Analisi 2 - Teoria

Parte CIITSerieDef.

Serie convergente

Def. (Serie convergente) Sia (a_k) una succ. in IR, poniamo S_m = Σ a_k a₀+...+a_m ∀ m ∈ IN. Si dice che la serie Σ a_k converge se S_m converge e allora si pone _k lim S_m = GR e si chiama somma della serie. (S_m) = succ. delle somme parziali e la serie si dice convergente.

Serie divergente

Def. (Serie divergente) Se (S_m) è divergente allora si dice che la serie diverge e se Δ lim S_m = ∞ la serie è assalome.

Serie assolutamente convergente

Def. (Serie assol. convergente) Sia (a_k) succ. in IR, la serie Σ a_k si dice assolutamente convergente se Σ |a_k| converge.

Criterio del confronto

Siano (a_k)_k∈IN succ. reali non negative. Se 0 ≤ a_k ≤ b_k ∀ k ∈ IN e Σ b_k converge ⇒ Σ a_k converge e Σ b_k diverge ⇒ Σ a_k diverge.

⇒ Confronto assimilato: siano (a_k)_k∈IN succ. reali non negative a_k = b_k + o(b_k) per k → ∞ ⇒ Σ a_k converge ⇔ Σ b_k converge.

Criterio del rapporto

Sia (a_k)_k∈IN succ. in IR a termini non negativi.

• Se I k+1 < ≤ I a_k ∀ k => la serie converge.
• Se I > 1: a_k+1 > ≥ I a_k ∀ k => la serie diverge.

⇒ Rapporto assimilato: sia (a_k) succ. non negativa.

• Se lim (a_k+1/a_k) = Se lim (a_k+1/a_k) = 1 and (a_k+1/a_k)

Serie alternante

Sia Σ (−1)^k a_k, a_k ≥ 0 si dice serie a segni alternanti prot.

• Se k pari ⇒ (−1)^k a_k ≠ 0
• Se k dispari ⇒ (−1)^k a_k < 0

Criterio di Leibniz

Se (a_k)_k∈IN succ. decrescente a_k ≥ 0 se Σ (−1)^k a_k è convergente ⇒ Se Σ (−1)^k a_k è convergente.

Parti e CITI

Confronto

Sia (a_k) una succ. in ℝ, poniamo S_m = a₀+...+a_m ᐧ m ∈ ℕ. Si dice che la serie Σa_k converge se S_m converge e allora S_m è successione delle somme parziali e la serie si dice convergente.

Divergenza

Se (S_m) è divergente allora si dice che la serie diverge e se a lim S_m = ∞ la serie è divergente.

Assol. convergenza

Sia (a_k) succ. in ℝ, la serie Σ |a_k| si dice assolutamente convergente se Σ |a_k| converge.

Criteri

Siano (a_k), (b_k) succ. reali non negative. Se a_k ≤ b_k ∀k ∈ ε

Confronto

Siano (a_k)_k∈ℕ, (b_k)_k∈ℕ succ. reali non negative. Se ∀ (k ≥ 1): a_k ≤ b_k, tutte le due serie convergono o divergono → Se ∑ a_k converge, > a_k + b_k convergono: => ∑ a_k convergente ∑ b_k converge.

Rapporto

Sia (a_k)_k∈ℕ succ. in ℝ.

• Se l k+1/ la serie converge
• Se l > 1, ∀k, a_k+1/ l => la serie diverge

→ Rapporti asintotici: sia (a_k) succ. non negativa.

• Se lim (k→∞) |a_k+1|/|a_k| la serie converge
• Se lim (k→∞) |a_k+1|/|a_k| > 1 => la serie diverge

Alternata

Sia ∑ (-1)^ka_k, a_k ≥ 0. Si dice serie di segni alternanti.

• Se k pari => (-1)^k a_k > 0
• Se k dispari => (-1)^k a_k

Criterio di Leibnitz

Se (a_k)_k∈ℕ succ. decrescente, a_k ≥ 0 se lim (k→∞) a_k = 0 => ∑ (-1)^ka_k è convergente.

Complessi

Def. (Num. complessi)

Sia l'insieme C dei numeri complessi: H={(a,b), a,b ∈ R} con le operazioni: (a,b)+(c,d) = (a+c,b+d) ; (a,b)*(c,d) = (ac-bd,ad+bc).

C è un campo con queste operazioni: elemento somma (0,0), elemento prodotto (1,0).

Identifichiamo R con {(a,0); a ∈ R} e poniamo i : (0,1) e verifichiamo i² = -1 ; i* : (0,1),(0,1) -> (-1,0) = -1.

Def. (Forma algebrica)

(a,b) = a+ib dove a+ib si dìa forma algebrica dei num. complessi. Diciamo che M a+ib |