Analisi della deformazione- parte 2

Analisi della deformazione

Immaginiamo il corpo B (deformabile) che occupa e si identifica con una regione tridimensionale dello spazio euclideo E, questa regione di spazio regolare è limitata tra un contorno, significa che in tutti i punti è possibile calcolare il piano tangente (piano osculatore) ovvero la normale è nonente.

1. Il corpo B in queste condizioni prendo le note di configurazione di riferimento (iniziale o materiale) dove non vi è applicato nessun carico.

In seguito all'applicazione di carichi questo corpo si deforma e raggiunge mediante una legge di deformazione, una funzione "f", la configurazione deformata o (attuale) del corpo B^*.

2. Si può studiare la deformazione attraverso lo studio della deformazione dei punti, in cui associamo ad ogni punto della configurazione di riferimento X associo un punto X della configurazione deformata o attuale.

Fissando un sistema di riferimento: _i = _i (_J) (i, J = 1,2,3) f è una funzione vettoriale a 3 componenti (f₁, f₂, f₃) che ordina, che posso pensare, sia 3 componenti variabili reali (componenti) scalare ₁, ₂, ₃ D= (1,2,3).

4. B^* = f(B), f: B(0) non è altro che l'immagine del corpo B in seguito al processo di deformazione della funzione f.

Analisi della deformazione

Immaginiamo il corpo B (deformabile) che occupa e si identifica con una regione tridimensionale dello spazio euclideo E, questa regione di spazio regolare è limitata tra un contorno, significa che in tutti i punti è possibile calcolare il piano tangente (piano osculatore) ossia la normale è nonte.

1. Il corpo B in queste condizioni, prende le note di configurazione di riferimento (iniziale o naturale) dove non vi è applicato nessun carico.
2. In seguito all'applicazione di carichi questo corpo si deforma e raggiunge, mediante una legge di deformazione, una funzione "f", la configurazione deformata o attuale del corpo B^*.
3. Si può studiare la deformazione attraverso lo studio della deformazione dei punti, in cui associamo ad ogni punto della configurazione di riferimento X, ossia un punto X della configurazione deformata o attuale.

x = f(X)

Sistema di riferimento: x_i = f_i (X_J) (i, J = 1, 2, 3)

x_i = f_i (X₁, X₂, X₃)

f_i = f_i (X₁, X₂, X₃)

f è una funzione vettoriale a 3 componenti (f₁, f₂, f₃) che ogni, che posso pensare, su 3 componenti variabili reali (componenti scalari x₁, x₂, x₃).

B^* = f(B), (B^* di B) non è altro che l'immagine del corpo B in seguito al processo di deformazione della funzione f.

Requisiti di plausibilità fisica

La "f" non può essere generica, ma deve possedere delle proprietà matematiche che si rispettino dei requisiti di plausibilità fisica:

• Biettiva (in particolare iniettiva) con una corrispondenza (one to one).
• ∀x∈B deve corrispondere un solo punto x ∈ B*.
• Bicontinua (f continua con la sua inversa f^-1) e regolare per quanto necessario (differenziabile per quanto necessario).
• Preservare l'orientamento locale:
• det (gradiente di f) > 0.
• det ∇f > 0.
• det F > 0.
• ∇f il gradiente di f mi rappresenta un tensore del 1° ordine con F ∈ dim∗ tensori del II ordine che hanno determinante positivo.

Interpretazione degli assiomi dal punto di vista fisico

Interpretazione degli assiomi dal punto di vista fisico, attraverso i principi.

• Principio di impenetrabilità della materia: ∀ punti distinti di B corrispondono punti distinti di B*.
• No fusioni.
• No autocontatto.
• Iniezione violata.
• Perché dovrebbe corrispondere un solo determinato.
• Principio di non lacerazione della materia: ad un punto di B corrisponde un solo punto di B*.
• No fratture.
• Suriettività violata.
• Dovrebbe corrispondere valore per un solo elemento.

Principio di continuità della deformazione

Principio di continuità della deformazione: se f è continua, comunque il corpo si deformi nella conf. attuale, il punto Y ∈ f(X) è conf. di riferimento, anche nella conf. deformata il punto y ∈ f^-1(X).

Affinché sia regolare e continua, facciamo un esempio: non sono presenti salti.

Principio di permanenza della materia

Principio di permanenza della materia: nessuna può "trasformarsi" in una regione di volume nullo (cioè a zero) o infinito. Il volume della materia pertanto 3D->3D; 2D->2D.

Studiamo che il det(gradiente di f) > 0, con la matrice componenti parziali Rappre