Analisi 2 - Teoria

Dominio regolare

Un dominio regolare è decomponibile in un numero finito di domini, ognuno dei quali è un dominio regolare rispetto ad uno degli assi x,y.

Se D è un dominio regolare, le sue frontiere ∂D è unione di un numero finito di curve aventi in comune, a due a due, al più i punti estremi. Ogni dominio regolare è limitato e misurabile.

Dominio normale e regolare rispetto a x e y

Rispetto a x

Siano α=α(x) e β=β(x) due funzioni continue in un intervallo chiuso e limitato [a,b] ⊂ R, con a < b tali che α(x) ≤ β(x) ∀ x ∈ [a,b]

D: { (x,y) ∈ R² : a ≤ x ≤ b ; α(x) ≤ y ≤ β(x) }

Regolare se le due funzioni, oltre che continue, sono anche di classe C¹ in [a,b].

Rispetto a y

Siano γ=γ(y) e δ=δ(y) due funzioni continue in un intervallo chiuso e limitato [c,d] ⊂ R tali che γ(y) ≤ δ(y) ∀ y ∈ [c,d]

D: { (x,y) ∈ R² : c ≤ x ≤ d ; γ(y) ≤ x ≤ δ(y) }

Regolare se le due funzioni, oltre che essere continue, sono anche di classe C¹ in [c,d].

Dominio regolare

Un dominio regolare è decomponibile in un numero finito di domini, ognuno dei quali è un dominio regolare rispetto ad uno degli assi x-y.

Se D è un dominio regolare, la sua frontiera ∂D è unione di un numero finito di curve aventi in comune, a due a due, al più i punti estremi. Ogni dominio regolare è limitato e misurabile.

Dominio normale e regolare rispetto a x e y

Rispetto a x

Siano α = α(x) e β = β(x) due funzioni continue in un intervallo chiuso e limitato [a,b] ⊂ R, con a < b tali che α(x) ≤ β(x) ∀ x ∈ [a,b]

D: {(x,y) ∈ R²: a ≤ x ≤ b ; α(x) ≤ y ≤ β(x)}

Regolare se le due funzioni, oltre che continue, sono anche di classe C¹ in [a,b].

Rispetto a y

Siano γ = γ(y) e δ = δ(y) due funzioni continue in un intervallo chiuso e limitato [c,d] ⊂ R tale che γ(y) ≤ δ(y) ∀ y ∈ [c,d]

D: {(x,y) ∈ R²: c ≤ x ≤ d ; γ(y) ≤ x ≤ δ(y)}

Regolare se le due funzioni, oltre che essere continue, sono anche di classe C¹ in [c,d].

Definizione di curva regolare e retta tangente

1) Sia I un intervallo chiuso e limitato [a,b].

Diciamo che una curva φ : I→R² è regolare se l'applicazione di φ è di classe C¹ in I ⊆ [a,b] e ∀ t ∈ (a,b) il vettore φ'(t) = (x'(t), y'(t)) è diverso dal vettore nullo.

Analiticamente ∀ t ∈ (a,b)(x'(t))² + (y'(t))² > 0

2) Assegnati due valori distinti t₀ e t₁ ∈ (a,b) del parametro t, si consideri la retta passante per φ(t₀) e φ(t₁).

Poiché tali punti hanno rispettivamente le coordinate uguali a (x(t₀), y(t₀)) e (x(t₁), y(t₁)) la retta ha equazione:

(x - x(t₀))(y(t₁) - y(t₀)) - (y - y(t₀))(x(t₁) - x(t₀)) = 0

Se φ è una curva regolare, dividendo l'espressione precedente per t₁ - t₀ e passando al limite per t₁ → t₀ si ottiene la retta di equazione

(x - x(t₀)) y'(t₀) - (y - y(t₀)) x'(t₀) = 0

Essa è passante al vettore φ'(t₀) di coordinate (x'(t₀), y'(t₀)) che viene detto vettore tangente alla curva nel punto φ(t₀), mentre il vettore unitario (versore) si chiama versore tangente.

Ascissa curvilinea

Assegnata una curva rappresentazione parametrica della curva regolare e fissato t₀ ∈ [a,b], la lunghezza:

S(t) = ∫_t0^t √[(x'(t))²+(y'(t))²] dt ∀ t ∈ [a,b]

è strettamente crescente, derivabile e tale che         dSds/dt > 0 ∀ t

S:S(t) è un cambiamento di parametro ammissibile

S:[a,b] → [S(a), S(b)]

Il parametro S è detto ascissa curvilinea

Lunghezza di un arco di curva

Consideriamo una curva Ψ: [a,b] → ℜ², di classe C¹ di equazioni parametriche

Ψ(t) = (x(t), y(t)), t ∈ [a,b]

Definiamo lunghezza della curva Ψ il numero

L(Ψ) = ∫_a^b |Ψ'(t)| dt = ∫_a^b √(x'(t))² + (y'(t))² dt

Tale definizione analitica può essere ben motivata con le considerazioni geometriche poste nel teorema di rettificabilità delle curve:

Sia ψ : [a,b] → ℜ² una curva di classe C¹

Allora: 1) Per ogni poligonale inscritta nella curva ψ risulta L(P) ≤ L(ψ)

2) ∀ε > 0 ∃ una poligonale Pε inscritta nella curva ψ tale che   L(Pε