Analisi e geometria 2

20-6 Spazi affini euclidei

Per poter sviluppare l'analisi in Rⁿ dobbiamo definire i concetti di:

• Punto
• Spostamento;
• Distanze

A questo scopo definiamo gli spazi affini euclidei.

Questa è una struttura matematica costituita da:

1. Un insieme di oggetti chiamati punti;
2. Uno spazio vettoriale i cui vettori forniscono gli spostamenti tra i punti;
3. Un modo per associare ad ogni coppia di punti, un unico spostamento;
4. Un modo per misurare le lunghezze degli spostamenti.

_PQ^→ ε V

i) + ii) + iii) = spazio affine

i) + ii) + iii) + iv) = spazio affine euclideo

Spazi affini euclidei

Per poter sviluppare l'analisi in Rⁿ dobbiamo definire i concetti di:

• Punto;
• Spostamenti;
• Distanze.

A questo scopo definiamo gli spazi affini euclidei. Questa è una struttura matematica costituita da:

1. Un insieme di oggetti chiamati punti,
2. Uno spazio vettoriale i cui vettori forniscono gli spostamenti tra i punti,
3. Un modo per associare ad ogni coppia di punti un unico spostamento,
4. Un modo per misurare le lunghezze degli spostamenti.

i) + ii) + iii) = spazio affine

i) + ii) + iii) + iv) = spazio affine euclideo

Assiomi di Weyl

(Definizione 7.1, 10.1)

Siano A un insieme non vuoto, V uno spazio vettoriale e ψ una funzione

ψ: A × A ⟶ V      (P, Q) ⟶ _PQ

la struttura A_ℜ(A, V, ψ) è uno spazio affine se:

1. Per ogni punto fissato P ∈ A, la funzione

ψ_P: {P} × A ⟶ V      (P, Q) ⟶ _PQ

è biunivoca;

2. Valgono le regole del parallelogramma e di Chasles:

ψ(P, Q) + ψ(Q, R) = ψ(P, R) per ogni P, Q, R ∈ A.

Se V è dotato di prodotto scalare, la struttura A si dice spazio affine euclideo.

Spiego

1. Partendo da qualunque punto P posso raggiungere ogni altro punto Q con un unico vettore _PA e viceversa

A = ℜ^m?

2. _PQ + _QR = _PR

(x₁, x₂) (y₁, y₂) ϵ ℜ²

Esempio fondamentale

A = ℝ^m

V: ℝ^m, ℝ, +, ·, ⟨, ⟩

(A, V, Ψ) = ℰ^m

prod. scalare

A x A → V

spazio affine euclideo canonico

Ψ: funzi. diff.

L = ℝ²

P = (2, 4)

Ω = (6, 1)

Q = (x_p + x_q)

V = (v₁, v₂)

p,qθ

d(P, Q) = ||PQ̅|| = √25 = 5

Notazione

dati P ∈ L, v ∈ V si indica con P+v

P - (x_p, q_p)

Q = (x_q, q_q)

R - (x_R, q_R)

PQ̅ + QR̅ =

Definizione 7.2, 10.2, 10.3, 10.14

In E¹:

• Gli elementi P∈A si dicono punti;
• La coppia (P,Q) ∈ A × A si dice segmento orientato da P a Q;
• Il vettore PQ∈V si dice vettore geometrico da P a Q;
• La distanza tra due punti P,Q∈A è la funzione d : A × A → ℝ; (P,Q) → ||PQ||
• L'angolo tra i segmenti orientati (P,Q), (P',Q') è (P,Q),(P',Q') → P‾Q,Q'‾P';
• Siano S,T∈A insiemi di punti e P∈A, allora d(S,P) = inf_Q∈S d(Q,P) d(S,T) = inf_{(Q,Q')∈S×T} d(Q,Q') il minimo potrebbe non esistere

Esempio

In E₄ siano P = (0, 1, 2, 3) r: x + 4z + w = ay - z = 0w = -1

r : x = 1 - 2t + a = 2 - 2t

y = t

z = t

w = -1

t ∈ ℝ

Q = (2 - 2t, t, t, -1)

d(P, r) = inf_{t ∈ ℝ} √ {(0 - 2 + 2t)² + (1 - t)² + (2 - t)² + (3 + 1)²}

= inf_{t ∈ ℝ} √ {6t² - 14t + 25}

Minimizzazione

6t² - 14t + 25 → 12t - 14 = 0 → t = ⁷⁄₆

d(P, r) = √ {¹⁄₆ + ⁹⁸⁄₆ + ¹⁵⁰⁄₆ + ¹²⁰⁄₆}

Q_min = (−¹⁄₃, ⁷⁄₆, ⁷⁄₆, −1)

Proprietà fondamentali

(Proposizione 10.3)

Per ogni punto P, Q,