Analisi 1 Teoria "I Numeri Complessi" [cap. III]

I numeri complessi

x² + 1 non ha soluzione ẑ campo reale ma ha ḕ campo complesso.

I numeri complessi: Copie di numeri reali, ossia numeri bidimensio... (incompleto) in cui vengono definite opportune operazioni di somma e prodotto.

Si denota l'insieme complessi con: C (incompleto).

Si può identificare tramite un sistema di riferimento cartesiano con ḯnsiem... (incompleto).

Piano complesso o di Gauss

Dati z₁ = (a₁, b₁) ℂ (incompleto)

z₂ = (a₂, b₂)

Somma vettoriale di complessi

Definiamo:

z₁ + z₂ = (a₁ + a₂, b₁ + b₂)

Valgono (e proprietà 1234 (incompleto) giá viste per ℝ (incompleto)

I numeri complessi

X² = -1 non ha soluzione in campo reale ma la nel campo complesso.

I numeri complessi: Coppie di numeri veri, ossia numeri bidimensionali.

Si vengono definite opportune operazioni di somma e prodotto.

Si denota l'insieme complessi con ℂ.

Si può identificare tramite un sistema di riferimento cartesiano con l'insieme dei punti del piano R².

Piano complesso o di Gauss

Dato z₁ = (a₁, b₁) ∈ ℂ

z₂ = (a₂, b₂)

Somma vettoriale di complessi

Dettiamo:

z₁ + z₂ = (a₁ + a₂, b₁ + b₂)

Valgono le proprietà 1, 2, 3, 4 già viste per R.

Prodotto di complessi

Z₁ ∙ Z₂ = (a₁d₂ - b₁b₂, a₁b₂ + b₁d₂)

Anche qui valgono le proprietà già viste per numeri ∈ R.

In questo caso l'elemento neutro è la coppia (1,0).

(a,b) (1,0) = (a,b)

Dato z ∈ ℂ

a = parte reale = Re z

b = parte immaginaria = Im z

L'asse x prenderà il nome di Asse reale mentre l'asse delle ordinate il nome di Asse immaginario.

Le coppie (a,0) quindi saranno appartenenti ad RR ⊆ ℂ.

Le coppie (0,b) si diranno numeri immaginari puri essi si trova.

L'unità immaginaria

L'unità immaginaria è (0,1).

L’unità immaginaria si denoterà quindi i.

Osserviamo che:

(0,1)² = (0,1) (0,1) = (0 ∙ 0 - 1 ∙ 1, 0 ∙ 1 + 1 ∙ 0) = (-1, 0)

cioè:

i² = -1

√-1 = i

Ma non solo:

∀ a ∈ ℝ i ∙ a = a ∙ i = (0,a)

Forma canonica di un numero complesso

Z = (a,b) ∈ ℂ

z = a + ib

Alla luce di tale dimostrazione somma e prodotto si possono riscrivere come segue:

z₁ + z₂ = a₁ + a₂ + i(b₁ + b₂) = a₁ + a₂ + i (b₁ + b₂) Somma

z₁ · z₂ = a₁ a₂ - b₁ b₂ + i(a₁ b₂ + a₂ b₁) = a₁ a₂ - b₁ b₂ + i(a₁ b₂ + a₂ b₁) Prodotto

Modulo di un numero complesso

|z| = √(a² + b²)

Proprietà

|z| = 0 ⇔ a = 0 ∧ b = 0

∀ z₁, z₂ ∈ ℂ

|z₁ + z₂| ≤ |z₁| + |z₂|

|z₁ - z₂| = |z₁| · |z₂|

Congiugato di un numero complesso

z = a + ib è il numero z = a - ib.

In particolare z = z ⇔ b = 0 ⇔ z ∈ ℝ

z·z = a² + b² = |z|²

In particolare se z ≠ 0 cioè |z| ≠ 0, posso dividere entrambi i membri per |z| ottenendo:

z · z^¯ / |z|² = 1

Dunque:

∀ z ∈ ℂ ∃ z^-1 = Ζ ₁/^|z|2 Reciproco di _z

Esempio

z = 1 + 3i → z^-1 = _{1 - 3i}/^2_z2 = ₁/¹⁰ - i (₃/¹⁰)

Allo stesso modo:

(1 + 3i)^-1 = ₁/^{1 + 3i} = _{1 - 3i}/^{(1 + 3i)(1 - 3i)} = ₁/¹⁰ + i (₃/¹⁰)

Calcolo frazionarlo

_{1 + i}/^{3 + 2i} + _{2 - i}/^{1 + 2i} = _{(1 + i)(3 - 2i)}/^{32 + 22} + _{(2 - i)(1 - 2i)}/^{1 + 22}

x2 - 8i + 3; 4i + 2 = _{4 - i - 2}/⁵ = _{10 - 5i}/¹³ = ⊆

Operazioni elementari

• Si verificano le operazioni elementari:

Ζ₁ + Ζ₂ = Ζ₂ + Ζ₁

Ζ₁ ⋅ Ζ₂ = Ζ₂ ⋅ Ζ₁

Rappresentazione polare e trigonometrica di un complesso X

|z| = ρ = √_{a² + b²}

α = Θ θ = angolo che il segmento OZ forma rispetto al semiasse positivo reale.

Determinato dalle condizioni:

cos Θ = _a/^ρ   sin Θ = _b/^ρ

z = ρ (cos Θ + i sin Θ) = Forma polare del numero Z

Segmento di Z Θ = arg Ζ

Esempio

ζ = 1 + i √3

Es 2

z = 1 + i√3

|z| = √2 + 3 = √4 = 2

cos Θ = ¹/₂, sin Θ = ^√3/₂

Θ = ^π/₃

z = 2 [cos ^π/₃ + i sin ^π/₃]

Es 3

z = -1 + i

|z| = √2

Θ = ³/₄π

cos Θ = ^√2/₂

sin Θ = ^√2/₂

z = √2 [i sin ³/₄π + cos ³/₄π]

Es 4

z = -2

|z| = 2

Θ = π

z = 2 [cos π + i sin π] = 2 [-1 + 0i] = -2

Prodotto di numeri complessi in forma polare

z₁ = ρ₁(cos Θ₁ + i sin Θ₁)

z₂ = ρ₂(cos Θ₂ + i sin Θ₂)

z₁z₂ = ρ₁ρ₂(cos Θ₁ + i sin Θ₁)(cos Θ₂ + i sin Θ₂)

= ρ₁ρ₂(cos Θ₁cos Θ₂ - sin Θ₁sin Θ₂ + i (cos Θ₁sin Θ₂ + sin Θ₁cos Θ₂))

= ρ₁ρ₂(cos (Θ₁ + Θ₂) + i sin (Θ₁ + Θ₂))

Vale dunque la seguente regola:

• Il prodotto di due numeri complessi in forma modulo il prodotto dei moduli.
• Per argomento la somma degli argomenti.

In sintesi:

z₁z₂ = |z₁| |z₂|

arg (z₁z₂) ≡ arg z₁ + arg z₂

Es:

Z₁ = √3 + i, Z₂ = -1 + i√3

Z₁·Z₂ = √3·3i - 3i = -√3 + 3i√3 + i = 2

θ₁ = π/64√3/2 = 2 (cos π/3 + i sin π/2)

Z₁ - Z₂ = 4 (cos (2/3π - π/6) + i sin (π/6, 2/3π))

π π/6 2 2/3 π

Elevamento a potenza

Passiamo all data:

Z₁...Zn

{Z₁...Zn} = |Z₁|...|Zn|

arg (Z₁...Zn) = arg Z₁ + ... arg Zn

{|z|ⁿ = |z|ⁿ

arg(zⁿ) = nargz

Da ciò si deduce la formula di De Moivre per l'elevamento a potenza di un numero complesso.

Dato Z = ρ (cos Θ + i sin Θ)

Zⁿ = ρⁿ (cos (nΘ) + i sin (nΘ))

Es:

(4 + x)¹¹ = ?

1 + 1 = √2

arg (1 + x) = π/a

(√2)¹¹ (√2)¹⁰ √2 = 2⁵√2 = 32√2 = 32√2

11/4 = 3/4

(+1)¹¹ = 32√2 (cos 3/4π + i sin 3/4π)

32√2_{( )} = 32(i-1)

Estrazione radice n^°-esima

Prop 3.1

Sia W ∈ C, W ≠ 0. Allora l'equazione:

Zⁿ = W ha esattamente n soluzioni distinte dette radici n-esime di W.

W = ρ(cosα + isinα) *forma polare di W

Z_k = n√ρ(cos(α+2kπ/n) + isin(α+2kπ/n))

k ∈ N[0, n-1]

Se n > 2 Z_k si dispongono come vertici di un poligono regolare iscritto nella circonferenza di raggio = n√ρ centrato sull'origine.

Dimostrazione

zⁿ = W = ρ(cos α + isin α)

z = ρ (cos θ + isin θ) cerco dunque ρ e θ in modo che:

[ρ(cos θ + isin θ)]ⁿ = ρⁿ(cos nθ + isin θ) = ρ(cos α + isin α)

ρⁿ = ρ ⇔ n√ρ = ρ

-α + n θ = 2kπ, k ∈ ℤ ⇔ θ = α + 2kπ/n, k ∈ ℤ

Di fatto basta far variare k in 0 sino a n-1, proseguendo si ottengono argomenti equivalenti.

Z_k = n√ρ(cos(α/n + 2kπ/n) + isin(α/n + 2kπ/n))

Esempio

Es.

|i| = 1

arg(i) = ³/₂π

z₀ = 1(cos(^π/₂) + i·sin(^π/₂))

z₁ = 1(cos(⁷/₆π) + i·sin(⁷/₆π))

z₂ = 1(cos(¹¹/₆π) + i·sin(¹¹/₆π))

Il simbolo √ in campo complesso è multivoco.

Il caso n = 2

Data l'equazione:

z² = w² = (cosd + i·sind)

si ottiene in questo caso particolare:

Z = √(cos(^d/₂ + kπ) + i·sin(^d/₂ + kπ))

k = 0,1

z₀ = √(cos(^d/₂) + i·sin(^d/₂))

z₂ = √(cos(^d/₂ + π) + i·sin(^d/₂ + π)) = -z₀

cos²(^d/₂) = ^1-cosd/₂

sin²(^d/₂) = ^1+cosd/₂

Es.

z² = 3-4i

|3-4i| = √9+16 = 5

cos α = ³⁄₅ sin α = ⁴⁄₅

mi basta ricavare cos ^α⁄₂ e sin ^α⁄₂

cos ^α⁄₂ = ±¹⁄_√5

z = ± (z - i)

II esercizio

posto z = x + iy

x² - 3x - q = 0

t = x²

t = 3t - q = 0

x = ± 2

Equazione di II grago in campo

Cα, β, γ ∈ C

z = -{beta} +- sqrt{Delta}/{2a}

significato multivoco

zs + (3 - i)z - i = 2