Analisi 1 Teoria "Insiemistica e Topologia" [cap. I]

Analisi 1

Il capitolo i numeri reali è un ente matematico atto a misurare le lunghezze.

1. È contenuto n volte in 2 in questo caso k ∈ _N.
2. K è contenuto n volte in 2 k ∈ _N.
3. N ∈ _N.

Tuttavia esistono segmenti incommensurabili tra loro, per esempio il lato e la diagonale di un quadrato.

Per questo motivo si ha avuto l'esigenza di espandere i numeri razionali, nei numeri reali.

Per rappresentare i numeri reali si utilizzò la retta.

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Il simbolo universale dell'insieme dei numeri reali è: "R" numeri reali.

N = {1, 2, 3, ...}

Z = {0, 1, -1, 2, -2, ...}

Q = {^k/_n ; k ∈ Z, n ∈ N}

Q è denso in R.

∀a, b ∈ R : a < b ∃ ε ∈ Q : a < ε < b.

t.bechè R \ Q = {χ ∈ R | χ ∉ Q}

[sottoinsieme tra insiemi]

I numeri irrazionali sono presenti in maniera molto maggiore in R rispetto a Q.

_H (4) a ∈ R \ Q protesi _N ∨ _{x ∈ Q} ∃ x ∉ Q tess

Analisi 11 capitolo: I numeri reali

È un ente matematico atto a misurare le lunghezze.

1 è contenuto k volte in 2 in questo caso k ∈ ℕ.

3 è contenuto ^k/_h volte in 2 k ∈ ℤ, h ∈ ℕ.

Tuttavia esistono segmenti incommensurabili tra loro, come ^{per esempio} il lato e la diagonale di un quadrato.

Per questo motivo si ha avuto l'esigenza di espandere i numeri razionali nei numeri reali.

Per rappresentare i numeri reali si utilizza la retta.

------------------------------

Il simbolo universale dell'insieme dei numeri reali è "ℝ" : numeri reali.

ℕ = {1, 2, 3, 4, ...} ; ℤ = {0, ±1, ±2, ±3,...}

ℚ = {^k/_h: k ∈ ℤ, n ∈ ℕ;}

ℚ è denso in ℝ.

∀ a, b ∈ ℝ: a R \ Q = {x ∈ ℝ | x ∉ ℚ}

^{Sottoinsieme tra insiemi}

ℝ \ ℚ = {x ∈ ℝ | x ∉ ℚ} mentre i numeri irrazionali sono presenti in maniera molto maggiore in ℝ rispetto a ℚ.

∀ n ⊆ ℝ \ ℚ ^notes ∀x ∈ ℚ ∃x ∉ ℚ ^test

Ragionamento per assurdo

∃ x ∈ ℚ : a + x ∈ ℚ allora, posto b = a+x allora: a ≤ b-x b ∈ ℚ x ∈ ℚ.

Le differenze tra 2 razionali da 1 razionale questo è assurdo!!

Per confermare la tesi la neghiamo!

Proprietà fondamentali o assiomi

Caratterizzazione assiomatica della retta reale

Proprietà della somma

1. Associativa

∀ a, b, c ∈ ℝ (a + b) + c = a + (b + c)

2. Commutativa

∀ a, b ∈ ℝ a + b = b + a

3. Esistenza dell'elemento neutro

∃ ∈ ℝ : ∀ a ∈ ℝ a + = a

4. Esistenza dell'opposto

∀ ∈ ℝ ∃ x ∈ ℝ : a + x =

Unicità dell'elemento neutro

Per assurdo: siano ≠ ₁ un altro el. neutro + ₁ = ₁ + = * sono uguali.

Unicità dell'opposto

Per assurdo: siano x x₁ opposti di a x ≠ x₁.

x + x₁ = x' = x' (a + x) = x + (a + x) = ⟑ x = x assurdo.

Dato a ∈ ℝ l’opposto di a si denota -a.

Dit. ∃b ∈ ℝ anziché scrivere b + (-a) scriviamo b = a.

1. Associazione

∀a,b,c ∈ ℝ (a·b)·c = a·(b·c)

2. Commutazione

∀a,b ∈ ℝ a·b = b·a

3. Esistenza dell’elemento neutro

∃1 ∈ ℝ : ∀a ∈ ℝ a·1 = a

4. Esistenza del reciproco

∀a,x ∈ ℝ a·x = 1

5. Distribuzione

∀a,b,c ∈ ℝ a(b+c) = ab + ac

Il reciproco di a si denota a^-1.

∀a ∈ ℝ a·0 = 0. Infatti: a·0 = a·(-2) = a·2 + (-2) = a·(1+0) + (-2) = 0, a o 2 o 0 = 0.

Legge dell’annunciamento del prodotto

Siano a,b ∈ ℝ. Allora: a·b = 0 ⇔ a = 0 V b = 0.

Dir.: già visto poco sopra.

Dim.: sia a·b = 0. Per assurdo neghiamo la tesi: ∃a ≠ 0 Λ != =) อายุของสัตว์หลาย ๔ พันธุ์ที่มีความจำเป็นที่จะต้องจำเป็นที่จะต้องสังหารินะสินะ.a : a + 1 = (b|b∉*) = ab; b^t = 0; b⧽a⧽a.

Relazioni dell'ordine

a < b

a ≤ b ⇒ a < b ∨ a = b

1. Riflessiva

∀a ∈ ℝ   a ≤ a

2. Transitiva

∀a,b,c ∈ ℝ   a ≤ b ∧ b ≤ c ⇒ a ≤ c

3. Antisimmetrica

∀a,b ∈ ℝ   a ≤ b ∧ b ≤ a ⇒ a = b

4. Dicotonica

∀a,b ∈ ℝ   a ≤ b ∨ b ≤ a

5. Rispetto alla somma

∀a,b,c ∈ ℝ   a ≤ b ⇔ a+c ≤ b+c

6. Rispetto al prodotto

∀a,b,c ∈ ℝ   a ≤ b ⇔ ac ≤ bc   Con c > 0

7. Axioma di completezza

∀A,B ⊆ ℝ : A ≠ Ø, B ≠ Ø e ∀x ∈ A ∀y ∈ B   x ≤ y allora ∃c ∈ ℝ : ∀x ∈ A ∀y ∈ B   x ≤ c ≤ y.

* Una conseguenza importante di tale assioma è la seguente proprietà:

Estrazione della radice _n-simma

∀a∈ℝ, ∀n∈ℕ ∃!c∈ℝ⁺ : cⁿ = a_{un solo}

Idea della dimostrazione

Posto A = { x ∈ℝ⁺ : xⁿ ≤ a } B = { y ∈ℝ⁺ : yⁿ > a } si prova che valgono le premesse dell'assioma di completezza.

Quindi A e B ammettono un elemento separatore unico: cⁿ = a.

Norma relativa all’assioma

A = ∈ℝ, A ≠ ∅.

A ammette un max ∃ M ∈A : ∀ x ∈A x ≤ M.

Unicità del massimo

Se tale elemento esiste esso è necessariamente unico infatti:

Sìa Mʹ dotato delle stesse proprietà:

M^ʹ ∈A ↕ Mʹ ≥ x ∀ x ∈ A. Allora M^ʹ ≥ M (in quanto M è di massimo).

M ≥ Mʹ (in quanto Mʹ di massimo).

Quindi (proprietà transitiva) M=Mʹ.

M = max A.

A ammette min: ∃ m ∈A : ∀ x ∈A m ≤ x.

m è unico.

m = min A.

Esempi

Es: A = [1, 3] = {x ∈ Rx ∈ A ⊂ R ⇒ 1 ≤ x ≤ 3.

∃max A = 3 ⇔ ∀x ∈ A.

∈min A ∃m ∈ A : m ≤ x ∀x ∈ A infatti ∀m ∈ A ∃x ∈ A : x.

Es: A = {n/n+1 : n ∈ N} = {A = ]1/2 , 1[.

∃ min A = 1/2.

∈ max A.

1/2 ∈ A | 1/2 ≤ x ∀x ∈ A.

1/2 ≤ n/n+1 ⇔ 1/2 ≤ n/n+1 ⇔ u+1-2n / 2(n+1) ⇐>1-u/2n ≤ ⇐> 2n+2 > 0 (n ∈ N) ⇐> n ≥ 1.

ver ∀n ∈ N.

∈ max A in quanto la successione data è strettamente crescente.

Vn ∈ N / n/n+1 ⇐> n+1/n+2.

Infatti n/n+1 ((n+1)(n+2) ver ∀n ∈ N.

∀M ∈ A, ∃x ∈ A : x > M.

A ⊂ R A ∉ Q, ∃ L ∈ R.

A è limitato se ammette maggioranti.

Definizione del maggiorante

Diciamo che L è un maggiorante di/per A se, ∀x ∈ A L ≤ x.

L'insieme dei maggioranti forma un segmento illimitato a destra.

A è limitato se ammette maggioranti.

" è un minorante di se: ≤ ∀ ∈ si dirà inferiormente limitato se ammette un minorante: ∃ ∈ : ∀ ∈ ≤ e è limitato ⇔ ∃, ∈ ∀ ∈ ≤ ≤ ={/+1; ∈ }.

Proprietà n°1: esistenza dell'estremo superiore

1) Sia ⊂, ≠ ∅, superiormente limitato, ={ maggioranti di }={ ∈ | ∀ ∈ ≤ } ∃.

Dimostrazione

Osserviamo che e verificano le ipotesi dell'assioma di completezza: ≠ ∅ ≠ ∅ ∀ ∈ ∀ ∈ ≤.

Pertanto: e ammettono un elemento separatore, cioè: ∃ ∈ : ∀ ∈ ∀ ∈ ≤ ≤.

È un maggiorante M è il più piccolo dei maggioranti.

Il numero M* = min B s.d.z estremo superiore si scrive: M sup.

Esso è:

• Unico (Un quanto definito come massimo dell'insieme
• Caratterizzato dalle due seguenti proprietà, vedi prog. seguente)

1) ∀x ∈ A    M ≥ x

2) ∀ε > 0   ∃x ∈ A : x > M - ε

M = max A     ⇒     M = sup A.

1) ∀n ∈ &naturals;      m/n &leq; 1

2) ∀ε > 0   ∃x ∈ A   :   x > M/n_H   ⇒   x > 1 -ε.

A ⊆ B  ⇒; sup A ≤ sup B.

M' ≤ M.

Convenzione

Se A non è superiormente limitato scriveremo: sup A = +∞.

Prop. 1.2 esistenza dell'estremo inferiore

Ip) Se A ≠ &emptyset; A inferiormente limitato sia B:

B = { y ∈ &reals; |∀x ∈ A   x ≥ s }

Th) Allora ∃ max B.

m = max B   si dice estremo.

M = inf A.

Costituito dalle due seguenti proprietà:

1. ∀x ∈ A   m ≤ x
2. ∀ε >0   ∃x ∈ A:   m

Comportamento rispetto all'inclusione:

A ⊆ B  ⇒  inf A   ≤   inf B.

Se A non è inferiormente limitato scriveremo: inf A = -∞.

Valore assoluto

Dato  a ∈ ℝ,  definiamo:

|a| = {   a se a ≥ 0   -a se a rappresenta la distanza di a dall'origine.

Dato  -v |a| ≤ v ⇔ -v ≤ a ≤ v.

Proprietà della somma

∀a,b ∈ ℝ|a + b|  ≤  |a| + |b|.

Esi:  a = 3,  b = ±2.

|a + b| = |1| = 1.

|a| + |b| = |3| + |2| = 5.

Proprietà del prodotto

∀a,b ∈ ℝ|a  b| = |a|  |b|.

Distanza di due punti

d(x,y) = |x - y| = |y - x| = |x - y|.

Intorno ad un punto x₀ ∈ ℝ

Dato v₀ |x - x₀| < v₀.

I_v(x_o) = {x ∈ ℝ | |x-x_o|.

I fatti: |x-x_o| ≤ v ⇔ x_o-v ≤ x ≤ x_o+v.

Immagine I_v(x_o) = [x_o-v, x_o+v].

Topologia della retta reale

(Ip) A ⊆ ℝ, A ≠ ∅, x_o ∈ ℝ.

1. x_o è interno ad A se: ∃ v > 0: I_v(x_o) ⊆ A.

à = {punti interni ad A}.

Nell’esempio data

1. A = ]1, 3[ tutti si dice che x_o ∈ ]1, 3[ cioè 1 o

Allora scelto v > 0 tale che: 0 o-1, 3-x_o) se . . . I_v(x_o) ⊆ A.

Se scelgo x_o = 3 allora ∃?

Analogamente 1 ∈ I(A).

x_o è di frontiera per A se: ∀ v > 0: I_v(x_o) ∩ A ≠ ∅.

Int(A) = {punti di frontiera per A} confondente.

Frontiera per A.

Int(A) = {1, 3}

3. x_o è di accumulazione per A se: x_o ∉ A ∀ v > 0:I_v(x_o) ∩ A \ {x_o} ≠ ∅.

Ad es. A = {1/n, n ∈ ℕ}

A = {1/n | n ∈ℕ \{ }

Osserviamo che 0 ∉ Am è p.to d. accumulazione per A.

A(a) = {punti d'accumulazione di A}.

∀ > 0 I_(x)(0) ⊘ A \{0} ≠ ∅.

1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·· ·, x ∈ A ∈ x ∈ A x ∈ A.

Vi sono altri p.ti di accumulazione?

Sicuramente i punti di A non lo sono.

∞ n!

I_(x)(0) ⊘ A \{0} ⊆ {2/n | n ∈ ℕ}.

Mi basta scegliere ∀ > 0 I_(x)(0) ⊘ A = {2/n + 5}.

0 < v ≤ min {¹/_n - ¹/_m; ¹/_m - ¹/_{n + 1}}.

4. X₀ è isolato in A se: (X₀ ∈ A) ∞ > 0 : I_(x)(X₀) ⊘ A \ {X₀} = ∅.

I_(0)(0) ⊘ A = {X₀}.

I_(0)(X₀) ⊘ A = {X₀}.

I_(A) = {punti isolati di A}.

Nel caso precedente I_(A) = {0} I_(A) = A A = ∅.

I_(A) = {0,v|n | n ∈ ℕ;}.

I_(A) = A ⊙ {0}.

A = ∅ infatti sia X₀ =.

Un insieme A per avere punti interni deve contenere un intorno.

Qui insieme espresso nella forma A = {2n ; n ∈ ℕ;}.

℡(A) = {0} ∪ A.

℡(A) ⊆ ℡(A).

es: A = ]1,3[.

℡(A) = ]1,3[.

A^* = {1,3}.

A(A) = [1,3].

℡(A) = ∅.

Chiusura di un insieme

Dato A ⊆ ℝ, A ≠ ∅.

Si chiama chiusura di A l'insieme:

A̅ = A ∪ A(A).

A̅ = A ∪ A^*(A).

Ad esempio ]4,5[ = [4,5].

{1/n ; n ∈ ℕ;}= {1/n ; n ∈ ℕ;} ∪ {0}.

Insiemi chiusi ed aperti

A si dice chiuso se A̅ = A ovvero se A ⊇ A(A).

A si dice aperto se contiene solo punti interni.

A = Ã A risulta aperto se il suo complementare è chiuso.

A risulta denso se il suo complementare è perfetto.

Approfondimento

Intuizione, esempi.

Prop 1.3 definizione equivalente di punto di accumulazione

Le due seguenti condizioni sono equivalenti. Dato a ∈ ℝ, x₀ ∈ ℝ.

1. x₀ ∈ A(A) — cioè: ∀v > 0, Iᵥ(x₀) ∧ A \ {x₀} ≠ ∅.
2. ∀v > 0, Iᵥ(x₀) ∧ A è infinito.

Dim 2 ⇒ 1 ovvio.

1 ⇒ 2 se x₀ ∈ A(A) e per assurdo che non valga 2) ossia: ∃v₀ Iᵥ(x₀) ∧ A è finito.

Immaginiamo dunque Iᵥ(x₀) ∧ A = {x₀} è finito, e ∃ Però noto Iᵥ(x₀) ∧ A \ {x₀} = {x₁,…,xₙ} ≠ x₀.

⎯ x₀ ⎯⎯⎯⎯ xₖ ⎯⎯⎯⎯⎯ x₀ᵥ ⎯⎯⎯⎯⎯ xₙ⎯

δ = min {|x₁-x₀|, ..., |xₙ-x₀|} δ > 0.

Scegliamo quindi ρ in modo tale che 0 Iᵨ(x₀) ∧ A \ {x₀} = ∅ ASSURDO.