Dominio e codominio. Insiemi di definizione

Come in una funzione ha un suo insieme di definizione, ovvero una parte del piano in cui essa compare (Dominio). L’insieme dei punti che fanno parte invece della funzione è detto Codominio.

Non sempre una funzione è definita su tutto il piano e, pertanto, si utilizzano le stesse condizioni per le funzioni a una sola variabile:

• Funzione fratta: f = g/h, h ≠ 0;
• Funzione logaritmo: f = log(g), g > 0;
• Funzioni radicali pari: f = √g, g ≥ 0.

Funzioni in R e insiemi di definizione 1

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Esempio 1: √xy: f(x,y) = √xy ≥ 0.

Si pone xy > 0 e si ricava che il grafico di f è sempre positivo ed è compreso tra il primo ed il terzo quadrante, dove il prodotto xy = 0. È compresa l’origine del piano poiché in (0,0).

Disegnando il dominio abbiamo:

Esempio 2: f(x,y) = 1/(x+y−1).

Poniamo le condizioni di esistenza:

x + y − 1 ≠ 0 → y ≠ 1 − x.

La funzione è definita in tutti i punti esclusa la retta y = 1 − x, gli assi e quindi l’origine. Il grafico è:

Funzioni in R e insiemi di definizione 2

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Esempio 3: f(x,y) = arcsin(x − 1).

L’arcoseno è una funzione definita tra −1 e 1, pertanto poniamo:

−1 ≤ x − 1 ≤ 1.

Ciò si scinde in:

x ≤ 1

x ≥ −1.

Il grafico è:

1.3 - Curve di livello

Quando apriamo un atlante o una cartina geografica, guardando le varie zone della cartina troviamo delle linee chiuse che circondano una zona. Quelle linee sulla cartina, esprimono a seconda della tipologia di cartina, la quota, la temperatura, pressione, ecc. Le funzioni di due variabili, poiché sono funzioni complesse da disegnare, ci si aiuta con le curve di livello, ovvero curve che rappresentano una fascia di valori che la funzione assume in una determinata zona.

Detto in maniera più matematica, una curva di livello è:

{(x,y) ∈ R²: f(x,y) = k}

Prendiamo per esempio la funzione:

x² + y² = z.

La rappresentazione di questa funzione è un paraboloide. Quale sarà la rappresentazione della curva di livello alla quota z = 4?

Vista dall’alto la funzione si rappresenta con una circonferenza come vediamo qui di seguito.

Funzioni in R e insiemi di definizione 3

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Seguiamo la definizione di curva di livello:

x² + y² = 4.

La curva di livello alla quota 4 è la circonferenza centrata nell’origine di raggio 2.

In generale, esiste un’intera famiglia di curve di livello per una funzione. Ogni curva di livello è caratterizzata da un parametro che, a seconda della quota assegnata, dà delle soluzioni.

Prendiamo ad esempio la funzione dell’esempio. Poniamo f(x,y) = k dove k è un numero reale qualsiasi. Per ogni k abbiamo una curva diversa della famiglia. La funzione x² + y² ha tutte curve di livello del tipo:

x² + y² = k, r = √k.

Ovvero un insieme di circonferenze centrate nell’origine e con raggio √k.

Funzioni in R e insiemi di definizione 4

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1.4 - Insiemi aperti e chiusi, connessi, semplicemente connessi

Dopo aver parlato di insiemi di definizione, è opportuno soffermarsi brevemente su un concetto che ci servirà poi in futuro. Iniziamo col dire che il dominio è un insieme di punti del piano. Parlando di funzioni in una variabile, trovavamo che se la funzione non era definita in un punto, presentava un punto di discontinuità. Un insieme di definizione in R² può rappresentare un insieme di punti in cui la funzione non è definita. In quel caso parliamo di insieme connesso o non connesso, sconnesso.

Sostanzialmente, se abbiamo un insieme generico D “bucato”, abbiamo un sistema non connesso.

D connesso

D non connesso

Un insieme generico D inoltre, può presentarsi aperto o chiuso. Un insieme aperto è una regione di spazio non delimitata da linee o curva di frontiera. Un insieme chiuso è il complementare dello insieme aperto.

D aperto

D chiuso

D frontiera di D

Capitolo 2

Limiti e continuità

f(x,y)

2.1 Continuità di una funzione 7

2.2 Limiti e Prolungabilità. 9

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2.1 - Continuità di una funzione

Dall’analisi 1, una funzione continua nel punto x₀ è una funzione in cui esistono il limite destro ed il limite sinistro al punto x₀ e quel limite corrisponde proprio al valore della funzione in quel punto.

lim f(x) = lim f(x) = f(x₀).

x→x₀⁻ x→x₀⁺

Per le funzioni di più variabili, il metodo per come è stato portato avanti in Analisi 1 non è più applicabile. Infatti, per definire se una funzione è continua dobbiamo dimostrare l’esistenza di un unico limite da infinite direzioni. Per far questo utilizziamo le coordinate polari. In questo modo prendiamo in esame un unico “vettore direzione” che indica il valore della funzione grazie ad un modulo e a una direzione (ρ,θ).

Prendendo un vettore generico nel piano, volendo verificare la continuità di f(x,y) nel punto (x₀,y₀), dobbiamo far sì che il limite coincida con il valore della funzione in quel punto. Essendo però in termini polari, il vettore ha punto di applicazione proprio in (x₀,y₀) e pertanto, calcolando il limite, ρ deve tendere a 0. Poiché θ mantiene un valore costante, ciò che deve tendere al punto è proprio il modulo di tale vettore.

Il limite considerato pertanto sarà della forma:

lim f(x,y) = lim f(x₀ + ρ cosθ, y₀ + ρ sinθ).

ρ→0

Facciamo qualche esempio:

Verificare la continuità della seguente funzione nell’origine:

Esempio 1:

f(x,y) = x²/(x² + 3y²).

Limiti e continuità 7

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Utilizziamo le coordinate polari ponendo: x = ρ cosθ; y = ρ sinθ. Quindi:

lim x²/(x² + 3y²) = lim ρ²cos²θ / [ρ²(cos²θ + 3sin²θ)] = lim cos²θ / (cos²θ + 3sin²θ).

ρ→0 ρ→0 ρ→0

Il fattore in funzione di θ è un valore limitato e al limite uguale a 0, mentre ρ → 0, pertanto:

lim ρ²/(x² + 3y²) = 0.

ρ→0

La funzione è quindi continua nell’origine.

Verificare la continuità nel punto non definito di

Esempio 2:

f = x²/(x² + 2y⁴).

Poniamo x = ρ cosθ e y = ρ sinθ e calcoliamo il seguente limite.

x²/(x² + 2y⁴) = ρ²cos²θ / [ρ²cos²θ + 2ρ⁴sin⁴θ] = cos²θ / [cos²θ + 2ρ²sin⁴θ].

ρ→0

La quantità non è una quantità limitata poiché ha al suo interno il termine 1/ρ² al denominatore. Il termine tende a infinito e quindi il limite non esiste, la funzione non è continua nell’origine.

Limiti e continuità 8

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2.2 - Limiti, funzioni continue e prolungabilità

Data una funzione in una variabile, il calcolo dei limiti ci veniva in aiuto non solo per comprendere il comportamento di una determinata funzione ma anche per capire se una funzione fosse prolungabile con continuità in un punto x₀ in cui la funzione non era definita. Presa la funzione esempio:

f(x) = sinx/x.

Sappiamo che essa non è definita nell’origine, ma è prolungabile con continuità grazie al limite:

sinx/x ~ x/x = 1, x → 0.

Lo stesso tipo di “giochetto” si può fare per le funzioni in R².

Per il calcolo dei limiti in due variabili è sempre opportuno ricondursi al limite di una sola variabile. Per far questo si utilizzano le coordinate polari che si ottengono ponendo:

x = ρ cosθ e y = ρ sinθ.

Nel caso della prolungabilità delle funzioni, il limite non solo deve esistere ma deve essere pari a 0.

Facciamo qualche veloce esempio.

Esempio 1:

f(x,y) = √|x² − y²| / (x² + y²).

La funzione non è definita nell’origine. È possibile però prolungarla con continuità?

Soluzione:

La funzione pur non essendo definita nell’origine potrebbe essere prolungabile con continuità. Come facciamo a vederlo? Poniamo il limite:

√|ρ²(cos²θ − sin²θ)| / ρ².

|cos²θ − sin²θ| ≤ 2, pertanto:

lim √|ρ²(cos²θ − sin²θ)| / ρ² = √|cos²θ − sin²θ|.

ρ→0

Il limite tende a una quantità limitata e diversa da 0, pertanto la funzione NON è prolungabile nell’origine.

Limiti e continuità 9

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Esempio 2:

f(x,y) = (e^x2+y2 − 1)/(x² + y²).

La funzione non è definita nell’origine. È prolungabile con continuità?

Soluzione:

Calcoliamo nuovamente il limite in coordinate polari:

(e^ρ2 − 1)/ρ².

Dai limiti notevoli sappiamo che se t → 0, allora e^t − 1 ~ t e quindi:

lim (e^ρ2 − 1)/ρ² ~ lim ρ²/ρ² = 1.

ρ→0 ρ→0

La funzione è prolungabile con continuità nell’origine.

Limiti e continuità 10

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Capitolo 3

Derivabilità e differenziabilità

3.1 Derivate parziali, definizione. 12

3.2 Derivata direzionale. 13

3.3 Differenziabilità. 16

3.4 Gradiente. 17

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3.1 - Derivate parziali

Una funzione f(x,y), come le funzioni in una sola variabile, possono essere studiate anche in base alla derivabilità, uno strumento che ci serve per capire come le funzioni variano, dato un certo incremento in entrata.

Dall’analisi 1, sappiamo che una funzione è derivabile in un punto se è continua in quel punto. Lo stesso si può dire per le funzioni in R² anche se bisogna aggiungere qualcosa in più. Una funzione di due variabili non può essere definita derivabile se esiste la derivata solo rispetto a x o solo rispetto a y. Una funzione f(x,y) è derivabile se esistono entrambe le derivate. Questi tipi di derivate si chiamano derivate parziali. Il concetto di base è derivare la funzione rispetto a due variabili separate, in questo caso x e y.

La derivata parziale si rappresenta come segue. Se f è la funzione in questione allora diciamo che:

f_x = ∂f/∂x e f_y = ∂f/∂y.

La definizione di derivata, come per le funzioni a una sola variabile, coincide con un limite del rapporto incrementale. Essendo tuttavia delle derivate parziali, l’incremento vale solo nella direzione della variabile soggetta a derivazione. Detto in parole povere, si blocca la seconda coordinata e si lascia variare la prima coordinata.

Data una funzione f(x,y), assegnato un certo incremento h, le derivate parziali in (x₀,y₀) sono:

f_x(x₀,y₀) = lim [f(x₀ + h,y₀) − f(x₀,y₀)]/h.

h→0

f_y(x₀,y₀) = lim [f(x₀,y₀ + h) − f(x₀,y₀)]/h.

h→0

Vediamo subito un esempio:

Esempio: f(x,y) = x² + xy + y².

f_x = 2x + y.

f_y = x + 2y.

Volendo derivare una variabile, ciò che facciamo è considerare costanti le funzioni dell’altra variabile.

Graficamente, si considera la linea di funzione lungo l’asse considerato. Ad esempio:

f(x,0) = x².

Derivabilità e Differenziabilità 12

CAPITOLO 3 – A.A. 2012/2013

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Calcolare la derivata parziale rispetto a x significa considerare il grafico f(x) = f(x,0), ovvero la parabola y = x². Nel caso della deriva