Analisi II

Riassunti analisi 2

Rdiinterr .→ Cap HAN IRfn1 I '-:7fnfa fnlxsuccessione faDI di funzioniSUCCESSIONI dipendadenotataFUNZIONI ha doppiauna cheè→ ) una. ,, .,variabiledalla XEIR dall' INindicee ne . limitefunzione→ofdi fndata funzioni fdef IRAEI Aconvergenza puntuale I puntualmentedatainfn dice insi se→suao iuna :- e -. .ttxe ftp.gfncxiefcxA 34 INttxe teA fintaIfnlxttnequivaleche o E¥:e>a, > -, ,!fissasi six muove ne fisfdata f-ndef.in AEIfunzioni IRf-data Auniformementedi I dice checonvergenza uniforme -0 insi seoesua :una : -.V' ftp.Nitnsk/fnlH-fHltEin%ea#asoe-aeeasiueE o>In tu AlV' fintaIN finUnbastaquesto equivalentementeverificare EEche 4>:o>caso e o-V. tu tnsyg.eeEN fin lfnlxi.tw/eoE o : quindi> fagia, )si( può muoveren laquando c' è× nonPiroettatoQuindi fissa figoIN della numericail successionesi siconsiderasi sup poine e cercae .tfixi.fm/E#f/ffxi-flxi/quellaQuesta txe il !Aimplica puntuale vale contrarioconvergenza : nonma,fncx fn-sfuniform.inIRfSia ICONTINUITÀ IERdi deffunzioniTEO IsiacontinueLIMITE in :→→ e :sua) una . . ,fallora )fn (f Icontinua Quindi allora f in èè usatounif I. piùcontinua cosìinè convnonse non a.. .,( intervallol' ?diventare quell'questo restringere facendo intervallocontinuadevo f inin casoSia fnlx fn-sfunif.in fnlxiIIIIEIRdef lNf IR treI ITEO fuma inINVERSIONE LIMITI di sia) :sua→ una → se ::e. .finteAllora fille )file Eni "TEO PASSAGGIO LIMITEAL fnlxSia offnfumzdi Iefadef unif AlloraIfin Ib)continue in) sua o :INTEGRALE unasono → :segno edi --. . .,.bfcxsdxaIIa a)fine )( bruttaf- fnintegrarefasi dadx èse noe= .limitef-datoDimostrazione che ferma b)-0 faunif integrabiledi continuocontinueè quindiinè ., ,. .tnzqlaffnlxidx.at /Noi vogliamo V' yen7 fcxidxdimostrare che LEE :o> . )/Dato fn-sfuniftcisoty.HN treyche fastha lfnixi 'si ± gn# E: °s →%g. = -. » Stai /dxt/ If d'Quindi fa '"fissato datottnzu linearitàottengo chela integrodegliscelgo 'E perE e e ee> o ,,! atfcxidxt East!/ Itefgtimida datofinallora idx allorache che feg# affoga e see-- bajlfnixi-fcxildxefsya.bg/fnki-flN/dx=feya%1fnixi-fixillb-Jaessupa alloraquindi a) a)gnlb= -a ( )def fa' allora dato c'' cheE g.nlper Ea)e (b- a)<g. e<E b-< . DC. V ..PASSAGGIO LIMITEALTEO fnlx )èSia (DERIVATA classeallasotto di derivisegno continuederivfuma appartiene) di→ sua e conuna . ..b)[def sfSia fn puntualmentef Iin IR II. ine a. :→: - ..filaInoltre nuitogsua -. . 'ÈnlxtefIgf-fn-sfvnif.in figAllora fèderivI ovvero ., . ,

Cap 2 serie funzioni di

fnlxisn exiti- IlE funzionidiEI Snlxitt laA successione dettasupponiamo checonvergenza puntuale → xe sua .parzialidelle limiteammetta finito scxi-fi.snScxsomme ' "ovvero) , .Ripasso criterio Liebniz : La funzionidi fncxserietant Scx Asuccessione inpuntualmenteconverge) econ )a:def20Un1) . Èlao+ se→ S'in ffnxdella)o )-2) seriean ) ×è somma ovvero =, .def3) anni ane, È A l'.tv puntualidiAllora insiemeconvergean è convergenza: .serie geomI È"ÌX [ "esempi ' 1'puntual '×divergesse ×iii. =converge Kiss ': ssa xzs xe issee - ,,. ., È" "EèÈ puntuale co×l ;l 1 econverge sse xao =→ , ItÈ#" "CORTI Zlsenx ×Izupunt' ) )" ." × lsenxki Et# =#E× ssa × ×→ ×come ,., . . V' IfnlxilEfnlx A XEAla serie in la serieASSOLUTAMENTECONVERGECONVERGENZA seASSOLUTA )-0 convergee× .puntualela assoluta implica la viceversaconv nonma .. ,¥" Ix¥ ) Liebnitz Ifnlxif Ecritti E puntesempio Quindiconverge serielaper seconverge: ×se ; >× so>. . ., )etapuntualmente in (1 1> #×Comu converge assoseamo nonmae ,. .. •È £ adunif laASH) funzn' diin unif× )Comu SncxCONVERGENZA seUNIFORME → sua ) Comu. .. . .A dellenelSca in successioni) sensoa .La puntualeunif impicca la viceversaconv ma non ... ,la Afncx ZMNtotalmente taleserieconvergenza totale → in) cheseconverge E× sua nun ..ÈIfnlxsl ttxe NtreAMn risultaE convergentela serie Minnumericasee .La leimplica tuttetotale altreconvergenza . ÌÈÈÈ le fa/ fa latotalmente IR convergentecosi seriennesempio coscnx )in poiché èeconverge non: .., ,Quindi assolutamente puntualmentela IRserie uniformemente inconverge , .,CONTINUITÀTEO SULLA SOMMADELLA Sia→ fnlx funzioni Scontinue IRdefdi Isuccessione) IEIRUNADI serie inuna : >e -.È Fn Suppongola inoltredella sui ' fnlxi"serie chesomma converga=ovvero a., AlloraScx uniformemente sai continuae-) ..INTEGRAZIONETEO TERMINE A fnlxSia funzionidi IRIEIRdef ISincontinue) siaTERMINE →sua :una→ e. .È fnixifnixi Supponiamo uniformeche SLX )scx ) converga=con a. ..}tfncx}È )Allora dxdx cxi) =TEO DERIVAZIONE TERMINE 'fncx ( )funzioni classe CTERMINE didi iv. continua→ IERder defA ) deriv insua e con. . .ÈÈ .fi.tn SupponiamoS tale '"suiRsia laI che serie '"chee o =: - . È filmc' s'Alloraunif classe valediSconverga è e = .. .

Cap 3 serie di potenze

AP( 3 centrata nell'potentePOTENZESERIE serie tipo→ diDI questodi origine èuna :ÈÈra azxlt #of tx taot at# a. t=) K= ... ... tipoquestopuntocentrata dipotenze e-di in Xo #serie o :ununa Taft ""¥0 ) LX( )ask Xo tazlx) tXo XoX taot ada = - - -- # .. . .. .L' siora Lapunt vuotopuò) serieininsieme (di ICP esserenon comu⇐ o →Comu : . .. . raggioavente nulloICP generalizzato infinitoraggio di convergenzaDI → è pun o, .Quindi IR Ipso seriettxeserie lxkpin econvoconverge o o :o ⇐una .diverge lxlspper . È akxk }fxeltldefinire XPossiamo X converge:sup =p = ,Quindi hoX } XHRInoltre to20 sse ssasemprep o ;p p== =.haTEOREMA finitodipotenzeLa di lxlspserie-0 lxlcpraggio Comup essa perconv persse e non. ..Se in)inoltre assoluti intervallo( uniftotallxlcp quindi ognicomeop essa percono> .., ... dire sullaE- fp] innullaNonlimitato )chiuso puòsi ±a. c pa convergpe + =, . ..Loca cp !{{KÈla Allora¥¥òIlCRITERIO DIRICERCA CONVERGENZA HADAMARDDIRAGGIO CAUCHY f-→ 0se = A:-)« radicerit . fattoU %§fil / ?!IlD'CRITERIO AlloraALEMBERTDI→ aria secon: = p = .)rapportocit( . fattoLa derivataserie terminederivandoottenutaDERIVATASERIE E SERIE INTEGRATA laè- 0 a" asizaaxt.tkq.FItermine la diserie potenze Kay: = ..ottenutala serieLa termine termineintegrata integrandoserie→ laè aLÌ II #È '' ¥+4Èpotenzeserie di +aoxt +=: .. ...loha stessoserieTEO di dellapotenzedi→ raggiouna: convergenzadelladerivataserie integratasua seriesuae .TEO DERIVAZIONE INTEGRAZIONEDIEDI faiSe la di potenze lahaserie raggio di è→POTENZE #DELLE SERIE DI sua0comu p e se.È "fai ttx×aksomma lxlepovvero o= p >:, ,'Allora f È ' ttx httpcx ) Kate := " 'ÈI ttx lxicpdt ×A) := "Èdata potenze arlxdi xDCRITERIO ABEL serieDI pattoo acon-unao- tale "Èlaserie in seriese akpconvergexotpe- seconverge ovvero )(ftp.E.xotp ]Allora la unifpotserie tipoint delin analogodi occcpconverge xopper #.. . ,Invece la totale ]lxo-p.IEintsolo delgarantita tipocomv è per ocecpxotp E-.. , ,

Cap 4 serie di Taylor

Data ( b)f chiediamo:( Zb) serieIR cid ex. a. seuna →a. e unadi potenze di iniziale flxin b)punto ( )xo a. versoComu . ."tazlx-xof-t.tt tot[f- KE xD amaotaslx klxXo d')( errore)× -con- - ⇐ftal inizialesviluppabilein potseriesi dice che in di puntodiècaso .in b)laXo , .Teo unicità dellodi sviluppo "ÈlaData ptserie di aklx la→ finXDin dipotenzeserie siadi raggio p- con sua» sommacomu :. .f- È ' ttIN xDaklx ix. xd lp= ×- :Allora derivataf- navaletmallora laP )(infiniti deriv mesixolcpix.èla per :..ÈIIÌÈMKIK lk-mtitaklx-x.fm ' fquindiD sviluppabile° èecon- a =*. . . ÌÌ -£' """ or" "* "nella Èf-forma ttserie Ixin la ) tapa) x.xo ×= :- - .,-(SERIE )TAYLOR SERIEDI MACX. DIO LAURIN-0=applico termine terminederivDIMOSTRAZIONE volte teoil: dima a.È' te 'f-seriele xDKarldi potente × 2a)imaper =nn;-: = ,XKÈ" klk-harlx-xof.rof- ( ecc ., .2 CXÉÈMKCK' m' FIf-dimostrare DPer la tramutarparte scrivoseconda : - -0m' am-o amlx-xot.IT?In+,klr-D--lk-mtDarlx-xoF")() ml nati(m= mi --. Éte' 'f- da cuiKbarrimaneponendo Xo are× →= = !KÈf- ¥ ' ? di( v.c.xD= x ..Condizione suff svilnpper '" / MEfffai funzione E,. ttxe7 b)E (b)la Leocostanti M→diin inserie :Taylor in a.e ,,ttxoelaib) f- èsvilnp Taylor punto inin làinizialedi b)diserie x. .,.In particolare le fbasta che derive di equiliwitate b)siano Cain , .¥ "È geometrica)serie(Sviluppi ×Lauria 1×1Mac 1a=→ ,ÈIologhi )( × 1×1<1 integrato" )=) ( ho)ti la serie* geomo= , . ?Ì!ÈÌ )EZotti IIarctglx integrato) la( xpIN ho dies= geom argo -,IÌ Fi )è È(Io R e =× e= ,ÉTÉ xenaATsinx = " ,Zotti Rxecosi = ,I-12h× IRÈsenhx